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Überrationalitätsvermutung (Beweis)
Lässt sich die $ x $-te Wurzel aus $ n $, wenn sie irrational ist, immer als Bruch mit aktual unendlich großem ganzen Nenner und Zähler ausdrücken?
Der folgende Beweis zeigt, die Antwort ist ja. Und zwar genau dann, wenn Nenner und Zähler aktual unendlich große ganze Zahlen sind, die wir beliebig endlich oft durch $ n $ teilen können, wie $ n^{ω} $
Die Idee, mich damit zu beschäftigen, ob irrationale Wurzeln der Form $ \sqrt[x]{ n } $ in irgendeiner Weise durch Brüche aktual unendlicher ganzer Zahlen darstellbar sind, kam ich durch meine Beschäftigung mit den Koeffizienten der Superial-Zahlen. Denn es stellte sich heraus, dass die Superial-Zahlen nur dann für Integrale nutzbar sind, wenn jeder Koeffizient $ a $ im Produkt mit der superialen Basis $ \s $ eine aktual unendliche ganze Zahl ergibt. Hiernach steht also die Frage im Raum, für welche endlichen Zahlen dies gilt. Im Detail beschäftigen wir uns damit im Abschnitt ›Die sinnvollen Koeffizienten der Superial-Zahlen‹.
Nachfolgend geht es nun aber ausschließlich darum zu zeigen, dass irrationale Wurzeln tatsächlich durch Brüche aktual unendlicher ganzer Zahlen darstellbar sind.
Beweis – Wurzel aus Zwei ist keine rationale Zahl, also irrational
Um in die Thematik einzusteigen und zu lernen, worum es geht und was die Eigenschaften der irrationalen Koeffizienten der algebraischen Zahlen bezüglich ihrer Darstellung durch Brüche ganzer Zahlen sind, schauen wir uns hier einmal exemplarisch den Widerspruchsbeweis an, der zeigt, dass die Wurzel aus Zwei $ \sqrt{2} $ keine rationale Zahl ist, sondern eine irrationale Zahl.
Als Impuls gebende Einstimmung hier vorab ein Video dazu, wenn du Lust darauf hast: Daniel Jung — Beweis, dass Wurzel aus 2 nicht rational, sondern irrational ist, indirekte Beweisführung.
Eingangs schauen wir uns an, wie wir die Wurzel aus Zwei durch eine Potenz von $ 2 $
darstellen können:
Sei die Wurzel aus Zwei, hier dargestellt als halbe Potenz von Zwei, als rationaler Bruch, also als Bruch aus endlichen natürlichen Zahlen, darstellbar:
Dann ist klar, dass es für diesen Bruch einen Nenner als auch einen Zähler geben muss, die teilerfremd sind
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}\exists \left( a \perp b \;\right) \;\;, } \] | (SN.ÜV.4) |
denn ein rationaler Bruch lässt, bis auf einen kleinsten Nenner und Zähler endlich oft kürzen, bis sie keine gemeinsamen Primfaktoren mehr haben, da beide Quotienten endliche ganze Zahlen sind.
Die Ausgangsbedingung ist nun äquivalent mit
woraus wir direkt erkennen, wenn $ b $ keine $ 2 $ als Primfaktor enthält, dass $ a^{2} $ durch $ 2^{2} = 4 $ teilbar sein muss, denn ein Quadrat kann eine Primzahl nicht in einfacher Potenz enthalten:
Aus der gleichen, abermals angewandten Formel erkennen wir aber auch, dass dann ebenso $ b^{2} $ durch $ 2^{2} = 4 $ teilbar sein muss:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 2 \cdot b^{2}\;\;\;=\;\;\;a^{2} } \] | (SN.ÜV.7) |
Denn, wenn in $ a^{2} $ nun $ 2^{2} = 4 $ steckt, dann muss $ \frac{ 2^{2} }{ 2 } = 2^{1} $ in $ b^{2} $ enthalten sein und damit auch wieder $ 2^{2} = 4 $:
Dann erkennen wir weiterhin, dass $ a^{2} $ durch $ 2^{3} = 8 $ und schließlich durch $ 2^{6} = 64 $ teilbar sein muss:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 2 \cdot b^{2}\;\;\;=\;\;\;a^{2} } \] | (SN.ÜV.7) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}2^{3} \mid a^{2}\;\;\;\Leftrightarrow\;\;\;8 \mid a^{2} } \] | (SN.ÜV.14) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}2^{3} \mid a\;\;\;\Leftrightarrow\;\;\;8 \mid a } \] | (SN.ÜV.15) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}2^{6} \mid a^{2}\;\;\;\Leftrightarrow\;\;\;64 \mid a^{2} } \] | (SN.ÜV.16) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \vdots } \] | (SN.ÜV.17) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 2 \cdot b^{2}\;\;\;=\;\;\;a^{2} } \] | (SN.ÜV.7) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}\left( \forall x \in \mathbb{N} \right) \left[\; 2^{x} \mid a \;\right] } \] | (SN.ÜV.18) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}\left( \forall x \in \mathbb{N} \right) \left[\; 2^{x} \mid b \;\right] } \] | (SN.ÜV.19) |
Und immer so fort, für alle endlichen ganzen Potenzen von Zwei – $ 2^{x} $.
Daraus folgt dann, dass für all diese endlichen Exponenten keine Teilerfremdheit existiert:
Dies seht im Widerspruch zu der Eingangsfeststellung, dass es für den gesuchten Bruch – aus endlichen natürlichen Zahlen – einen Nenner und einen Zähler geben muss, die teilerfremd sind.
Aufgrund des Widerspruchs also können wir schließen, dass es keinen rationalen Bruch mit endlichem ganzen Nenner und Zähler gibt, der die Wurzel aus Zwei darstellen kann
was wir zeigen wollten.
Doch unser Beweis hilft uns glücklicherweise dabei zu verstehen, wie ein Bruch ganzer Zahlen beschaffen sein muss, der die Wurzel aus Zwei dann doch darstellen kann.
