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Modulo-Operatoren – Zähl-Modulo-Operator, Modulo-Operator, Imaginäre-Operatoren
Sind die imaginären Operatoren die Rotationsoperatoren?
Die imaginären Operatoren könnten, nach dem Prinzip des Djet-Neheh-Dualismus, das Zählen als Basis mit Modulo in Verbindung bringen
Eine Frage, die für mich im Raum steht, ist, ob auch imaginäre Zahlen als Operatoren eine sinnvolle Bedeutung haben oder haben können.
In mir kam das Gefühl auf, dass es mir aufgrund meiner langjährigen umfangreichen und tief gehenden Beschäftigung mit den Operatoren sowie mit den Themen Zählen und Zeit, sowohl aus theoretischer als ebenso aus naturphilosophischer Sicht, möglich sein könnte, auf diese Frage nun eine Antwort zu finden. Oder zumindest fundierte Vermutungen dazu anzustellen.
Nach einiger Überlegung war klar, dass meine Intuition auf einen Zusammenhang mit dem Djet-Neheh-Dualismus hinwies. In ihm finden wir ein dualistisch orthogonales, dynamisches Naturprinzip, dass uns im Grunde überall begegnet, egal ob Mathematik, Physik, Biologie, Medizin/Heilkunde und so weiter. Seine beiden orthogonalen, zeitähnlichen Struktur-Aspekte sind ihre historische Gradlinigkeit und ihre Wiederholung. In Bezug auf die Arithmetik steckt ihre Gradlinigkeit im immerwährenden Zählen, während ihre Wiederholung in der Teilbarkeit in beliebig große gleiche Teile und dem übrig bleibenden Rest als eine Art von Schwingung zu erkennen ist.
In Bezug auf das Zählen, als die Basis aller hier betrachteten Operatoren, erschien mir eine Helixspiralform allerdings als nicht ganz passend. So kam mir nach einiger Zeit die Eingebung, es könnte sich um eine Form des Modulo-Operators handeln. Wie ich im Folgenden darlegen werde, erscheint dies als sehr plausibel.
Demnach haben wir es in der zu den ganzen Zahlen parallelen, imaginären Operator-Hierarchie mit dem neuen Zähl-Modulo-Operator in der nullten Hierarchieebene, parallel zum Zähloperator, und mit dem echten Modulo-Operator in der ersten Hierarchieebene, parallel zur Addition, zu tun.
Die imaginären Operatoren i und i + 1 als Modulo-Operatoren
Angenommen der nullte imaginäre Operator i, also quasi i + 0, sei folgendermaßen definiert:
Sei wegen Formel OT.Ein.15
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { a ^{\lOpera x + 1 \rOpera} b\;\;\;≔\;\;\;\underset{ (\forall n \in \mathbb{N})[0 \le n < b] }{ \LARGE{\circledcirc} } \;\; ^{\lOpera x \rOpera} a } \] | (OT.Ein.15) |
hier im Speziellen
und das beispielhaft verdeutlichte, neu eingeführte Modulo-Zählen
wird mit der niederen Verkettung nach Formel OT.Ein.14 folgendermaßen
verallgemeinert definiert
dann können wir nach Formel auch sagen, dass
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}a ^{\lOpera i + 1 \rOpera} b\;\;\;=\;\;\;b \mod a } \] | (OT.ModO.6) |
und nebenbei erwähnt im Besonderen mit – wie in der Gruppen-
oder Ringtheorie –(Verweis)
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}0 ^{\lOpera i + 1 \rOpera} b\;\;\;=\;\;\;b \mod 0\;\;\;=\;\;\;b } \] | (OT.ModO.7) |
gilt. Für das Modulo-Zählen gehen wir, durch Verallgemeinerung der Beispiele
der Formeln bis , von der Definition
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { c ^{\lOpera i \rOpera} a\;\;\;≔\;\;\;(c + 1) \mod a } \] | (OT.ModO.8) |
aus, die sich mit dem vorhergehenden plausibel zusammenfügen soll,
wie im folgenden zu zeigen ist.
