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Primzahlprodukt-Vermutung (Beweis)
Die Primfakultätsidentität von $ ω $ innerhalb der ZFC-Mengenlehre
Das Produkt aller endlichen Primzahlen ist mit der Anzahl der natürlichen Zahlen $ ω $ Identisch. Dies zeigt, dass die aktuale Unendlichkeit der vollständigen Induktion eine bisher unentdeckte innere Arithmetik enthält
| ▼ | Notizen (Beginn; nicht für inhaltliche Beurteilungen beachten) |
Primzahlzwillingsvermutung
• Können wir über den Beweis der Primzahlprodukt-Vermutung die Primzahlzwillingsvermutung beweisen?
Interessante Erkenntnisse zu Primzahlen
• Der Calkin-Wilf-Baum muss etwas mit der Primzahlstruktur zu tun haben, weil alle seine Brüche teilerfremde Zähler und Nenner haben.
• Mit dem Satz von Wilson können wir herausfinden, ob eine Zahl eine Primzahl ist, wenn ich es richtig verstehe, siehe Primzahl-Produkt-Definition von $ \s $ in meinem Ordner „4. Variante“, Dokument „Sup-Zahl (52).pdf“, S. 5.
| ▲ | Notizen (Ende; nicht für inhaltliche Beurteilungen beachten) |
Abstract: Die Identität des unendlichen Primzahlprodukts $ ω = ω\overline{\#} $
Einleitung und Problemstellung
In der klassischen mathematischen Analysis führt das unendliche Produkt aller endlichen Primzahlen $ 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdots $ zu einer numerischen Divergenz gegen Unendlich ($ \infty $), wodurch jede algebraische Feinstruktur und Teilbarkeitsinformation verloren geht.
Diese Arbeit präsentiert eine fundamentale Lösung dieses klassischen Divergenzproblems. Wir verlagern den Fokus weg von der rein numerischen Größenbetrachtung hin zu einer relationalen und strukturellen Arithmetik innerhalb der Standard-Mengenlehre (ZFC).
Über die ordinale Mengendarstellung nach von Neumann weisen wir nach, dass das unendliche Primzahlprodukt kein unbestimmtes Unendliches ist, sondern als ein präziser algebraischer Struktur-Generator fungiert. Das zentrale Ergebnis dieser Arbeit ist der strikt deduktive Beweis der transfiniten Identität:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { ω\;\;\;=\;\;\;ω\overline{\#}\;\;\;=\;\;\;\left( 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdots \right)_{\forall \mathbb{P}} } \] |
Der methodische Ansatz: Die Primturm-Kombinatorik
Dieser Beweis baut auf dem klassischen Fundamentalsatz der Arithmetik auf. Das System wird über drei neue, streng mengentheoretische Kernkonzepte formalisiert:
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Die Primturmzerlegung $ \pt( n ) $: |
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Das Primturm-Potenzraster $ \pr( n ) $: |
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Das lückenlose Primturm-Potenzraster $ \lpr( n ) $: |
Die Beweisstrategie: Das generative Primzahl-Induktions-Lemma
Der Kern des Beweises beruht auf einem eleganten, konstruktiven Induktionsschritt. Für das Produkt aller Primzahlen bis zu einem endlichen Index $ i $ wird mit Hilfe der Mengen-Primfakultät des direkten Nachfolgers dieser Primzahl $ (p_{i} + 1)\overline{\#} $ bewiesen, dass die erste strukturelle Lücke im Erzeugungsspektrum $ \pr\left( (p_{i} + 1)\overline{\#} \right) $ exakt an der Position der nächsthöheren Primzahl $ p_{i+1} $ auftritt. Es gilt die fundamentale Lückenregel:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \lpr\left( (p_{i} + 1)\overline{\#} \right)\;\;\;=\;\;\;p_{i + 1} } \] |
Beim transfiniten Grenzübergang $ i → ω $ dehnt sich das Produkt über die Gesamtheit aller existierenden endlichen Primzahlen aus, während die begrenzende Schranke des lückenlosen Rasters $ p_{i+1} $ über jede noch so große endliche Zahl hinaus gegen unendlich wandert.
Da das unendliche Produkt somit im Grenzwert keine endliche Schranke mehr besitzt, umfasst sein dichtes Erzeugungsspektrum die vollständige Menge der natürlichen Zahlen $ \mathbb{N} $. Da in ZFC die absolute Identität $ \mathbb{N} = ω $ verankert ist, fallen das unendliche Produkt und die ordinale Struktur von $ ω $ im Limes unweigerlich ineinander.
Konsequenzen und wissenschaftliche Tragweite
Dieses Theorem schlägt eine vollkommen neue Brücke zwischen der multiplikativen Welt der Zahlentheorie und der relationalen Welt der Mengenlehre. Es beweist die Primzahlprodukt-Vermutung als eine notwendige und widerspruchsfreie Konsequenz innerhalb der Standard-Axiome von ZFC.
Das etablierte System bietet ein mathematisch rigoroses Fundament, um transfinite Arithmetik und divisatorische Strukturen weit jenseits der Grenze der endlichen Zahlen (wie für $ ω + 1 $ oder $ 2ω $) sauber zu definieren, ohne jemals im Widerspruch zur klassischen Arithmetik zu stehen.
Ergänzende Vorbemerkung
Wichtig zum Verständnis und zur Einordnung des folgenden Beweises im Rahmen der Superial-Zahlen:
Es wird innerhalb der ZFC-Mengenlehre über Identität bewiesen, dass das gewöhnliche von-Neumann-Ordinal1 $ ω $ selber schon dem Produkt aller endlichen Primzahlen entspricht. Wir zeigen also: $ ω $ besitzt die innere Arithmetik eines aktual unendlichen Produkts endlicher Zahlen. Damit erkennen wir, dass die Ordinalzahlen eine tiefere Arithmetik haben, als bisher bekannt.
Nun hat sich im Nachhinein die Fundierung der Superial-Zahlen auf Basis dieses Beweises ergeben, um auch diese innerhalb der ZFC-Mengenlehre als tiefere Erkenntnis zu formulieren. Es handelt sich aber nicht um einen Zirkelschluss, denn der Beweis ist zwar durch die Struktur der Superial-Zahlen inspiriert, aber sie spielen im Beweis keine Rolle.
Der folgende Beweis ist nicht als Erweiterung der ZFC-Mengenlehre oder als Veränderung der klassischen Ordinalarithmetik zu verstehen. Vielmehr wird innerhalb von ZFC eine Strukturidentität freigelegt: Die vollständige Induktion $ ω $ kann nicht nur als Zählstruktur der natürlichen Zahlen, sondern zugleich als vollständiges Primfakultätsobjekt der endlichen Primzahlen verstanden werden. Die Identität
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { ω\;\;\;=\;\;\;ω\overline{\#} } \] |
bezeichnet daher keine willkürliche neue Rechenregel, sondern eine Identifikation zweier in ZFC beschreibbarer Erzeugungsstrukturen: der additiv-zählenden Struktur der natürlichen Zahlen und der multiplikativ-primfaktoriellen Struktur aller endlichen Primzahlen.
Ursprung der Vermutung
Auf die Primzahlprodukt-Vermutung bin ich durch das Untersuchen der Struktur der Superial-Zahlen gestoßen.
Schauen wir uns das Zählen der natürlichen Superial-Zahlen an: Beim Zählen von natürlichen Superial-Zahlen von Null bis ohne $ \s $, in Form von $ a \cdot \s + z $, werden endliche sinnvolle Koeffizienten der Superial-Zahlen $ a \in \lbrack 0, 1 \lbrack_{\mathbb{A}_{\S}} $ – alle reell algebraischen Zahlen2 von Null bis ohne Eins – als Koeffizienten des Aktual-Unendlichen Summanden $ a \cdot \s $ mitgezählt, während dabei die endlichen ganzen Zahlen $ z $ im endlichen Summand für jedes $ a $ immer wieder vollständig durchlaufen. Betrachten wir im Folgenden mit Hilfe von $ \s $ das Verhältnis der Erzeugungsanzahl der endlichen sinnvollen Koeffizienten und der endlichen ganzen Zahlen, dann scheint intuitiv die Erzeugungsanzahl der endlichen natürlichen Zahlen dem Produkt aller endlichen Primzahlen gleich zu sein.