Beweis der Überrationalitätsvermutung für die Wurzel aus Zwei
Der obige Widerspruchsbeweis macht die Bedingungen eines Beweises und damit die Struktur der Lösung des Problems sichtbar:
| • |
Bei den rationalen Zahlen sind Zähler und Nenner endliche ganze Zahlen, nur, dass der Zähler nicht Null sein kann. Dadurch sind Nenner und Zähler bei diesen Zahlen ganz generell nur endlich oft zu kürzen. (Formel SN.ÜV.3) |
| • |
Dann muss das Quadrat des Nenners genau doppelt so groß sein, wie das Quadrat des Zählers (Formel SN.ÜV.7). Woraus folgt, wie wir zeigten: Zähler und Nenner müssen gleichzeitig beliebig endlich oft durch $ 2 $ teilbar sein. (Formeln SN.ÜV.18 und SN.ÜV.19) |
Und beides steht im Widerspruch, wie wir sahen.
An der letzen Bedingung können und wollen wir nichts ändern. Aber die erste Bedingung, dass es rationale Zahlen mit endlichen Quotienten sein müssen, sollten wir auf unsere Möglichkeiten überprüfen, denn wir beschäftigen uns hier ja mit der Einführung neuer Zahlen.
Der Widerspruch tritt ja nur dann auf, wenn wir die Bedingung aufrechterhalten, dass Zähler und Nenner endliche Zahlen sein sollen und dadurch nur endlich oft zu kürzen sind. Aber wir beschäftigen uns hier ja gerade mit der Einführung neuer Zahlen mit neuen Eigenschaften. So lassen wir diese Bedingung im Rahmen der Superial-Zahlen insofern fallen, dass wir aktual unendliche Zähler und Nenner zulassen und der Bruch damit überrational wird.
Die aktual unendliche Teilbarkeit vom Zähler und vom Nenner
Demnach kann und muss sich die Anzahl der Teilbarkeit durch $ 2 $, jeweils von Zähler und Nenner, im Aktual-Unendlichen befinden als auch ihr Verhältnis dem Betrag der Wurzel aus Zwei entsprechen
was uns die Struktur der möglichen Lösungen liefert.
Die Normierung der Teilbarkeit
Um die Menge der Lösungen auf eine bestimmte zu reduzieren, lässt sich die Anzahl der Teilbarkeit auf die vollständige Induktion1 normieren. Die vollständige Induktion wird durch das Symbol $ ω $, mit seinem entsprechenden aktual unendlich großen Wert, dargestellt und wir setzen es in die vorstehende Formel für $ g $ ein. Damit bleibt die Bedingung der fortlaufenden Teilbarkeit erfüllt. So erhalten wir
wobei $ ω $ ein transfiniter Wert ist und nach unseren Axiomen in Die ZFC-Modellkonstruktion der Superial-Zahlen, hier Tiefere Betrachtung der Potenzen von $ \s $,
gilt. Wodurch wir nun beliebig endlich oft – und damit potenziell endlos – die Zwei im Bruch kürzen können.
Die Ganzzahligkeit von Zähler und Nenner
Im Nenner erhalten wir nun offensichtlich die ganze Zahl
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 2^{ω}\;\;\;\in\;\;\;\mathbb{N}_{\infty} \;\; , } \] | (SN.ÜV.31) |
weil es sich um eine aktual unendliche ganze Potenz einer endlichen ganzen Zahl handelt.
Im Zähler muss es sich ebenfalls um eine ganze Zahl handeln, denn dies ist eine der Bedingungen, die zum Widerspruch geführt hatten. Damit ist die Ganzzahligkeit des Zählers in der Struktur des Widerspruchsbeweises und der Möglichkeiten seiner Lösung, hin zum Beweises, wenn wir Aktual-Unendlichkeit zulassen, verankert. Diese Bedingung ergibt sich ja aus der Suche nach einem rationalen Bruch zur Darstellung der Wurzel. Also macht der Faktor $ 2^{ω} $ tatsächlich aus der Wurzel aus Zwei, also aus $ 2^{\frac{ 1 }{ 2 }} $, eine ganze unendlich große Zahl:
Existenz der neuen Zahlen
Weil $ 2^{ω} $ und $ 2^{\frac{ 1 }{ 2 }} \cdot 2^{ω} $ sehr interessante und wichtige Zahlen, aber keine Superial-Zahlen, sind, ist die Frage, wo sie „leben“; sprich, in welcher Menge oder Klasse sie existieren. Dazu mehr im Kapitel ›Untersuchung der Potenzialzahlen‹ und im Abschnitt ›Aktual-Unendliche Exponenten der Primzahlen in Potenzialzahlen‹, wo wir sie Potenzialzahlen nennen.
Betrachtung im Rahmen der Superial-Zahlen
Wir forschen und beweisen unsere Vermutung ja im Rahmen der Superial-Zahlen. So interessiert uns natürlich besonders, welche Bedeutung unsere Erkenntnis hier haben
Unser normierter Faktor $ 2^{ω} $ ist Teil des Primzahl-Flächenprodukts unserer superialen Basis $ \s $, siehe Formel SN.Ein.29. Daher können wir den Faktor auch wie folgt ersetzen:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 2^{\frac{ 1 }{ 2 }}\;\;\;=\;\;\;\frac{ 2^{\frac{ 1 }{ 2 }} \cdot \s }{ \s } } \] | (SN.ÜV.34) |
Auch hier ist ebenso erfüllt, dass $ \s $ beliebig endlich oft durch Zwei teilbar ist. und sowohl Zähler als auch Nenner ganze Zahlen sind. Und die Eigenschaft der Ganzzahligkeit bezüglich des Zählers mit $ 2^{\frac{ 1 }{ 2 }} \cdot \s $ für die Superial-Zahlen von entscheidender Bedeutung. Denn damit wird $ 2^{\frac{ 1 }{ 2 }} $ ein sinnvoller Koeffizient der Superial-Zahlen. Und so existiert die unendlich große Zahl $ 2^{\frac{ 1 }{ 2 }} \cdot \s \in \mathbb{S}_{\Z,\{ 1 \}} $ als ganze Superial-Zahl der ersten Schicht, was die einzige bisher ungeklärte Frage gewesen ist. Und so können wir auch sagen, dass die eingangs gefundene ganze Zahl $ 2^{\frac{ 1 }{ 2 }} \cdot 2^{ω} $ im Sinne eines Teilprodukts von $ 2^{\frac{ 1 }{ 2 }} \cdot \s $ existiert, und so auch als ganze Potenzialzahl.