Am Beispiel der Formel , mit a = 2, zeigen wir, dass die Formeln und plausibel zusammen passen und bekommen auf diese Weise ein Gefühl dafür, wie das funktioniert:
Durch Einsetzen von 2 für a in die Formel erhalten wir
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( \left( ^{\lOpera i \rOpera} 2 \right) ^{\lOpera i \rOpera} 2 \right) ^{\lOpera i \rOpera} 2\;\;\;=\;\;\;3 \mod 2 } \] | (OT.ModO.9) |
in der durch Klammersetzung die niedere Verkettung verdeutlicht ist. Durch
Anwendung des Modulo-Zählens aus Formel kommen wir zu
und durch Anwendung des Modulo-Zählens aus Formel zu
und durch deren abermalige Anwendung abschließend weiter zu
was am Beispiel zu zeigen war.
Im Allgemein muss wegen Formel OT.Ein.6 und durch die Formeln und ausgedrückt gelten:
Nehmen wir Formel OT.Ein.6
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( a ^{\lOpera x + 1 \rOpera} b \right) ^{\lOpera x \rOpera} a\;\;\;≔\;\;\;a ^{\lOpera x + 1 \rOpera} \left( b + 1 \right) \;\; , } \] | (OT.Ein.6) |
setzen für x den Operator i ein
und ziehen auf beiden Seiten von b Einen ab
dann können wir den ersten Teil des linken Terms mit c substituieren
deren rechte Seite nach Formel gleich dem Modulo ist:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}c ^{\lOpera i \rOpera} a\;\;\;=\;\;\;b \mod a \;\; . } \] | (OT.ModO.22) |
Es gilt aber auch Formel
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { c ^{\lOpera i \rOpera} a\;\;\;≔\;\;\;(c + 1) \mod a \;\; , } \] | () |
deren linke Seite nun durch den gerade gefundenen Modulo ersetz werden kann
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}b \mod a\;\;\;=\;\;\;(c + 1) \mod a } \] | (OT.ModO.23) |
und auf deren rechten Seite für c wieder der vorherige Substituent eingesetzt
und dann ebenfalls durch Modulo ersetzt werden kann:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}b \mod a\;\;\;=\;\;\;( ( ( b - 1 ) \mod a ) + 1 ) \mod a \;\; . } \] | (OT.ModO.25) |
Weil sowohl nach der Subtraktion von Eins als auch nach der anschließenden
Addition von Eins der selbe Modulo angewandt wird, kann der innere Modulo
weggelassen werden
was zu zeigen war.
Wir sehen, dass der Zähl-Modulo-Operator und der Modulo-Operator als aufeinander folgende hierarchische Operatoren plausibel zusammen passen.
Der Zusammenhang beider Moduli
Interessant ist, dass der Zähl-Modulo-Operator und der Modulo-Operator über den Modulo zu vergleichen sind:
Für den Zähl-Modulo- und den Modulo-Operator haben wir
wo wir aus letzterer Formel durch die Substitution von b mit c + 1 die rechte
Seite der ersten gewinnen:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}a ^{\lOpera i + 1 \rOpera} (c + 1)\;\;\;=\;\;\;(c + 1) \mod a } \] | (OT.ModO.28) |
So können wir jetzt beide Operatoren gleichsetzen:
was wir erreichen wollten.
Dieser Zusammenhang und seine Bedeutung sollten weiter untersucht werden.
Die orthogonale Ergänzung des Zählens
Das Naturprinzip des Djet-Neheh-Dualismus im Pärchen des Zähloperators und des Zähl-Modulo-Operators
Das Pärchen aus Zähloperator 0 und Zähl-Modulo-Operator i lässt erkennen, wenn sie parallel im prozesshaften, zeitlichen Sinne wiederholt angewendet werden
und am Beispiel der 3 verdeutlicht
wie parallel zum Zählen Schwingungen ablaufen.
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Neutrale Elemente |
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Verweis auf das Hauptkapitel zu neutralen Elementen …
(In Arbeit …)
Neutrale Elemente des Zähl-Modulo-Operators
(In Arbeit …)
Neutrale Elemente des Modulo-Operators
(In Arbeit …)
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Fußnoten |
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(Primärliteratur einfügen!) Internet: Vgl. Wikipedia, Arithmetik. |
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Stand 14. Dezember 2024, 13:00 CET.
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