Den Ansatz zu dieser Vermutung finden wir im Abschnitt ›Ausgangspunkt der Primzahlprodukt-Vermutung‹, wo wir uns schon mit der Struktur von $ \s $ beschäftigt haben. Dabei fanden wir, dass die Erzeugungsanzahl der sinnvollen Koeffizienten $ \overline{\#} \lbrack 0, 1 \lbrack_{\mathbb{A}_{\S}} $, von der Null bis ausschließlich der Eins, nach Formel SN.Eig.S.L.12 eine aktual unendliche positive ganze Zahl sein muss. Das können wir mit Hilfe der Menge $ \mathbb{N}_\infty $ zum Ausdruck bringen:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \overline{\#} [ 0, 1 [_{\mathbb{A}_{\S}}\;\;\;=\;\;\;\frac{ \s }{ 2 ω } } \] | (SN.Eig.S.L.12) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}\frac{ \s }{ 2 ω }\;\;\;\in\;\;\;\mathbb{N}_{\infty} } \] | (SN.PP.1) |
Die Erzeugungsanzahl einer Menge berechnet sich aus den Erzeugungspositionen beziehungsweise der Erzeugungskombinatorik der Menge.
Die vorgenannte Ganzzahligkeit bedingt, dass alle Primfaktoren von $ 2 ω $ auch in $ \s $ vorkommen müssen, wenn sie existieren. Und wir wissen auch, dass $ \s $ unendlich viel größer als $ ω $ ist, denn nach unseren Erkenntnissen aus dem Kapitel ›Die Struktur von s‹ steht $ \s $ für die Anzahl der sinnvollen Koeffizienten der Superial-Zahlen und $ ω $ für die Anzahl der natürlichen Zahlen.
Wir vergleichen hierbei aber nicht die Mächtigkeit3 der Menge der sinnvollen Koeffizienten und die Mächtigkeit der natürlichen Zahlen, wobei es diesbezüglich darum ginge, ob sich zwei Mengen bidirektional aufeinander abbilden lassen. Sondern wir meinen hier die kombinatorische Erzeugung von Elementen der unendlich großen Menge der sinnvollen Koeffizienten im Verhältnis zur vollständigen Induktion bei der Erzeugung der Menge der natürlichen Zahlen.
Die unendlich viel größere Erzeugungskombinatorik drücken wir mit dem Symbol $ \overset{\infty}{\ggg} $ aus:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \s \;\;\;\overset{\infty}{\ggg}\;\;\; ω } \] | (SN.PP.2) |
Im Folgenden können wir dies klar erkennen.
Denn $ \s $ ist in Formel SN.Ein.26 durch folgendes Primzahl-Flächenprodukt definiert:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \s\;\;\;≔\;\;\;(2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot \cdots )_{1} \\ \qquad\;\; \cdot ( 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot \cdots )_{2} \\ \qquad\;\; \cdot ( 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot \cdots )_{3} \\ \qquad\;\; \;\;\;\; \vdots \\ \qquad\;\; \cdot ( 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot \cdots )_{n \in \mathbb{N}} \\ \qquad\;\; \;\;\;\; \vdots } \] | (SN.Ein.26) |
Die ZFC-konforme Operationalisierung unseres transfiniten Primzahl-Flächenprodukts als stabiles, normiertes Stellenwertsystem der Analysis über eine Familie verallgemeinerter $ p $-adischer Schichtbewertungen findet sich auf der Seite ›Die ZFC-Modellkonstruktion der Superial-Zahlen‹.
Da, wie oben geschildert, alle Primfaktoren von $ 2 ω $ auch in $ \s $ vorkommen müssen, muss $ 2 ω $, und somit auch $ ω $, ein Teil des Primzahl-Flächenprodukts sein. Und dieses Teilprodukt muss einen unendlich großen Wert haben.
$ ω $ kann nicht einer der unendlich großen Primzahltürme des Primzahl-Flächenprodukts sein
Nun können wir als erstes überlegen, ob es sich um einen der Primzahltürme handeln könnte: Die unendlich große Primzahl-Potenz mit der kleinsten Basis in $ \s $ ist $ 2^ω $. Wenn wir berücksichtigen, dass ja oben $ \s $ durch $ 2 ω $ geteilt wird und wir den Faktor $ 2 $ schon mal aus der unendlichen Potenz von $ 2 $ entfernen, ergibt sich immer noch $ 2^{ω-1} $, wobei $ ω - 1 $ als Biordinalzahl definiert ist.
Nun ist es offensichtlich, dass $ 2^{ω-1} $ ungleich und sogar sehr viel größer als $ ω $ ist:
Dies gilt dann auch für alle Potenzen dieser Größenordnung endlicher Primzahlen.
Somit kommt keine Primzahl der Potenz $ p^ω $, also eine Spalte des Primzahl-Flächenprodukts, als unendlich großer Primfaktoranteil von $ \s $, der $ ω $ gleicht, in Frage.
Wir vermuten, $ ω $ ist die vollständige Primfakultät aller endlichen Primzahlen
Eine Möglichkeit, die noch bleibt, ist, dass $ ω $ dem unendlichen Produkt aller endlichen Primzahlen gleich ist, also eine Zeile des Primzahl-Flächenprodukts:
Stimmt unsere Vermutung, dann ist $ \s $ das Gleiche wie $ ω $ hoch $ ω $.
An dieser Stelle sind wird nicht ganz sicher, ob wirklich alle endlichen Primzahlen in $ ω $ stecken oder auch welche endlich oft mehrfach vorkommen. Auch, wenn dies der einfachste Fall scheint, haben wir keinen Hinweis, warum eine der Primzahlen nicht fehlen oder doch mehrfach sein könnte. Außer, dass vielleicht die $ 2 $ an $ ω $ fehlen könnte, weil sie in $ 2 ω $ wieder separat hinzu kommt.
Die Eigenschaft von $ ω $ allerdings, mit gutem Recht, soweit wir wissen, in ihrer Mengendarstellung genau so viele gerade wie ungerade Zahlen zu enthalten, steht dem gegenüber. Sie liefert einen Grund, dass $ ω $ durch $ 2 $ teilbar sein sollte. Allgemein ist die Teilbarkeit von $ ω $ durch jede endliche Primzahl $ p \in \mathbb{P} $ die Voraussetzung für das Homogenitätsaxiom der Erzeugungsanzahl: $ \overline{\#}_{\mathrm{erz}}(p \mathbb{N}) = \tfrac{ω}{p} $ ist nur dann ganzzahlig, wenn $ p \mid ω $.
Wie können wir nun das Wissen schöpfen, dass alle endlichen Primzahlen genau ein Mal im Produkt vorkommen müssen?
Wir können unsere Vermutung plausibel machen, und schließlich auch beweisen, wenn wir erkennen, dass sowohl das vollständige Zählen als auch das vollständige Produkt aller endlichen Primzahlen das Raster der endlichen natürlichen Zahlen beschreiben.
Wir beginnen damit, zwei Möglichkeiten zu beleuchten, die Unendlichkeit der endlichen natürlichen Zahlen zu zeigen.
Zwei Arten die Unendlichkeit der endlichen natürlichen Zahlen zu beweisen
Der ›Satz des Euklid‹4 beweist, dass die Primzahlen in den unendlich vielen natürlichen Zahlen nicht enden, sondern es auch unendlich viele endliche Primzahlen gibt.
Wenn wir verstehen, dass der ›Satz des Euklid‹ ebenso beweist, dass die endlichen natürlichen Zahlen nicht enden, dann können wir erkennen, welche Bedeutung dieser Satz und das Zentrum seines Beweises für die natürlichen Zahlen hat.