Eine selbstbezügliche Lösung – der sonst unsichtbare Kontext
Was im ersten Moment erstaunlich erscheint, und einem Kopfschmerzen bereiten kann, ist, dass der Zähler gerade den Term $ 2^{\frac{ 1 }{ 2 }} $ beinhaltet, für dessen Darstellung wir einen Bruch aus zwei ganzen Zahlen suchen. Wie kann der gesuchte Wert eines Bruchs ein Teil des Bruchs, also der Lösung, sein? Handelt es sich dann nicht um einen unzulässigen Zirkelschluss?
Dies kann sein, weil wir nichts anderes gesucht haben, als einen Bruch aus zwei ganzen Zahlen, die beide beliebig endlich oft durch Zwei zu teilen sind und deren Verhältnis eben genau $ 2^{\frac{ 1 }{ 2 }} $ ist. Und genau das liefert unsere Lösung mit dem „neuen“ aktual unendlichen Term oder Symbol $ 2^{ω} $ in Zähler und Nenner, weil der Faktor $ 2^{ω} $ aus $ 2^{\frac{ 1 }{ 2 }} $, mit $ 2^{\frac{ 1 }{ 2 }} \cdot 2^{ω} $, eine ganze Zahl macht. Gleiches gilt, wie gesagt, auch für $ \s $. Und nur dafür brauchten wir eine Lösung, die wir so gefunden haben. Dafür spielt es keine Rolle, ob der gesuchte Wert des Bruchs als Faktor im Zähler Teil unserer Lösung ist. Dieser Selbstbezug ist also kein unzulässiger Zirkelschluss.
Der Kontext in dem die Wurzel aus Zwei steht, der sonst unsichtbar im Hintergrund wirkt, wird hier nur sichtbar, weil die Bedingung, einen Bruch aus zwei ganzen Zahlen zu finden, der diesen Wert besitzt, ihn erst zu Tage fördert. Denn ohne diese Bedingung verschwindet dieser Kontext durch kürzen einfach.
Gegenprobe
Nun machen wir die Gegenprobe, ob der Zähler $ a $ und der Nenner $ b $, die wir im Beweis gefunden haben, die Bedingung wirklich erfüllen:
In die Bedingung des Beweises
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 2 \cdot b^{2}\;\;\;=\;\;\;a^{2} } \] | (SN.ÜV.7) |
unseren Lösungsansatz eingesetzt, führt zu
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { a\;\;\;=\;\;\;2^{\frac{ 1 }{ 2 }} \cdot 2^{ω} } \] | (SN.ÜV.35) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { b\;\;\;=\;\;\;2^{ω} } \] | (SN.ÜV.36) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}2 \cdot \left( 2^{ω} \right)^{2}\;\;\;=\;\;\;\left( 2^{\frac{ 1 }{ 2 }} \cdot 2^{ω} \right)^{2} } \] | (SN.ÜV.37) | ||
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}2 \cdot \left( 2^{ω} \right)^{2}\;\;\;=\;\;\;\left( 2^{ω + \frac{ 1 }{ 2 }} \right)^{2} } \] | (SN.ÜV.38) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}2 \cdot 2^{2 ω}\;\;\;=\;\;\;2^{2 ω + 2 \frac{ 1 }{ 2 }} } \] | (SN.ÜV.39) | ||
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}2^{2 ω + 1}\;\;\;=\;\;\;2^{2 ω + 1} \;\;, } \] | (SN.ÜV.40) | ||
was zu zeigen war.
Damit haben wir bewiesen, dass unsere Lösung die Wurzel aus Zwei als Bruch aus ganzen Zahlen darstellt, wenn der Nenner und der Zähler unendlich groß, im Bereich der vollständigen Induktion, sind.
Für die Wurzel aus Zwei im Zusammenhang mit den natürlichen Superial-Zahlen hat dies eine wichtige Bedeutung.
Beweis der Überrationalitätsvermutung
Erweiterung des Beweises auf alle algebraischen Koeffizienten, die irrationale Zahlen sind
Um nachfolgend den Widerspruchsbeweis für alle algebraischen irrationalen Koeffizienten führen zu können, möchte ich eingangs einmal klären, was passiert, wenn es tatsächlich eine Lösung für den vermeintlichen Widerspruchsbeweis gibt.
Rationale Wurzeln
Wenn eine Wurzel eine rationale Zahl als Lösung hat
Was passiert, wenn die Wurzel eine rationale Zahl als Lösung besitzt, sie also nicht irrational ist.
Dazu stellen wir einmal fest, wie wir die $ x $-te Wurzel aus $ n $ durch eine Potenz von $ n $
beschreiben können:
Sei die $ x $-te Wurzel aus $ n $ als endlicher rationaler Bruch – aus endlichen natürlichen Zahlen – darstellbar:
Für den Fall, dass die Wurzel eine rationale Lösung hat, muss der Radikand unter der Wurzel $ n $ von der Potenz des Wurzel Radix $ x $ sein:
Die Ausgangsbedingung ist nun äquivalent mit
damit existent und nicht im Widerspruch, was wir zeigen wollten.
