$ \phi $-Formel
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Es gilt:
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\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \phi\;\;\;=\;\;\;\frac{ \sqrt{5} + 1 }{ 2 } } \]
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(ZS.Ein.PhiFo.1) |
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\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \phi\;\;\;=\;\;\;1,618033988749894848204586834365… } \]
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(ZS.Ein.PhiFo.2) |
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\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( \phi^{2n + 1} - \phi^{- \left( 2n + 1 \right)} \right) \\ \qquad\;\;\;=\;\;\;\left( \phi^{2n} + \phi^{-2n} \right) + \left( \phi^{2n - 1} - \phi^{- \left( 2n - 1 \right)} \right) } \]
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(ZS.Ein.PhiFo.3) |
Daraus folgt für $ n = 1 $
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\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( \phi^{2 \cdot 1 + 1} - \phi^{- \left( 2 \cdot 1 + 1 \right)} \right) \\ \qquad\;\;\;=\;\;\;\left( \phi^{2 \cdot 1} + \phi^{-2 \cdot 1} \right) + \left( \phi^{2 \cdot 1 - 1} - \phi^{- \left( 2 \cdot 1 - 1 \right)} \right) } \]
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(ZS.Ein.PhiFo.4) |
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\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( \phi^{3} - \phi^{-3} \right)\;\;\;=\;\;\;\left( \phi^{2} + \phi^{-2} \right) + \left( \phi^{1} - \phi^{-1} \right) } \]
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(ZS.Ein.PhiFo.5) |
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\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}4\;\;\;=\;\;\;3 + 1 } \]
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(ZS.Ein.PhiFo.6) |
mit
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\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \phi^{3}\;\;\;=\;\;\;4,236067977499789696409173668731… } \]
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(ZS.Ein.PhiFo.7) |
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\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \phi^{-3}\;\;\;=\;\;\;0,236067977499789696409173668731… } \]
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(ZS.Ein.PhiFo.8) |
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\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \phi^{2}\;\;\;=\;\;\;2,618033988749894848204586834365… } \]
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(ZS.Ein.PhiFo.9) |
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\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \phi^{-2}\;\;\;=\;\;\;0,381966011250105151795413165634… } \]
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(ZS.Ein.PhiFo.10) |
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\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \phi^{1}\;\;\;=\;\;\;1,618033988749894848204586834365… } \]
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(ZS.Ein.PhiFo.11) |
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\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \phi^{-1}\;\;\;=\;\;\;0,618033988749894848204586834365… } \]
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(ZS.Ein.PhiFo.12) |
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Für $ n = 2 $ folgt
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\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( \phi^{2 \cdot 2 + 1} - \phi^{- \left( 2 \cdot 2 + 1 \right)} \right) \\ \qquad\;\;\;=\;\;\;\left( \phi^{2 \cdot 2} + \phi^{-2 \cdot 2} \right) + \left( \phi^{2 \cdot 2 - 1} - \phi^{- \left( 2 \cdot 2 - 1 \right)} \right) } \]
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(ZS.Ein.PhiFo.13) |
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\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( \phi^{5} - \phi^{-5} \right)\;\;\;=\;\;\;\left( \phi^{4} + \phi^{-4} \right) + \left( \phi^{3} - \phi^{-3} \right) } \]
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(ZS.Ein.PhiFo.14) |
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\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}11\;\;\;=\;\;\;7 + 4 } \]
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(ZS.Ein.PhiFo.15) |
mit
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\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \phi^{5}\;\;\;=\;\;\;11,09016994374947424102293417182… } \]
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(ZS.Ein.PhiFo.16) |
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\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \phi^{-5}\;\;\;=\;\;\;0,090169943749474241022934171828… } \]
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(ZS.Ein.PhiFo.17) |
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\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \phi^{4}\;\;\;=\;\;\;6,854101966249684544613760503096… } \]
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(ZS.Ein.PhiFo.18) |
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\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \phi^{-4}\;\;\;=\;\;\;0,145898033750315455386239496903… } \]
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(ZS.Ein.PhiFo.19) |
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\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \phi^{3}\;\;\;=\;\;\;4,236067977499789696409173668731… } \]
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(ZS.Ein.PhiFo.20) |
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\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \phi^{-3}\;\;\;=\;\;\;0,236067977499789696409173668731… } \]
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(ZS.Ein.PhiFo.21) |
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Mit
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\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 2\;\;\;=\;\;\;\left( \phi^{2} - \phi^{-1} \right) } \]
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(ZS.Ein.PhiFo.22) |
stellt die $ 2 $ eine Ausnahme dar.
Während der erste Exponent eine gerade Zahl enthält, befindet sich im zweiten Exponenten eine ungerade Zahl.