Es gibt also mindestens zwei Arten die Unendlichkeit der endlichen natürlichen Zahlen zu beweisen:
Beweis durch Zählen
Einmal können wir die Unendlichkeit der endlichen natürlichen Zahlen durch das Zählen beweisen, mittels der vollständigen Induktion5, auf Basis des Zählatoms Eins, ausgehend von der Null.
Beweis durch die Primfakultät und die Phasenverschiebung um $ \pm 1 $
Und ein weiteres Mal können wir die Unendlichkeit der endlichen natürlichen Zahlen mittels der Primfakultät und der Phasenverschiebung um $ \pm 1 $ beweisen, auf Basis der Multiplikationsatome der Primzahlen und des Zählatoms Eins, ausgehend von der Eins. So, wie es nachfolgend im ›Satz des Euklid‹ beschrieben ist. Denn sein Beweis basiert auf der Primfakultät, also auf dem Primorial6, welche immer weiter potenziell ins Unendliche vorangetrieben wird und sich damit immer weiter dem Produkt aller Primzahlen aus Formel SN.PP.6 nähert.
In der Primfakultät $ p\# $ sind alle endlichen Primzahlen, von der Zwei bis zu einer größten $ p $, enthalten. Die größte wird dann im Beweis immer größer, bis ins Unendliche. Ausschließlich mit diesem Produkt funktioniert der Beweis und nicht, wenn irgendeine Primzahl im Produkt fehlt.
Da aufgrund des ›Fundamentalsatzes der Arithmetik‹7 alle natürlichen Zahlen größer als Eins entweder selber Primzahlen sind oder sich in Primfaktoren zerlegen lassen, erzeugt darüber die immer größer werdende Primfakultät indirekt alle natürlichen Zahlen größer als Eins, bis ins Unendliche, weil sie genau das Raster vorgibt, auf dem diese liegen.
Hohe Plausibilität der Primzahlprodukt-Vermutung
Es liegt also sehr nahe, dass das Produkt aller endlichen Primzahlen das Teilprodukt von $ \s $ ist, dass $ ω $ gleicht. Es gibt keinen Grund, warum eine der Primzahlen in dem Produkt mehrfach vorkommen sollte oder gar müsste. Womit wir noch keinen Beweis für die Primzahlprodukt-Vermutung haben, sie aber schon mal sehr plausibel erscheint. Genau dies zeigen wir nachfolgend und nutzen dazu die vorstehende Einsicht für den Beweis.
Zum ›Satz des Euklid‹
Der Beweis des ›Satz des Euklid‹ beweist, dass die Primzahlen endlicher Größe nicht enden.
Ich gebe diesen Beweis nachfolgend in Kurzform wieder. Dabei werde ich ihn etwas modifizieren, damit er zu den von uns gesuchten Eigenschaften am besten passt und wir ihn gut weiterverwenden können:
Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen im Endlichen gibt
Definition der Primzahlen im Endlichen:8
» Die Primzahlen sind innerhalb der Menge $ \mathbb{N} $ der natürlichen Zahlen dadurch charakterisiert, dass jede von ihnen genau zwei natürliche Zahlen als Teiler hat. « 9
Nach dieser Definition sind Null und Eins keine Primzahlen.
Dass es unendlich viele Primzahlen im Endlichen gibt, können wir durch die Schlussfolgerungskette des folgenden Beweises erkennen,10 wenn wir die Primfakultät11 von $ p $ mit $ p\# $ berechnen:
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Bilde die Primfakultät einer bekannten Primzahl, das Produkt aller Primzahlen kleiner und einschließlich dieser Primzahl: $ p\# $ |
| • |
Addiere Eins dazu oder ziehe Eins ab: $ p\# \pm 1 $ |
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$ p\# \pm 1 $ ist nicht durch eine der Primzahlen in $ p\# $ ganzzahlig teilbar. |
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$ p\# \pm 1 $ kann daher entweder nur selber eine Primzahl sein, die dann größer als $ p $ ist, oder ihr Primzahlprodukt enthält ausschließlich Primzahlen – mindestens zwei Stück –, die nicht in $ p\# $ enthalten sind und damit größer als $ p $ sein müssen. |
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Alle Primzahlen, durch die $ p\# \pm 1 $ teilbar ist, sind damit größer als $ p $. |
| • |
Es gibt also immer eine Primzahl, die größer ist als jede gegebene Primzahl $ p $, womit die Menge der endlichen Primzahlen nicht endet. |
Es gibt in den endlichen natürlichen Zahlen demnach bewiesenermaßen unendlich viele Primzahlen.
Besondere Rolle der Primfakultät
Die Primfakultät spielt im ›Satz des Euklid‹ die zentrale Rolle.
Zum einen sammelt sie alle Primzahlen bis einschließlich $ p $ lückenlos in ihrem Produkt $ p\# $ ein. Zum anderen erlaubt sie über ihre doppelte Variation um plus-minus Einen $ p\# \pm 1 $ Aussagen über weitere Primzahlen, die noch nicht in ihrem Produkt enthalten sind und fungiert so quasi auch als Konstruktor:
Entweder sind $ p\# - 1 $ und/oder $ p\# + 1 $ selber schon größere Primzahlen als $ p $ oder es gibt zwischen $ p $ und $ p\# - 1 $, also in der Intervall-Menge $ \rbrack p, p\# - 1 \lbrack_\mathbb{N} $, mindestens zwei oder vier oder gar mehr weitere Primzahlen, die in der Primfaktorzerlegung12 von $ p\# - 1 $ und/oder $ p\# + 1 $ stecken.
Ansatz: Das passende Verständnis zum Beweis unserer Vermutung
Eine Perspektivenfindung
Wir nutzen folgende Erkenntnis für unseren Ansatz:
Lemma 1: Primfaktorinterval
Alle natürlichen Zahlen $ n \ge 2 $, die kleiner als eine bestimmte Primzahl $ p $ sind, lassen sich aus einem Produkt der Primzahlen bilden,
die kleiner als $ p $ sind.
Oder andersherum gesagt:
Lässt sich eine natürliche Zahl $ n \ge 2 $ nicht aus einem Produkt von Primzahlen bilden, die kleiner sind als sie selber, dann ist es eine neue Primzahl.
Beweis
Nach dem ›Fundamentalsatz der Arithmetik‹ ist jede natürliche Zahl $ n \ge 2 $ entweder selber eine Primzahl oder
besteht aus einem Produkt von Primzahlen, die allesamt kleiner sein müssen als sie selber.
Damit müssen alle natürlichen Zahlen $ n \ge 2 $, die kleiner als eine bestimmte Primzahl $ p $ sind, entweder selber eine Primzahl kleiner $ p $ sein oder aus Primfaktoren bestehen, die kleiner als $ p $ sind. $ \blacksquare $
Nun finden wir heraus, wie wir diese Erkenntnis in Verbindung mit dem ›Satz des Euklid‹ für unseren Beweis nutzen können. Dies tun wir, indem wir daraus sowohl die Menge der endlichen Primzahlen konstruieren als auch die der endlichen natürlichen Zahlen rekonstruieren. Diese neue Mengenkonstruktion der endlichen Primzahlen sowie die durch sie ermöglichte Rekonstruktion der natürlichen Zahlen und im Besonderen die sich daraus ergebenden Entsprechungen können wir für unseren Beweis ins Aktual-Unendliche fortsetzen.
Unser Einstieg über die Primfakultät
Berechnen wir Beispielhaft das Produkt der endlichen Primzahlen von den kleinsten Primfaktoren her mit der Primfakultät13 $ p\# $, dann wird deutlich, dass es schnell sehr viel größer wird, als die größte in ihm vorkommende Primzahl:14
Im ersten Moment erscheint es eher undurchsichtig, was die Primfakultät mit der Anzahl von aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen in einer Menge zu tun hat.
Die Anzahl von aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen in einer endlichen Menge
Die Ordinalzahlen15, und in erweiterter Form die Biordinalzahlen, definieren die Anzahl der aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen in endlichen und unendlichen Mengen, und symbolisieren diese mit den Mengen selbst.