Auf die einzelnen Primfaktoren des Radikanden $ n $ bezogen bedeutet dies, dass all ihre Potenzen ein natürliches Vielfaches des Radix $ x $ sein müssen, weil $ m $ eine natürliche Zahl größer Null ist, die eine Primfaktorzerlegung besitzt:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( \forall p_{i} \in \mathbb{P}(n) \right) \left( \forall j_{i} \in \mathbb{N} \right) \left[\; m\;\;\;=\;\;\;p_{1}^{j_{1}} \cdot p_{2}^{j_{2}} \cdot p_{3}^{j_{3}} \cdot p_{4}^{j_{4}} \cdot \cdots \;\right] } \] | (SN.ÜV.51) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { n\;\;\;=\;\;\;m^{x} } \] | (SN.ÜV.46) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}n\;\;\;=\;\;\;p_{1}^{j_{1} x} \cdot p_{2}^{j_{2} x} \cdot p_{3}^{j_{3} x} \cdot p_{4}^{j_{4} x} \cdot \cdots } \] | (SN.ÜV.52) |
Diese Erkenntnis wird im nachfolgenden Widerspruchsbeweis eine Rolle spielen.
Irrationale Wurzeln
Wenn es keine rationale Zahl als Lösung für eine Wurzel gibt
Für alle $ x $-ten Wurzeln aus $ n $, bei denen $ n $ nicht die $ x $-te Potenz einer natürlichen Zahl $ m $ ist, gilt der folgende Widerspruchsbeweis und zeigt, dass deren $ x $-ten Wurzeln algebraische irrationale Zahlen sind.
Dazu schauen wir uns an, wie wir die $ x $-te Wurzel aus $ n $ durch eine Potenz von $ n $
beschreiben können:
Sei die $ x $-te Wurzel aus $ n $ als endlicher rationaler Bruch darstellbar – also als Bruch endlicher natürlicher Zahlen:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( \exists a \in \mathbb{N} \land b, n, x \in \mathbb{N}^{+} \land n, x \geq 2 \right) \left[\; n^{\frac{ 1 }{ x }}\;\;\;=\;\;\;\frac{ a }{ b } \;\right] } \] | (SN.ÜV.43) |
Dann ist klar, dass es für diesen Bruch einen Nenner und einen Zähler geben muss, die teilerfremd sind:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}\exists \left( a \perp b \;\right] } \] | (SN.ÜV.55) |
Die Ausgangsbedingung ist nun äquivalent mit
woraus wir im Folgenden direkt erkennen können, wenn $ b $ nicht alle Primfaktoren von $ n $ enthält, dass $ a^{x} $ durch $ n $ teilbar sein muss:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}n \mid a^{x} } \] | (SN.ÜV.59) |
Weil wir es hier mit algebraischen irrationalen Wurzeln zu tun haben, ist nach den Formeln SN.ÜV.46 und SN.ÜV.52 $ n $ nicht die $ x $-te Potenz einer natürlichen Zahl $ m $:
Da für $ n $ aber eine Primfaktorzerlegung existieren muss
hat diese die Bedingung, dass mindestens eine der Potenzen $ k_{i} $ ihrer Primfaktoren nicht durch $ x $ teilbar sein darf:
Wegen Formel SN.ÜV.59 gilt nun auch
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { p_{1}^{k_{1}} \cdot p_{2}^{k_{2}} \cdot p_{3}^{k_{3}} \cdot p_{4}^{k_{4}} \cdot \cdots \mid a^{x} } \] | (SN.ÜV.64) |
woraus dann
| ▼ | Nebenrechnung: |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}a^{x}\;\;\;=\;\;\;n^{x} \cdot c_{a,1} } \] | (SN.ÜV.68) |
folgt, weil ja, wie eben festgestellt, eines der $ k_{i} $ nicht durch $ x $ teilbar ist.
Aus der obigen Ausgangsbedingung SN.ÜV.58, abermals angewandt, erkennen wir aber auch, nach dem gleichen Argument, wie direkt zuvor, dass dann ebenso $ b^{x} $ durch $ n^{x} $ teilbar sein muss:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { n \cdot b^{x}\;\;\;=\;\;\;a^{x} } \] | (SN.ÜV.58) |
| ▼ | Nebenrechnung: |
und, weil ja schon ein $ n $ auf der Seite von $ b^{x} $ vorhanden ist, müssen wir bei der Teilbarkeit eines abziehen:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}n^{x - 1} \mid b^{x} } \] | (SN.ÜV.71) |
Wegen der Nichtteilbarkeit von $ x $ durch $ x - 1 $ ist dies äquivalent mit:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}n^{x - 1} \mid b } \] | (SN.ÜV.72) | ||
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\left( n^{x - 1} \right)^{x} \mid b^{x} } \] | (SN.ÜV.73) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}n^{\left( x - 1 \right) \cdot x} \mid b^{x} } \] | (SN.ÜV.74) | ||
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}n^{x^{2} - x} \mid b^{x} } \] | (SN.ÜV.75) | ||
| ▼ | Nebenrechnung: |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}b^{x}\;\;\;=\;\;\;n^{x^{2} - x} \cdot c_{b,1} } \] | (SN.ÜV.76) |
Wenn $ b^{x} $ durch $ n^{x} $ teilbar ist, dann folgt durch die Ausgangsbedingung
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { n \cdot b^{x}\;\;\;=\;\;\;a^{x} } \] | (SN.ÜV.58) |
| ▼ | Nebenrechnung: |
| ▼ | Experimentelle Rechnung: |
weil hier ja ein $ n $ zum $ b^{x} $ hinzukommt
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}n^{x^{2} - x + 1} \mid a^{x} } \] | (SN.ÜV.82) |
und wegen der nicht Teilbarkeit von $ x^{2} - x + 1 $ durch $ x $:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}n^{x^{2} - x + 1} \mid a } \] | (SN.ÜV.83) | ||
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\left( n^{x^{2} - x + 1} \right)^{x} \mid a^{x} } \] | (SN.ÜV.84) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}n^{\left( x^{2} - x + 1 \right) \cdot x} \mid a^{x} } \] | (SN.ÜV.85) | ||
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}n^{x^{3} - x^{2} + x} \mid a^{x} } \] | (SN.ÜV.86) | ||
Und wieder weiter aus der Ausgangsbedingung
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { n \cdot b^{x}\;\;\;=\;\;\;a^{x} } \] | (SN.ÜV.58) |