Darin sind
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\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \phi^{2}\;\;\;=\;\;\;2,618033988749894848204586834365… } \]
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(ZS.Ein.PhiFo.23) |
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\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \phi^{-1}\;\;\;=\;\;\;0,618033988749894848204586834365… } \]
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(ZS.Ein.PhiFo.24) |
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Aus obigen Ergebnissen folgen beispielhaft für die ersten 25 Primzahlen:
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\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 2\;\;\;=\;\;\;\left( \phi^{2} - \phi^{-1} \right) } \]
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(ZS.Ein.PhiFo.25) |
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\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 3\;\;\;=\;\;\;\left( \phi^{2} + \phi^{-2} \right) } \]
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(ZS.Ein.PhiFo.26) |
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\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 5\;\;\;=\;\;\;\left( \phi^{2} - \phi^{-2} \right)^{2} } \]
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(ZS.Ein.PhiFo.27) |
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\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 7\;\;\;=\;\;\;\left( \phi^{4} + \phi^{-4} \right) } \]
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(ZS.Ein.PhiFo.28) |
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\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 11\;\;\;=\;\;\;\left( \phi^{5} - \phi^{-5} \right) } \]
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(ZS.Ein.PhiFo.29) |
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\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 13\;\;\;=\;\;\;\left( \phi^{5} - \phi^{-5} \right) + \left( \phi^{2} - \phi^{-1} \right) } \]
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(ZS.Ein.PhiFo.30) |
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\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 17\;\;\;=\;\;\;\left( \phi^{6} + \phi^{-6} \right) - \left( \phi^{1} - \phi^{-1} \right) } \]
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(ZS.Ein.PhiFo.31) |
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\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 19\;\;\;=\;\;\;\left( \phi^{6} + \phi^{-6} \right) + \left( \phi^{1} - \phi^{-1} \right) } \]
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(ZS.Ein.PhiFo.32) |
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\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 23\;\;\;=\;\;\;\left( \phi^{6} + \phi^{-6} \right) + \left( \phi^{2} - \phi^{-2} \right)^{2} } \]
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(ZS.Ein.PhiFo.33) |
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\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 29\;\;\;=\;\;\;\left( \phi^{7} - \phi^{-7} \right) } \]
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(ZS.Ein.PhiFo.34) |
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\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 31\;\;\;=\;\;\;\left( \phi^{7} - \phi^{-7} \right) + \left( \phi^{2} - \phi^{-1} \right) } \]
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(ZS.Ein.PhiFo.35) |
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\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 37\;\;\;=\;\;\;\left( \phi^{2} + \phi^{-2} \right) + \left( \phi^{2} - \phi^{-2} \right)^{2} + \left( \phi^{7} - \phi^{-7} \right) } \]
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(ZS.Ein.PhiFo.36) |
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\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 41\;\;\;=\;\;\;\left( \phi^{XXX} - \phi^{-XXX} \right) } \]
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(ZS.Ein.PhiFo.37) |
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\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 43\;\;\;=\;\;\;\left( \phi^{XXX} - \phi^{-XXX} \right) } \]
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(ZS.Ein.PhiFo.38) |
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\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 47\;\;\;=\;\;\;\left( \phi^{8} - \phi^{-8} \right) } \]
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(ZS.Ein.PhiFo.39) |
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\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 53\;\;\;=\;\;\;\left( \phi^{XXX} - \phi^{-XXX} \right) } \]
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(ZS.Ein.PhiFo.40) |
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\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 59\;\;\;=\;\;\;\left( \phi^{XXX} - \phi^{-XXX} \right) } \]
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(ZS.Ein.PhiFo.41) |
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\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 61\;\;\;=\;\;\;\left( \phi^{XXX} - \phi^{-XXX} \right) } \]
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(ZS.Ein.PhiFo.42) |
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\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 67\;\;\;=\;\;\;\left( \phi^{XXX} - \phi^{-XXX} \right) } \]
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(ZS.Ein.PhiFo.43) |
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\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 71\;\;\;=\;\;\;\left( \phi^{XXX} - \phi^{-XXX} \right) } \]
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(ZS.Ein.PhiFo.44) |
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\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 73\;\;\;=\;\;\;\left( \phi^{XXX} - \phi^{-XXX} \right) } \]
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(ZS.Ein.PhiFo.45) |
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\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 79\;\;\;=\;\;\;\left( \phi^{XXX} - \phi^{-XXX} \right) } \]
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(ZS.Ein.PhiFo.46) |
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\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 83\;\;\;=\;\;\;\left( \phi^{XXX} - \phi^{-XXX} \right) } \]
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(ZS.Ein.PhiFo.47) |
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\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 89\;\;\;=\;\;\;\left( \phi^{9} - \phi^{-9} \right) + \left( \phi^{5} - \phi^{-5} \right) + \left( \phi^{2} - \phi^{-1} \right) } \]
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(ZS.Ein.PhiFo.48) |
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\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 97\;\;\;=\;\;\;\left( \phi^{XXX} - \phi^{-XXX} \right) } \]
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(ZS.Ein.PhiFo.49) |
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Stand 14. Dezember 2024, 13:00 CET.
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