Nach Formel BO.Ein.5 finden wir dort für die Anzahl $ n $ der Elemente in einer endlichen Menge aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { n\;\;\;≔\;\;\;\left\{ 0, 1, 2, \cdots , n - 1 \right\} } \] | (BO.Ein.5) |
Jede natürliche Zahl $ n $ steht also für eine lückenlose Menge, von der Null an.
Die Anzahl der Elemente einer Menge scheint hier mit dem nächst größeren Element $ n $ als das größte Element der Menge $ n - 1 $ gleichgesetzt. Bei näherer Betrachtung müssen wir aber feststellen, dass diese Perspektive nicht weit trägt. Denn schon bei der Null, der leeren Menge, funktioniert sie nicht, weil es kein größtes Element in der leeren Menge gibt.
Die aktual unendliche Anzahl aller Elemente der Menge $ \mathbb{N} $ der endlichen natürlichen Zahlen wird als die Anzahl der Schritte einer vollständigen Induktion16 verstand und wie folgt als $ ω $ definiert:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { ω\;\;\;≔\;\;\;\mathbb{N}\;\;\;=\;\;\;\left\{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, \cdots \right\} } \] | (BO.Ein.9) |
In der Menge $ \mathbb{N} $ ist nun keine größte Zahl mehr definiert und $ ω $ ist somit auch nicht die größte Zahl in $ \mathbb{N} $ plus Eins. Sogar finden wir in den Biordinalzahlen im Abschnitt ›Es gibt mehr ganze Zahlen von Null bis zu ω, als der Wert von ω ausdrückt‹, dass sich noch ganze Zahlen zwischen jeder natürlichen Zahl in $ \mathbb{N} $ und $ ω $ definieren lassen.
Wie können wir dies Interpretieren und aus welcher Perspektive passend betrachten?
Ich denke, es sollte noch eine weitere Art und Weise geben, Werte, die eine Anzahl natürlicher Zahlen von der Null an angeben, mit einer Menge zu beschreiben. Und zwar mit einer Menge von Zahlen, die auf seiner Primfaktorzerlegung basieren und das Primfaktor-Spektrum oder Primfaktor-Raster des Werts widerspiegeln.
Definition: Die Primturmzerlegung
Eine auf Primzahlen basierende eineindeutige faktorielle Mengendarstellung der natürlichen Zahlen
Wie können wir die Primfaktorzerlegung jeder natürlichen Zahl eindeutig in einer Menge darstellen?
Das ist nur durch eine Menge der Primzahltürme einer natürlichen Zahl möglich, die wir Primturmzerlegung nennen. Denn eine Menge der reinen Primfaktoren wäre nicht eindeutig, weil dies nicht die Potenzen der Primzahlen berücksichtigt.
$ E_{\infty} $ ist eine Menge zugelassener ordinaler Exponenten mit $ E_{\infty} \subset \mathbb{On} $.
Also setzen wir
und damit ist $ E_{\infty} $ auch die Menge der existierenden $ p $-adischen Bewertungen $ v_{p}( n ) $.
Hier bezeichnet $ v_{p}( n ) $ die Erweiterung der $ p $-adischen Bewertung. Ihr Wertebereich ist nicht mehr nur $ \mathbb{Z} $, sondern eine ordinal-arithmetisch erweiterte Wertstruktur, in der $ ω $ als arithmetisierte Einheit der vollständigen Induktion auftritt.
Sei $ \mathbb{N}_{\infty,v_{p}} $ die Teilmenge aus der Menge der endlichen und aktual unendlichen natürlichen Zahlen $ \mathbb{N}_\infty $
für die endliche oder aktual unendliche natürliche $ p $-adische Bewertungen17 existieren. Wobei diese Bewertungen $ v_{p}(n) $ liefern, in welcher Potenz die Primzahl $ p $ im Produkt $ n $ vorhanden ist.
Dabei ist $ \le_{\infty,v_{p}} $ die strukturelle Ordnung auf $ \mathbb{N}_{\infty,v_{p}} $. Die zugehörige geordnete bewertete Struktur sei
welche die gewöhnliche Ordnung auf $ \mathbb{N} $ erweitert und die aktual unendlichen Quotientenbereiche der in $ \mathbb{N}_{\infty,v_{p}} $ enthaltenen vollständigen Primfakultät aller endlichen Primzahlen $ P_{ω} ≔ 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot \cdots $ ordnet.
Die entscheidenden Ordnungseigenschaften sind:
1. Erweiterung der endlichen Ordnung
Damit bleibt die gewöhnliche Ordnung der endlichen natürlichen Zahlen unverändert.
2. Endliche Zahlen liegen unter aktual unendlichen Zahlen
Das entspricht der Definition der Biordinalzahlen: Aktual unendliche natürliche Zahlen liegen oberhalb jeder endlichen natürlichen Zahl.
3. Existenz der Quotienten und ihrer endlichen Vorgänger
Seien
Dann gilt für die Quotienten:
Und für deren endliche Vorgänger:
Damit sichergestellt ist, dass die später verwendeten Lücken im nachfolgend definierten Primturm-Potenzraster Elemente von $ \mathbb{N}_{\infty,v_{p}} $ sind.
4. Quotienten-Koinitialität
Sei die Menge der endlichen Vorgänger der Quotienten
Für diese Vorgänger soll
gelten.
Dies alles haben wir konkret festgelegt, damit unser späteres Lückenargument besser kontrollierbar ist.
Notationsvereinbarung: Auf $ \mathbb{N}_{\infty,v_{p}} $ bezeichnet $ ≤ $ im Folgenden stets die Ordnung $ \le_{\infty,v_{p}} $ der Struktur $ \mathfrak{N}_{\infty,v_{p}} $. Ebenso ist jede Intervall-Menge $ [a,b]_{\mathbb{N}_{\infty,v_{p}}} $ bezüglich dieser Ordnung zu verstehen.
Sei $ \pt(n) $ die Menge der Primzahltürme der $ n \in \mathbb{N}_{\infty,v_{p}} $
einmal definiert über die $ p $-adische Bewertung und einmal über die exakte Teilung, dann ist diese Menge also die Menge der Primzahlen in der maximalen Potenz, die $ n $ noch ganzzahlig teilt, oder sie enthält im Falle von Null nur die Null, also $ \left\{ 0 \right\} $, oder ist im Falle von Eins die leere Menge $ \varnothing $.
Die Null und die Eins werden hier berücksichtigt, weil wir die natürlichen Zahlen komplett abbilden wollen. Der Parameter $ n $ und sein Funktionswert, seine Primturmzerlegung, entsprechen einander demnach eineindeutig, da es zu jedem $ n $ genau eine jeweils andere Primturmmenge gibt.
Die ersten Primturmmengen dieser Funktion sind
und so fort.
Was uns ein Gefühl für die Eineindeutigkeit beziehungsweise Bijektivität der Funktion gibt, die wir nun zeigen.
Lemma 2: Primturmzerlegungs-Entsprechung
Die Primturmmenge $ \pt(n) $ der Primturmzerlegung einer Zahl $ n $ entspricht dieser Zahl.
Das bedeutet, es gibt eine eineindeutige bijektive Abbildung18
zwischen $ n $ und $ \pt(n) $.
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { n\;\;\;\widehat{=}\;\;\;\pt(n) } \] | (SN.PP.43) |
Beweis
Nach dem ›Fundamentalsatz der Arithmetik‹ lässt sich jede endliche natürliche Zahl, die größer oder gleich Zwei ist, eineindeutig in Primfaktoren zerlegen.
Diese Zerlegung entspricht eineindeutig der Primturmmenge jeder Zahl größer oder gleich Zwei.
Die noch fehlenden Zahlen Null und Eins entsprechen eineindeutig noch nicht belegten, naheliegenden Mengen.
Die Null wird als Sonderfall durch $ \{ 0 \} $ repräsentiert. Die Eins entspricht dem leeren Primturmprodukt und daher der leeren Primturmmenge $ \varnothing $.