und, weil ja schon ein $ n $ auf der Seite von $ b^{x} $ vorhanden ist, folgt:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}n^{x^{3} - x^{2} + x - 1} \mid b^{x} } \] | (SN.ÜV.87) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}n^{x^{3} - x^{2} + x - 1} \mid b } \] | (SN.ÜV.88) | ||
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\left( n^{x^{3} - x^{2} + x - 1} \right)^{x} \mid b^{x} } \] | (SN.ÜV.89) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}n^{\left( x^{3} - x^{2} + x - 1 \right) \cdot x} \mid b^{x} } \] | (SN.ÜV.90) | ||
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}n^{x^{4} - x^{3} + x^{2} - x} \mid b^{x} } \] | (SN.ÜV.91) | ||
Und dann weiter
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { n \cdot b^{x}\;\;\;=\;\;\;a^{x} } \] | (SN.ÜV.58) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}n^{x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1} \mid a^{x} } \] | (SN.ÜV.92) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}n^{x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1} \mid a } \] | (SN.ÜV.93) | ||
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\left( n^{x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1} \right)^{x} \mid a^{x} } \] | (SN.ÜV.94) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}n^{ \left( x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1 \right) \cdot x} \mid a^{x} } \] | (SN.ÜV.95) | ||
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}n^{x^{5} - x^{4} + x^{3} - x^{2} + x} \mid a^{x} } \] | (SN.ÜV.96) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \vdots } \] | |||
und immer so fort, bis zum Beweisschritt $ r $, wobei ein Schritt immer für $ a $ und $ b $ gemeinsam gezählt wird:
Und immer so fort …
An dieser Stelle ist es aber auch einsichtig, dass $ a $ und $ b $, wenn sie durch die entwickelten Polynom-Potenzen von $ n $ teilbar sind, ebenso durch jede endliche kleinere positive ganzzahlige Potenz von $ n $ teilbar sein müssen. Das bedeutet, aus unserer Ausgangsbedingung folgt die Teilbarkeit durch alle endlichen natürlichen Potenzen von $ n $:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { n \cdot b^{x}\;\;\;=\;\;\;a^{x} } \] | (SN.ÜV.58) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}\left( \forall x \in \mathbb{N} \right) \left[\; n^{x} \mid a \;\right] } \] | (SN.ÜV.99) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}\left( \forall x \in \mathbb{N} \right) \left[\; n^{x} \mid b \;\right] } \] | (SN.ÜV.100) |
Daraus folgt dann, dass für all diese endlichen Exponenten von $ n $ keine Teilerfremdheit existiert:
Dies seht im Widerspruch zu der Eingangsfeststellung, dass es für den gesuchten Bruch – aus endlichen natürlichen Zahlen – einen Nenner und einen Zähler geben muss, die teilerfremd sind.
Aufgrund des Widerspruchs also können wir schließen, dass es für irrationale Wurzeln keinen rationalen Bruch mit endlichem ganzen Nenner und Zähler gibt
was wir zeigen wollten.
Gleich zeitig zeigen wir mit dem Widerspruchsbeweis nun auch, wie die Lösung aussieht.
Irrationale Wurzeln
Die Lösung
Wollen wir eine Lösung finden, wie wir die $ n $-te Wurzel aus $ x $ als Bruch darstellen können, dann kommen wir durch den Widerspruchsbeweis zu dem Schluss:
Verzichten wir darauf, dass der Zähler $ a $ und der Nenner $ b $ endlich sein müssen und wir akzeptieren, dass die beiden, also der Bruch, immer weiter zu kürzen sind, nur so häufig, dass Nenner und Zähler nicht endlich werden, dann erhalten wir mögliche Lösungen von Bruchen für die Wurzeln, bei denen sowohl der Nenner als auch der Zähler ganze Zahlen sind.
Gehen wir ans Werk formulieren dies.
Setzen wir die Entwicklung des Zählers $ a $ und des Nenners $ b $ des Bruchs oben fort, bis zur vollständigen Induktion,
dann kommen wir zu folgendem Ausdruck
in dem wir nun die Entwicklungsschritte $ r $ durch die vollständigen Induktion $ ω $ ersetzt haben. Direkt $ ω $ in die Summe eingesetzt, anstatt durch $ t $ ausgedrückt, und die Summe beispielhaft ausgeschrieben erhalten wir
von wo aus wir weiter vorangehen können.
Wir bauen im Grunde eine „Leiter bis in den Himmel“ des Unendlichen und kommen je nach der $ x $-ten Wurzel aus $ n $ dort an einer bestimmten Stelle an oder heraus. Dies bedeutet aber nicht, dass nur die Ankunftsorte die jeweilige Lösung darstellen. Es bedeutet nur, dass diese Orte Ausstiegspunkte funktionierender Leitern sind.
Denn schon unsere im Widerspruchsbeweis gefundene Bedingung fordert, dass es unendlich viele Lösungen gibt: Wir können nämlich den Bruch beliebig oft kürzen, solange Nenner und Zähler nicht endlich werden; solange es nämlich keinen kleinsten Bruch geben kann, der nicht weiter zu kürzen ist. Bleiben wir nach unserer Konstruktion mit Nenner und Zähler so im Unendlichen, dass alle Primzahlen der Primfaktorenzerlegung des Radikand $ n $ unter der Wurzel unendlich große Potenzen behalten, dann ist diese Bedingung ja erfüllt.
Was wissen wir also bisher denn sicher über $ a $ und $ b $?
Wir können im Moment sicher sagen, dass $ a $ um den Faktor der $ x $-ten Wurzel aus $ n $ größer ist als $ b $. Und wir können sagen, dass sowohl $ a $ als auch $ b $ aktual unendlich oft durch $ n $ teilbar sein müssen. Nehmen wir probeweise einmal an, dies seien alle Eigenschaften, die nötig sind, und definieren damit unseren Zähler und Nenner unserer Ausgangsbedingung.
Sei $ g $ ein aktual unendlich großer ganzer Exponent von $ n $, der der Potenz die Eigenschaft gibt,
dass sie beliebig endlich oft durch $ n $ teilbar ist, ohne eine endliche Potenz zu werden
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( \forall i \in \mathbb{N} \right) \left( \forall g \in \mathbb{N}_{\infty} \right) \left[\; i < g \;\right] } \] | (SN.ÜV.112) |
dann definieren wir $ b $ und $ a $ nun, indem wir die Ausgangsbedingung SN.ÜV.43 wie gerade beschrieben abwandeln:
Hier erkennen wir jetzt, durch vollständiges Kürzen des Bruchs: Diese beiden Bedingungen beschreiben $ a $ und $ b $ vollständig. Es kann keine weiteren Faktoren im Nenner geben, die nicht auch im Zähler hinzukommen müssten und daher immer gekürzt werden können. Sowohl der Nenner $ b $ als auch der Zähler $ a $ sind ganze Zahlen, wie wir ja schon im Widerspruchsbeweis vorausgesetzt haben, der uns ja gerade über diese Bedingung dann zur „Himmelsleiter“ geführt hat:
So sind wir zur Lösungsmenge gekommen, die wir finden wollten.
Auch hier können wir, wie im Anfangs betrachteten speziellen Fall $ 2^{ω} $, mit Hilfe der vollständigen Induktion $ ω $ normieren:
Die irrationalen Wurzeln gehören zu den überrationalen Zahlen.
Dabei ist zu beachten, dass $ n $ selber in seiner Primfaktorzerlegung schon Potenzen von Primzahlen enthalten kann, die größer als Eins sind. Diese werden hier dann nochmals mit $ ω $ potenziert. Aus diesem Grund ist in diesem allgemeinen Fall die mögliche Normierung nicht unbedingt am Ende. Mit einer zusätzlichen Möglichkeit der Normierung, die die effektiv notwendige Größe der Potenzen der Primzahlen im aktual unendlichen Faktor betrifft, um eine aktual unendlich große ganze Zahl zu erreichen, beschäftigen wir uns im Abschnitt ›Die sinnvollen Koeffizienten der Superial-Zahlen‹.
Dass es zu jeder irrationalen Wurzel einen passenden aktual unendlich großen Faktor gibt, die im Produkt eine ganze Zahl ergeben, ist etwas sehr bemerkenswertes. Wir erhalten eine aktual unendlich große ganze Potenz einer endlichen ganzen Zahl, die einen rationalen Summanden enthält, die trotzdem immer eine ganze Zahl ergibt. Dies ist eine große Erkenntnis der Mathematik, die ich bisher noch nicht gesehen habe. Sie eröffnet eine neue Welt, in der weiter ein großes Entdeckungspotenzial steckt.
Die Ganzzahligkeit von Zähler und Nenner sowie die Existenz der neuen Zahlen
Die Ganzzahligkeit der Quotienten und deren Existenz haben wir schon zuvor beim Beweis der Überrationalität der Wurzel aus Zwei besprochen und sind im wesentlichen, unter Berücksichtigung der Primzahlen und ihrer Potenzen, auf unser nun allgemeines Ergebnis zu übertragen.
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Diskussion des Beweises |
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Es ist uns gelungen den vorstehenden Beweis der Überrationalitätsvermutung zu führen, ohne uns explizit mit den gegebenenfalls irrationalen Werten der Wurzeln und deren genauer Entstehung auseinander zu setzen.
Welche tieferen Einsichten haben wir vorstehend gewonnen und welche können wir noch weiter schöpfen?
Das feine Raster der irrationalen endlichen Wurzeln
Die irrationalen endlichen Wurzeln entstehen offenbar aus aktual unendlich großen Nennern und Zählen, die endliche rationale gebrochene Differenzen $ \frac{ 1 }{ x } $ in ihren aktual unendlichen Exponenten der Größenordnung $ g $ enthalten:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( \forall i \in \mathbb{N} \right) \left( g \in \mathbb{N}_{\infty} \right) \left[\; i < g \;\right] } \] | (SN.ÜV.112) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}n^{g}\;\;\;\in\;\;\;\mathbb{N}_{\infty} } \] | (SN.ÜV.120) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}n^{g + \frac{ 1 }{ x }}\;\;\;\in\;\;\;\mathbb{N}_{\infty} } \] | (SN.ÜV.122) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { n^{\frac{ 1 }{ x }}\;\;\;=\;\;\;\frac{ n^{g} \cdot n^{\frac{ 1 }{ x }} }{ n^{g} } } \] | (SN.ÜV.DB.1) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}n^{\frac{ 1 }{ x }}\;\;\;=\;\;\;\frac{ n^{g + \frac{ 1 }{ x }} }{ n^{g} } } \] | (SN.ÜV.DB.2) | ||
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| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}n^{\frac{ 1 }{ x }}\;\;\;=\;\;\;n^{g + \frac{ 1 }{ x } - g} } \] | (SN.ÜV.DB.3) | ||
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| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}n^{\frac{ 1 }{ x }}\;\;\;=\;\;\;n^{\frac{ 1 }{ x }} } \] | (SN.ÜV.DB.4) | ||
Der Beweis der Überrationalitätsvermutung zeigt uns aus Perspektive ganzzahliger Brüche, dass es sich bei den irrationalen endlichen Wurzeln tatsächlich um Brüche reiner Potenzen des Radikanden $ n $ der Wurzel handelt, was nur sichtbar ist, wenn der unendliche überrationale Bruch nicht gekürzt wird.