Damit ist die Funktion $ \pt(n) $ komplett bijektiv, also eineindeutig, und so eine Entsprechung. $ \blacksquare $
Diese Primturmmenge können wir nun nutzen, um daraus das Primfaktor-Spektrum oder Primfaktor-Raster der natürlichen Zahl zu bestimmen.
Definition: Das Primturm-Potenzraster
Die Erweiterung der Primturmzerlegung zu einem Potenzrasters oder Potenzspektrum
Im Rahmen der Mengendarstellung der Ordinalzahlen wird jede endliche natürliche Zahl $ n $, von der Null an, durch eine Menge repräsentiert, die all ihre Vorgänger enthält. Dies stellt den Zählaspekt dieser Zahlen dar, also auch die Anzahl an Zahlen in dieser Menge, die ihrem Wert entspricht.
Deren Primturmzerlegung $ \pt(n) $ ist eine Menge, die den multiplikativen Aspekt einer solchen Zahl darstellt. Sie bezieht sich aber nicht direkt auf die Erzeugung einer Menge – ein Spektrum oder Raster – natürlicher Zahlen, die mit ihrer Primturmzerlegung in Verbindung stehen, also die durch die in ihr enthaltenen Primzahltürme erzeugt werden.
Diese Menge möchte ich nun vorstellen und nenne sie das Primturm-Potenzraster.
Beim Primturm-Potenzraster geht es darum zu analysieren, welche anderen natürliche Zahlen sich, mit den in einer natürlichen Zahl vorhandenen Primzahltürme, durch Variation ihrer Potenzen darstellen lassen. Denn es geht im Besonderen in einem zweiten Schritt darum, mit einer natürlichen Zahl ein Raster zu beschreiben, das zeigt, wie vollständig sich die natürlichen Zahlen, von der Null an, mit der Variation der Potenzen ihrer Primzahltürme beschreiben lassen.
Enthält eine natürliche Zahl einen Primfaktor, wie zum Beispiel die Zwei, mehrfach, dann können wir die selben Faktoren nicht untereinander unterscheiden. Denn all diese Zweien sind ja gleich. Unterscheiden können wir zwischen ihnen nur, wenn wir auch die Potenz der Primzahl sehen und im Primzahlturm belassen. Reduzieren wir also einen Primzahlturm auf seine Primzahlbasis, dann eliminieren wir einen essenziellen Teil seiner Eigenschaften, seines Charakters.
Würden wir in dem Fall also nur die einzelnen Primfaktoren berücksichtigen und in ihrer Potenz variieren, dann erhielten wir, aufgrund der Reduktion der Primzahlpotenzen auf ihre Primzahlbasis, Doppeldeutigkeiten, die eine vollständige und damit differenzierte Beschreibung der möglichen Spektren oder Raster unmöglich machen. So gesehen ist die Variation von Primzahltürmen keine Willkür, sondern zwingend, um Eineindeutigkeit zwischen der Menge des jeweiligen Primturm-Potenzrasters und der natürlichen Zahl, die es beschreibt, zu gewährleisten.
Zur Definition der Menge des Primturm-Potenzrasters einer Zahl $ n $ und der Berechnung der lückenlosen Intervall-Menge endlicher und aktual unendlicher natürlicher Zahlen an seinem Beginn, von der Null an, brauchen wir im Folgenden also die Menge der Primturmzerlegung $ \pt( n ) $ dieser Zahl.
Sei $ \pr(n) $ das Primturm-Potenzraster beziehungsweise die unendliche Primturm-Potenzraster-Menge,
erzeugt aus ihrem endlichen oder aktual unendlichen natürlichen Parameter $ n \in \mathbb{N}_{\infty,v_{p}} $,
eine Menge die alle Kombinationen der natürlichen Potenzen seiner Primzahltürme enthält,
wobei die Null und die Eins dazu genommen werden:
Die Menge des Primturm-Potenzrasters wird hier erzeugt, indem alle Elemente in $ \pt(n) $ in jeder möglichen endlichen und aktual unendlichen natürlichen Potenz miteinander kombiniert werden, denn $ E_{\infty, \pt(n)} $ enthält ja auch die Null. Wobei $ E_{\infty, \pt(n)} $ die Menge der zugelassenen Exponentenbelegungen ist.
Beim Übergang von $ \pt(n) \rightarrow \mathbb{P} $, vom Endlichen ins Aktual-Unendliche, enthält $ E_{\infty, \mathbb{P}} $ mindestens:
1. endliche Support-Belegungen, damit alle endlichen natürlichen Zahlen entstehen,
2. die konstante Eins-Belegung, damit die später interessante, aktual unendliche, vollständige Primfakultät $ P_{ω} = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cdots $ entsteht,
3. kofinite Eins-Belegungen, damit Terme wie $ \frac{ P_{ω} }{ 2 } , \frac{ P_{ω} }{ 3 } , \frac{ P_{ω} }{ 5 } , \frac{ P_{ω} }{ 2 \cdot 3 } , \frac{ P_{ω} }{ 7 } , \cdots $ entstehen.
Dies legen wir konkret fest, damit das spätere Lückenargument besser kontrollierbar ist.
Die Menge des Primturm-Potenzrasters $ \pr\left( P_{ω} \right) $ enthält dann
um relevante Ausschnitte deutlich zu machen.
Das Primturm-Potenzraster ist eine eineindeutige Abbildung jeder natürlichen Zahl, wie wir nun zeigen.
Lemma 3: Primturm-Potenzraster-Entsprechung
Das Primturm-Potenzraster $ \pr(n) $ einer Zahl $ n $ entspricht dieser Zahl.
Das bedeutet, es gibt eine eineindeutige bijektive Abbildung
zwischen $ n $ und $ \pr(n) $.
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( \forall n \in \mathbb{N} \right) \left[\; n\;\;\;\widehat{=}\;\;\;\pr( n ) \;\right] } \] | (SN.PP.46) |
Beweis
Dies ist eine ebenso eineindeutige, bijektive Abbildung, wie die Primturmmenge.
Denn für die Fälle $ n \ge 2 $ gilt dies, weil das Primturm-Potenzraster die Primturmzerlegung als kleinste Elemente beziehungsweise kleinste Potenzen auf Basis der entsprechenden Primzahlen enthält, also $ \pt(n) \subseteq \pr(n) $. Diese Untermenge wird dann ja nur noch um all die Produkte aller möglichen Exponentenkombinationen erweitert. Die Einzigartigkeit der Primturmzerlegung bleibt im Primturm-Potenzraster dabei erhalten, denn es kommen ja nur Produktkombinationen mit gleich großen oder ganzzahlig größeren Potenzen oder Null-Potenzen der enthaltenen Primzahlen hinzu, die so niemals dazu führen können, dass die entsprechende Erweiterung einer Primturmmenge dem Primturm-Potenzraster einer anderen Primturmmenge gleicht. Diese Einzigartigkeit bleibt auch dann erhalten, wenn bei $ n \ge 2 $ generell die Elemente $ \{ 0, 1 \} $ hinzugefügt werden.
Und für den Sonderfall $ n = 0 $ wird dann die Menge $ \pr\left( 0 \right) = \varnothing $ und für den Sonderfall $ n = 1 $ wird $ \pr\left( 1 \right) = \{ 0, 1 \} $ gesetzt, die beide in den Fällen $ n \ge 2 $ nicht auftreten und so auch einzigartig sind.
Jede natürliche Zahl beschreibt und charakterisiert also ihr eigenes Primturm-Potenzraster und umgekehrt. $ \blacksquare $
Definition: Das lückenlose Primturm-Potenzraster
Der Lückenlose Beginn des Primturm-Potenzrasters
Das Primturm-Potenzraster nutzen wir nun, um seinen lückenlosen Anteil an seinem Beginn zu berechnen.
Sei $ \lpr(n) $ die maximale lückenlose Menge natürlicher Zahlen, von der Null an,
im Primturm-Potenzraster $ \pr(n) $
die wir erhalten, indem wir alle endlichen und aktual unendlichen natürlichen Zahlen mit existierender $ p $-adischer Bewertung, von Null bis einschließlich $ x $, in einer Intervall-Menge zusammenfassen, die Teilmenge19 des oder gleich dem Primturm-Potenzrasters sind.
Damit haben wir etwas besonderes geschaffen, wie wir noch sehen werden.
Definition: Die Mengen-Primfakultät
Das Primturm-Potenzraster ist vom Ansatz des Beweises des ›Satz des Euklid‹ inspiriert und bietet nun, mit Hilfe der jetzt zu entwickelnden, abgewandelten Primfakultät, eine weitere Möglichkeit, die natürlichen Zahlen zu beschreiben, wie oben schon dargelegt. So gelingt es uns anschließend, die endlichen Primzahlen zu erzeugen und mit ihnen die natürlichen Zahlen erneut zu konstruieren. Dies führt uns schließlich auch zum Beweis unserer Vermutung.
Dies alles erreichen wir über ein tieferes Verständnis, wie der Beweis des ›Satz des Euklid‹ funktioniert, und über eine zu diesem Zweck etwas abgewandelte Primfakultät, mit der wir nun beginnen.
Sei der Mengen-Primorial-Operator $ \mathbb{T}\overline{\#} $, auch Mengen-Primfakultät genannt,
der Operator, der alle Primzahlen in der Menge $ \mathbb{T} $ in einem Produkt multipliziert:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \mathbb{T}\overline{\#}\;\;\;≔\;\;\;\!\! \prod_{ \forall p \in \mathbb{T} \cap \mathbb{P} } \! p } \] | (SN.PP.48) |
So erhalten wir eine Definition der Primfakultät, die sich auf die Elemente von Mengen bezieht.
Wie in den Ordinalzahlen beziehungsweise Biordinalzahlen definiert, können endliche und unendliche Zahlen einer Repräsentation durch Mengen entsprechen. In beiden Theorien wird diese Entsprechung als Gleichheit definiert, wie oben beispielhaft gezeigt.
Dann ergibt sich beispielsweise für die ersten natürlichen Zahlen, wenn wir sie demgemäß als Mengen verstehen:
Die vorm Operator stehende Zahl ist niemals Teil des Produkts, da die Menge, die eine Ordinalzahl repräsentiert, nicht selber in ihrer Menge enthalten ist.
Setzen wir diese Reihe für alle natürlichen Zahlen bis ins Unendliche zu $ ω $ fort, so ergibt sich:
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \mathbb{N}\overline{\#}\;\;\;=\;\;\;\!\! \prod_{ \forall p \in \mathbb{N} \cap \mathbb{P} } \! p } \] | (SN.PP.62) | ||
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}ω\overline{\#}\;\;\;=\;\;\;\mathbb{N}\overline{\#}\;\;\;=\;\;\;\!\! \prod_{ \forall p \in \mathbb{P} } \; p } \] | (SN.PP.63) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}ω_{\forall p}\;\;\;=\;\;\;ω\overline{\#} \;\; , } \] | (SN.PP.64) | ||
denn hier liefert uns $ ω\overline{\#} $ ein Produkt aller Primzahlen in $ \mathbb{N} $, also ein Produkt aller endlichen Primzahlen
einfacher Potenz.
Und so gesehen stellt sich unsere Vermutung nun als
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { ω\;\;\;\overset{?}{=}\;\;\;ω\overline{\#} } \] | (SN.PP.66) |
dar.
Doch was bedeutet das Produkt aller Primzahlen in Mengen natürlicher Zahlen generell?
Was sind die Bedingungen, unter denen das fragliche Gleichheitszeichen erfüllt ist? Wie können wir sie formulieren?
| ▼ | Beispiele zur Primturmzerlegung, zum Primturm-Potenzraster und zum lückenlosen Primturm-Potenzraster: |
Nachdem wir nun die Formalien definiert haben, möchte ich die Zusammenhänge an Zahlenbeispielen verdeutlichen und erlebbar machen.
Für die Zahl $ 0 $ haben wir:
Für die Zahl $ 1 $ haben wir:
Für die Zahl $ 2 $ haben wir:
Für die Zahl $ 4 $ haben wir:
Für die Zahl $ 6 = 5\overline{\#} = 4\overline{\#} $ haben wir:
Für die Zahl $ 9 $ haben wir:
Für die Zahl $ 10 $ haben wir:
Für die Zahl $ 18 $ haben wir:
Für die Zahl $ 20 $ haben wir:
Für die Zahl $ 30 = 7\overline{\#} = 6\overline{\#} $ haben wir:
Für die Zahl $ 210 = 11\overline{\#} = 10\overline{\#} = 9\overline{\#} = 8\overline{\#} $ haben wir:
Wenn die Primzahlprodukt-Vermutung stimmt, dann gilt:
Für die Zahl $ ω \overset{?}{=} ω\overline{\#} $ haben wir:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \pt\left( ω\overline{\#} \right)\;\;\;=\;\;\;\left\{ 2, 3, 5, 7, 11, 13 \cdots \right\} } \] | (SN.PP.118) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \pr\!\left( ω\overline{\#} \right)\;\;\;=\;\;\;\pr( 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdots) } \] | (SN.PP.119) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\pr\!\left( ω\overline{\#} \right)\;\;\;=\;\;\;\left\{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, \cdots \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; \vdots \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\quad 2^{0} \cdot 3^{0} \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdots, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; 2 \cdot 3 \cdot 5^{0} \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdots, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; 2 \cdot 3^{0} \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdots, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; 2^{0} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdots, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; \color{Bittersweet}{ 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdots }, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; 2^{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdots, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; 2 \cdot 3^{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdots, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; 2^{3} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdots, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; 2 \cdot 3 \cdot 5^{2} \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdots, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdots, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; \vdots \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\quad 2^{ω}, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; 2^{ω} \cdot 2, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; 2^{ω} \cdot 3, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; \vdots \; \right\} } \] | (SN.PP.45) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \lpr\!\left( ω\overline{\#} \right)\;\;\;\overset{?}{=}\;\;\;\left\{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, \cdots \right\} \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\;=\;\;\;\mathbb{N}\;\;\;=\;\;\;ω } \] | (SN.PP.120) |
So können wir vielleicht schon ein wenig erkennen, wohin die Reise geht.
Analyse des ›Satzes des Euklid‹ in Bezug auf die Mengen-Primfakultät
In den obigen endlichen Beispielen zur Mengen-Primfakultät handelt es sich ja um Mengen $ \mathbb{T} = n \in \mathbb{N} $, deren Elemente endliche natürliche Zahlen sind, von der Null bis zu einer endlichen größten $ n - 1 $.
Aus einer neuen Perspektive auf den ›Satz des Euklid‹ stellen wir fest, dass die Mengen-Primfakultät $ n\overline{\#} $ uns ein Produkt aller Primzahlen liefert, das die Primfaktoren der Primfaktorzerlegungen aller Elemente $ x $ der Menge $ n $ enthält. Das haben wir mit dem Beweis von ›Lemma 1: Primfaktorinterval‹ gezeigt.
Nebenerkenntnis: Für den ›Satz des Euklid‹ spielt die Potenz der Primzahlen keine Rolle, wenn sie größer gleich Eins ist
Eine aufschlussreiche Nebenerkenntnis des ›Satzes des Euklid‹, die auf den ersten Blick kaum auffällt, ist, dass es in der Primfakultät seines Beweises egal ist, in welcher Potenz eine Primzahl vorliegt, solange diese größer gleich Eins ist.
Addieren wir Eins oder ziehen Eins ab, ist das Ergebnis nicht durch alle enthaltenen Primzahlen teilbar, auch, wenn die Potenz der Primzahl größer als Eins ist. Es kann nämlich beim Unteilbar-Machen von Produkten in Bezug auf ihre Faktoren wie $ p = 5 \Rightarrow p\# = 2 \cdot 3 \cdot 5 $ durch $ p\# \pm 1 $ oder $ \Rightarrow p\# \cdot 2 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 $ durch $ p\# \cdot 2 \pm 1 $ nicht zwischen den gleichen Primzahlen im Produkt unterschieden werden. Beide Summen in den Beispielen sind nicht durch $ 2 $ teilbar.