Dies gilt eben auch für die Kehrwerte der Wurzeln, nur das dort die endlichen rationalen Differenzen ein negatives Vorzeichen tragen:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { n^{g - \frac{ 1 }{ x }}\;\;\;\in\;\;\;\mathbb{N}_{\infty} } \] | (SN.ÜV.DB.5) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { n^{- \frac{ 1 }{ x }}\;\;\;=\;\;\;\frac{ n^{g} \cdot n^{- \frac{ 1 }{ x }} }{ n^{g} } } \] | (SN.ÜV.DB.6) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}n^{- \frac{ 1 }{ x }}\;\;\;=\;\;\;\frac{ n^{g - \frac{ 1 }{ x }} }{ n^{g} } } \] | (SN.ÜV.DB.7) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}n^{- \frac{ 1 }{ x }}\;\;\;=\;\;\;\frac{ n^{g} }{ n^{g} \cdot n^{\frac{ 1 }{ x }} } } \] | (SN.ÜV.DB.8) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}n^{- \frac{ 1 }{ x }}\;\;\;=\;\;\;\frac{ n^{g} }{ n^{g + \frac{ 1 }{ x }} } } \] | (SN.ÜV.DB.9) | ||
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| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}n^{- \frac{ 1 }{ x }}\;\;\;=\;\;\;n^{g - \frac{ 1 }{ x } - g} } \] | (SN.ÜV.DB.10) | ||
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| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}n^{- \frac{ 1 }{ x }}\;\;\;=\;\;\;n^{- \frac{ 1 }{ x }} } \] | (SN.ÜV.DB.11) | ||
Nenner und Zähler solcher Brüche der selben Basis und aktual unendlich großen Exponenten mit einer endlichen gebrochen rationalen Differenz sind zwar im selben aktual unendlich großen Raster ihrer Basis, dass beide ganze Zahlen sind und damit auf dem Zählraster liegen. Und doch sind sie so unterschiedlich, dass ihr Bruch eine endliche irrationale Zahl geben kann, die nicht-periodisch ist. Daran, dass diese irrationalen Realanteile algebraischer Zahlen aber auch Superial-Zahlen sind, erkennen wir, dass sie aber auch nicht so unterschiedlich sind, dass sie aktual unendlich kleine Summanden enthalten würden. Dies ist anders als zum Beispiel bei der irrationalen transzendenten Eulersche Zahl $ \e_{\s} $, die aktual unendlich kleine Summanden enthält.
Diese überrationalen Brüche sind schon etwas sehr bemerkenswertes und besonderes. Wir lernen darüber etwas Neues auf dem Gebiet der Zahlentheorie. Es bliebe uns verborgen, wenn wir es einfach nur weg kürzten und es nicht zu deuten wüssten.
Endliche Wurzeln – gebrochene Exponenten – können auch im Endlichen ganze Zahlen ergeben
Das Wurzeln aus ganzen Zahlen ja auch wieder ganze Zahlen ergeben können, sehen wir ja auch im Endlichen. Die zweiten Wurzeln aus allen Quadratzahlen sind zum Beispiel allesamt ganze Zahlen. Wie die zweite Wurzel aus vier:
Im Fall von $ 2^{k} \cdot 1,41421356237309… $ kann der Faktor $ 2^{k} $ niemals dafür sorgen, dass das Produkt eine ganze Zahl wird.
Für aktual unendliche $ k ≔ g $ überspringen wir eben diese Größengrenze:
Und das Produkt wird aufgrund der Größe des Faktors $ 2^{g} $ beziehungsweise $ n^{g} $ grundsätzlich zu einer ganzen Zahl, aber von aktual unendlicher Größe.
Nur die aktual unendlichen Potenzen des Zahlen-Radikals der Basis ergeben ein Raster, dass auch die gebrochenen Potenzen der Basis zu ganzen Zahlen macht
(In Arbeit …)
(In Arbeit …)
Was ist der kleinste Faktor einer gebrochenen Zahl, der aus ihr eine ganze Zahl macht?
(In Arbeit …)
Wir sehen, dass der Faktor hier nur von den Nachkommastellen abhängt.
Warum ist das so?
(In Arbeit …)
Aufgrund des Distributivgesetzes gilt:
Da $ n \cdot k $ eh eine ganze Zahl sein muss, kommt es ja nur darauf an, dass $ a \cdot k $ auch eine ganze Zahl wird, damit schließlich unsere Summe ganzzahlig ist.
Durch eine Abrundung mit Hilfe der Gaußklammer2 können wir dies folgendermaßen zum Ausdruck bringen:
(In Arbeit …)
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Untersuchung der Potenzialzahlen |
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Der Beweis der Überrationalitätsvermutung lässt die Frage aufkommen, ob es nicht auch ein separates Zahlensystem zu den aktual unendlichen Potenzen natürlicher Zahlen wie $ n^{ω} $ gibt.
Die Potenzialzahlen sind im Allgemeinen weder Superial-Zahlen noch Ordinalzahlen
Im Abschnitt ›Die natürlichen Superial-Zahlen $ \mathbb{S}_{\N} $ und die Ordinalzahlen $ \mathbb{On} $ im Strukturvergleich‹ vergleichen wir die Struktur der Superial-Zahlen mit der Struktur der Ordinalzahlen. Dabei stellen wir erstaunliche Ähnlichkeiten bei gleichzeitigen grundlegenden Unterschieden fest, die sich wundersam ergänzen.
Wir können sagen, dass die Ordinalzahlen3 $ \mathbb{On} $ ein rein positives Stellenwertsystem4 zur Basis $ ω $ sind. Sie beginnen mit den natürlichen Zahlen und setzen sich danach mit den Summen der endlichen Vielfachen sowie den endlichen Potenzen von $ ω $ fort, wie $ 3 ω^{2} + 5 $. Danach kommen dann die aktual unendlichen Potenzen des aktual Unendlichen $ ω^{ω} $, also wie $ 3^{\frac{ 1 }{ 2 }} \s^{2} + 5 = 3^{\frac{ 1 }{ 2 }} \left( ω^{ω} \right)^{2} + 5 $, und so weiter.
Die natürlichen Superial-Zahlen sind nun ein Stellenwertsystem zur Basis $ \s = ω^{ω} $, wie wir durch den Beweis der Primzahlprodukt-Vermutung wissen. Auch die natürlichen Superial-Zahlen beginnen mit den endlichen natürlichen Zahlen, gehen danach dann mit den Summen der endlichen reell algebraischen Vielfachen von $ \s $ weiter, positiven wie auch negativen, und dessen endlichen natürlichen Potenzen, wobei im endlichen Summanden nur endliche ganze Zahlen als Koeffizienten vorkommen.
Dadurch, dass in den Superial-Zahlen viel feinere und auch negative Koeffizienten vorkommen können, verhalten sich Superial-Zahlen ganz anders als Ordinalzahlen. So sind die Ordinalzahlen, bis auf die endlichen natürlichen Zahlen und dann $ \s = ω^{ω} $, $ \s^{2} = ω^{2 ω} $ und ähnliche, keine Superial-Zahlen.
Systematisch gesehen gibt es auch noch die aktual unendlichen Potenzen der natürlichen Zahlen, wie $ 2^{ω} $, oder allgemeiner $ n^{ω} $, die ich Potenzialzahlen nenne und die in der oben bewiesenen Überrationalitätsvermutung ja die zentrale Rolle spielen. Auch diese sind im Allgemeinen keine Superial-Zahlen! Daher sollten wir uns mit ihnen noch näher befassen.
Die Potenzialzahlen
Wie eben erwähnt, ist festzustellen, dass Zahlen wie $ n^{ω} $ nicht zur Menge der Superial-Zahlen $ \mathbb{S} $ gehören, auch, wenn der Beweis oben sie verwendet und dieser entscheidende Konsequenzen für die sinnvollen Koeffizienten der Superial-Zahlen hat. Denn faktoriell sind diese Zahlen, oder besser ihre wesentlichen Eigenschaften, im Primzahl-Flächenprodukt von $ \s $ enthalten, jedoch kommen sie eben nicht in Reinform in den Superial-Zahlen vor.
Zur Klasse5 der Ordinalzahlen gehören die Potenzialzahlen im Allgemeinen ebensowenig. Dort lassen sich viele überhaupt gar nicht einordnen, weil sie nicht ihre mengentheoretischen Bedingungen erfüllen, obwohl die Zahl $ 2^{ω} $ als Kardinalität mit der Kontinuumshypothese6 grundlegend zusammenhängt und diese wiederum mit den Ordinalzahlen.
Natürliche Potenzialzahlen
Natürliche Potenzialzahlen sind erst einmal positive ganze Zahlen einschließlich der Null. Sie sind im Endlichen im Grunde zunächst die endlichen natürlichen Zahlen quasi in Form ihrer Primfaktorisierung, zuzüglich der Null und Eins, sowie deren positive natürliche Potenzen. Summen dieser sind immer wieder als Primfaktorisierung darstellbar.
Dann geht es im Aktual-Unendlichen über zu den $ ω $-ten Potenzen der natürlichen Zahlen. Die aktual unendlichen Potenzen können auch Vielfache und Potenzen von $ ω $ sowie endliche rationale Summanden enthalten.
Nachfolgend sind die Klassen- beziehungsweise Mengeneinträge einmal nach der Basis und einmal nach der Potenz geordnet. Die jeweilige Basis $ _{\perp}n $ dieser Potenzdarstellung besteht aus den Primzahlen ihrer Primfaktorierung in der Potenz aus den Primzahlen, die in den Potenzen der einzelnen Primzahlen keinen gemeinsamen Teiler haben, und dann noch in der Potenz des gemeinsamen Teilers aller Potenzen.
Wir definieren also die Oberpotenz einer natürlichen Zahl $ _{\sqcap}n $ und die Oberpotenzbasis $ _{\perp}n $ dazu:
Für Einträge, die ins Aktual-Unendliche gehen, ist zu berücksichtigen, dass folgende aktual unendliche gebrochene Potenzen auch aktual unendliche ganze Zahlen ergeben:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( \forall k, m, x \in \mathbb{N}^{+} \right) \left( \forall y \in \mathbb{Z} \right) \left[\; n^{k ω^{m} + \frac{ y }{ x }}\;\;\;\in\;\;\;\mathbb{Pn} \;\right] } \] | (SN.Ei.NR.Exp.23) |
Hier die Einträge nach dem gemeinsamen Teiler der Potenzen, also der Oberpotenz, und innerhalb dieser nach der Größe der Oberpotenzbasis sortiert:
Hier die Einträge erst nach der Oberpotenzbasis und innerhalb dieser nach den Oberpotenzen sortiert:
Eine maßgebliche Frage ist: kommt die grau eingefärbte Zeile $ ω^{1}, ω^{2}, ω^{3} \cdots $ in den Potenzialzahlen wirklich vor? Denn die dahinter liegende Frage ist, auf welcher Grundlage – durch welche Systematik – wir die Potenzialzahlen erzeugt sehen.
Grundlage könnte die arithmetische Struktur der Geometrie sein. (In Arbeit …)
Verständnis des Rechnens
(In Arbeit …)
Addition
(In Arbeit …)
(In Arbeit …)
(In Arbeit …)
Multiplikation
(In Arbeit …)
(In Arbeit …)
(In Arbeit …)
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Fußnoten |
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| 1. | ↑ |
(Primärliteratur einfügen!) Internet: Vgl. Wikipedia, Vollständige Induktion, Das Axiom der vollständigen Induktion. Vgl. Wikipedia, Unendlichkeitsaxiom, Formulierung; Bedeutung für die Mathematik, Natürliche Zahlen. |
| 2. | ↑ |
(Primärliteratur einfügen!) Internet: Vgl. Wikipedia, Abrundungsfunktion und Aufrundungsfunktion. |
| 3. | ↑ |
(Primärliteratur einfügen!) Internet: Vgl. Wikipedia, Ordinalzahl. |
| 4. | ↑ |
(Primärliteratur einfügen!) Internet: Vgl. Wikipedia, Stellenwertsystem. |
| 5. | ↑ |
(Primärliteratur einfügen!) Internet: Vgl. Wikipedia, Klasse (Mengenlehre), Echte Klassen. |
| 6. | ↑ |
(Primärliteratur einfügen!) Internet: Vgl. Wikipedia, Kontinuumshypothese. |
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Stand 23. April 2026, 21:00 CET.
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