Einzig dann funktioniert der Beweis des ›Satzes des Euklid‹ nicht, wenn eine Primzahl im Produkt fehlt. Das bedeutet, die minimale Potenz von Eins jeder Primzahl reicht aus, um die Endlosigkeit der Primzahlen zu beweisen. Diese Erkenntnis ist für das Verständnis unseres Beweises der Primzahlprodukt-Vermutung wichtig und macht im Verbund plausibel, warum sie stimmt.
Für das Primturm-Potenzraster hat die Mengen-Primfakultät als Parameter eine besondere Bedeutung
Da das Primturm-Potenzraster ein Zahlenspektrum aufgrund der Primzahltürme seines Parameters liefert, ergibt die Mengen-Primfakultät einer Zahl $ n $ als sein Parameter, also $ \pr\!\left( n\overline{\#} \right) $, ein besonderes Spektrum oder Raster:
Wenn wir die Mengen-Primfakultät einer natürlichen Zahl $ n $ als Parameter des Primturm-Potenzrasters benutzen, also $ \pr\!\left( n\overline{\#} \right) $, dann basiert sein Zahlenspektrum oder Zahlenraster auf allen Primzahlen, die kleiner als $ n $ sind. Damit ist es nach ›Lemma 1: Primfaktorinterval‹ lückenlos bis zur nächsten Primzahl $ p \ge n $. Dieses lückenlose Interval $ \lpr\!\left( n\overline{\#} \right) $ enthält also alle Zahlen $ x < p $.
Zusammen mit der vorhergehenden Analyse lässt sich daraus eine Anleitung erkennen, wie wir aus einer endlichen natürlichen Zahl, die keine Primzahl ist, die nächst größere Primzahl, mittels Algebra und Mengenlehre, berechnen können. Somit erhalten wir auch eine Anleitung, aus einer gegebenen Primzahl immer wieder die nächste zu berechnen. Denn das Primturm-Potenzraster der Mengen-Primfakultäten einer Primzahl $ \pr\!\left( p_i\overline{\#} \right) $ kombiniert schließlich alle Primturm-Potenzraster der in ihm enthaltenen Primzahlen.
Definition: Berechnung der nächsten Primzahl
Per Algebra und Mengenlehre von einer Primzahl zur nächsten
Wie wir an den obigen endlichen Beispielen erkennen können und wie gerade erklärt, enthält das lückenlose Primturm-Potenzraster der Mengen-Primfakultät einer Primzahl als größte Zahl die letzte natürliche Zahl, bevor in Bezug auf das Zählen diese Primzahl als neue Zahl zur Menge, und damit zu diesem Produkt, hinzukommt. Das lückenlose Primturm-Potenzraster $ \lpr\left( p_i\overline{\#} \right) $ der Mengen-Primfakultät $ p_i\overline{\#} $ der Menge einer Primzahl $ p_i $ ist also die größte Menge mit natürlichen Zahlen $ 0 \leq x < p_i $, die durch ihr Primturm-Potenzraster aller kleineren Primzahlen $ p_{< i} < p_{i} $ in dieser Menge lückenlos dargestellt wird. Dieses spezielle lückenlose Primturm-Potenzraster einer Primzahl entspricht also auch eben dieser Mengen-Primfakultät.
$ p_i\overline{\#} $ ist also eine eineindeutige und vollständige Entsprechung der Menge $ p_{i} $:
wie zuvor erläutert.
Die Mengen-Primfakultät $ p_i\overline{\#} $ ist allerdings eine natürliche Zahl, die, wie oben schon gesagt, bei zunehmender Größe von $ p_i $ rasant wächst und weit außerhalb der Menge an natürlichen Zahlen liegt, dessen lückenloses Primturm-Potenzraster sie definiert. Quasi wie ein Puppenspieler, der aus den höheren Gefilden das Spiel in den niederen Ebenen dirigiert.
Die Mengen-Primfakultät $ x\overline{\#} $ einer natürlichen Zahl $ x $ liefert
als Parameter des lückenlosen Primturm-Potenzrasters $ \lpr\!\left( x\overline{\#} \right) $
die nächste Primzahl oder sich selbst, wenn sie selber schon eine Primzahl ist:
Denn die erste Lücke befindet sich gleich bei $ p_{i} $ selber, der natürlichen Zahl, die die nächst größere als die größte in der Menge ist. Damit ist die Lückenlosigkeit des lückenlosen Primturm-Potenzrasters wirklich ganz genau auf die Menge $ p_{i} = \lbrack 0, p_{i} - 1 \rbrack_\mathbb{N} $ begrenzt und definiert diese Zahlenmenge exakt.
Für den Fall, dass $ x = p_{i} + 1 $, also der direkte Nachfolger einer Primzahl ist, folgt:
Für den Fall, dass $ x $ schon die nächste Primzahl oder gleich der vorhergehenden ist, folgt:
Wie wir oben schon gesehen haben.
Wir können jetzt eine neue Primzahl aus den uns bekannten vorangegangenen Primzahlen erzeugen. Also erzeugen wir die auf eine bekannte Primzahl folgende Primzahl durch Hochzählen um Einen, um unsere Primzahl dadurch mit in die Mengen-Primfakultät zu bekommen.
Wir beschreiben dies so, dass das Primturm-Potenzraster eine erste Lücke aufwies und die neue Primzahl diese Lücke nun füllt.
Das lückenlose Primturm-Potenzraster einer beliebigen natürlichen Zahl
Im Besonderen ist ein jedes derartiges Primturm-Potenzraster $ \pr\!\left( n \right) $ eine Beschreibung der kleinsten fehlenden reinen Primzahl in seinen Primzahltürmen, die auf seiner ersten Rasterlücke sitzt. Diese Primzahl erhalten wir dann durch $ \lpr\!\left( n \right) $.
Haben wir eine Potenz einer Primzahl $ p_i $ größer als Eins, wie $ p_i^k $, mit $ k > 1 $, dann ist das Primturm-Potenzraster niemals lückenlos für die kleineren Potenzen von $ p_i $.
Sehen können wir das an den Beispielen für $ \pr\!\left( 4 \right) $, $ \pr\!\left( 9 \right) $ und $ \pr\!\left( 18 \right) $ unter ›Beispiele zur Primturmzerlegung, zum Primturm-Potenzraster und zum lückenlosen Primturm-Potenzraster‹.
Denn die Menge $ \pr\!\left( 4 \right) $ hat die erste Lücke bei der $ 2 $, also ergibt sich: $ \lpr\!\left( 4 \right) = 2 $.
Die Menge $ \pr\!\left( 9 \right) $ hat auch die erste Lücke bei der $ 2 $, also ergibt sich: $ \lpr\!\left( 9 \right) = 2 $.
Hingegen hat die Menge $ \pr\!\left( 18 \right) $ die erste Lücke erst bei der $ 3 $, weil die $ 2 $ im Produkt steckt, aber nicht die $ 3 $ als Primzahlturm, sondern der Primzahlturm ist $ 9 $. Also ergibt sich: $ \lpr\!\left( 18 \right) = 3 $.
Es ist also immer die kleinste Primzahl, mit Potenz Eins, die in den Primzahltürmen fehlt, die als Ergebnis kommt.
Das Zählen der natürlichen Zahlen in Primzahlen
Die zählende Konstruktion der Primzahlen und damit der natürlichen Zahlen gleichzeitig
Die Menge der endlichen Primzahlen $ \mathbb{P} $ können wir nun durch vollständige Induktion20 erzeugen.
Wir konstruieren und definieren also die Menge aller endlichen Primzahlen
auf Basis der jeweiligen Vorgänger-Primzahlen, die mit der bekannten Menge der Primzahlen $ \mathbb{P} $ identisch ist; in der äquivalenten Gleichung über den Closure-Operator oder Abschlussoperator als induktiver Abschluss beschrieben.
Dieses Vorgehen können wir als natürliche, vollständige Definition der endlichen Primzahlen verstehen.
Dies ist in dieser Anordnung nur mit der Mengen-Primfakultät möglich, die uns, mit Hilfe des lückenlosen Primturm-Potenzrasters, die Menge der natürlichen Zahlen über die Menge der Primzahlen konstruiert. Wobei an der Mengen-Primfakultät entscheidend ist, dass sie uns die Primfaktoren vom Beginn an lückenlos in der ersten Potenz liefert.
Dadurch wird immer die nächste Primzahl berechnet, die dann wieder mit all ihren vorangegangenen Primzahlen, die darauf folgende berechnet.
| ▼ | Beispiele zum Zählen der natürlichen Zahlen in Primzahlen: |
Nachfolgend beispielhaft die Berechnung der ersten Primzahlen der Menge $ \mathbb{P} $.
Die jeweiligen Primturm-Potenzraster Mengen finden wir in den entsprechenden Beispielen oben.
Sei der Beginn der Primzahlen $ \mathbb{P} $ in den natürlichen Zahlen
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { p_{1}\;\;\;=\;\;\;\boxed{ 2 } } \] | (SN.PP.127) |
und sei die jeweils nächste Primzahl nach Formel SN.PP.125 gegeben, dann lautet der Beginn der nachfolgenden Primzahlen, sich in angeordneter Reihenfolge ergebend,
bis ins Unendliche.
Und so können wir dann alle endlichen Primzahlen fortwährend berechnen.
Die natürlichen Zahlen über das Zählen der Primzahlen rekonstruieren
Vereinigen wir die Mengen, die allen oben induktiv gezählten Primzahlen entsprechen, erhalten wir alle natürlichen Zahlen.
Es existiere also die Menge
aller endlichen natürlichen Zahlen; aus allen Primzahlen konstruiert; und wegen Formel SN.PP.124 auch direkt geschrieben werden kann.
Über die Erzeugung der Menge aller Primzahlen erzeugen wir auch die Menge alle natürlichen Zahlen. Dies kommt unserer Vermutung schon sehr nahe.
Der Beweis der Primzahlprodukt-Vermutung
Wenn das Zählen der natürlichen Zahlen in Primzahlen ins Unendliche zu $ ω $ übergeht
Das besondere Verhalten des Primturm-Potenzrasters im Zusammenhang mit der Mengen-Primfakultät einer Primzahl als Parameter, wie eben dargelegt, können wir jetzt durch den Übergang ins Unendliche zu $ ω $ für den Beweis nutzen, weil wir auf diese Weise, wie oben erklärt, auch alle natürlichen Zahlen rekonstruieren:
Da $ ω $ die Menge der natürlichen Zahlen $ \mathbb{N} $ repräsentiert, enthält es natürlich auch alle endlichen Primzahlen. Die Mengen-Primfakultät der vollständigen Induktion $ ω\overline{\#} $ ist also das Produkt aller endlichen Primzahlen, wie schon gesagt.
Nachfolgend zeigen wir zunächst, dass das lückenlose Primturm-Potenzraster der Mengen-Primfakultät der vollständigen Induktion tatsächlich den lückenlosen Anfang $ ω $ besitzt. Aus diesem Ergebnis leiten wir anschließend die Motivation des Identitätssatzes her, um verständlich zu machen, warum diese Identifikation in der Ordinalarithmetik naheliegt.
Satz 1: Grenzübergangsprinzip der Primfakultät
Wenn eine Folge der Primturm-Potenzraster endlicher Mengen-Primfakultäten
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \pr\left( p_{i}\overline{\#} \right) } \] | (SN.PP.153) |
für jede endliche Primzahl $ p_{i} $ das lückenlose Anfangssegment
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \lpr\left( p_{i}\overline{\#} \right)\;\;\;=\;\;\;\left\{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, \cdots p_{i} - 1 \right\} } \] | (SN.PP.154) |
erzeugt und die $ p_{i} $ gegen die vollständige Primzahlerzeugung übergehen, dann erzeugt der Grenzparameter
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { ω\overline{\#} } \] | (SN.PP.155) |
das vollständige lückenlose Anfangssegment
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \mathbb{N}\;\;\;=\;\;\;ω \;\; . } \] | (SN.PP.156) |
Also:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \lpr\left( ω\overline{\#} \right)\;\;\;=\;\;\;ω \;\; . } \] | (SN.PP.157) |
Beweis
Sei
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { P_{ω}\;\;\;=\;\;\;2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot \cdots } \] | (SN.PP.158) |
das vollständige einpotenzige Produkt aller endlichen Primzahlen.
Da jede endliche Primzahl $ p \in \mathbb{P} $ genau einfach vorkommt, gilt
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( \forall p \in \mathbb{P} \right) \left[\; v_{p}\left( P_{ω} \right)\;\;\;=\;\;\;1 \;\right] \;\; . } \] | (SN.PP.159) |
Damit ist die Primturmmenge von $ P_{ω} $ nach Formel SN.PP.28
Also besteht $ \pt\left( P_{ω} \right) $ genau aus allen endlichen Primzahlen:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \pt\left( P_{ω} \right)\;\;\;=\;\;\;\left\{ 2, 3, 5, 7, 11, 13, \cdots \right\} \;\; . } \] | (SN.PP.161) |
Das zugehörige Primzahl-Potenzraster ist nach Formel SN.PP.44 daher
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \pr\left( P_{ω} \right)\;\;\;=\;\;\;\{ 0, 1 \} \; \cup \; \left\{\; {\displaystyle \prod_{ \forall t \in \pt\left( P_{ω} \right) } \! t^{k_{t}} }\;~\middle|~\;\left( k_{t} \right)_{t \in \pt\left( P_{ω} \right)} \in E_{\infty, \pt\left( P_{ω} \right)} \;\right\} \\ \qquad\;\;\;\;=\;\;\;\{ 0, 1 \} \; \cup \; \left\{\; {\displaystyle \; \prod_{ \forall p \in \mathbb{P} } p^{k_{p}} }\;~\middle|~\;\left( k_{p} \right)_{p \in \mathbb{P}} \in E_{\infty, \mathbb{P}} \;\right\} } \] | (SN.PP.162) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\pr\!\left( P_{ω} \right)\;\;\;=\;\;\;\left\{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, \cdots \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; \vdots \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\quad 2^{0} \cdot 3^{0} \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdots, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; 2 \cdot 3 \cdot 5^{0} \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdots, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; 2 \cdot 3^{0} \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdots, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; 2^{0} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdots, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; \color{Bittersweet}{ 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdots }, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; 2^{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdots, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; 2 \cdot 3^{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdots, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; 2^{3} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdots, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; 2 \cdot 3 \cdot 5^{2} \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdots, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdots, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; \vdots \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\quad 2^{ω}, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; 2^{ω} \cdot 2, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; 2^{ω} \cdot 3, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; \vdots \; \right\} } \] | (SN.PP.45) |
wobei $ E_{\infty, \mathbb{P}} \subset \mathbb{On} $ die zugelassene Menge ordinaler Exponenten bezeichnet, die bei der Definition des Primturm-Potenzrasters in Formel SN.PP.44 nachfolgend festgelegt wurde, um das Lückenargument besser kontrollierbar zu machen.
1. Alle endlichen natürlichen Zahlen liegen im Raster
Sei
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { n\;\;\;\in\;\;\;\mathbb{N} \;\; . } \] | (SN.PP.163) |
Falls $ n = 0 $ oder $ n = 1 $, gilt unmittelbar
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { n\;\;\;\in\;\;\;\pr\left( P_{ω} \right) \;\; , } \] | (SN.PP.164) |
da $ 0, 1 \in \pr\left( P_{ω} \right) $.
Sei nun $ n \ge 2 $. Dann besitzt $ n $ nach der eindeutigen Primfaktorzerlegung eine Darstellung
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { n\;\;\;=\;\;\;p_{1}^{a_{1}} \cdot p_{2}^{a_{2}} \cdot \cdots \cdot p_{m}^{a_{m}} \cdot \;\; , } \] | (SN.PP.165) |
wobei
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { p_{1}, p_{2}, \cdots , p_{m}\;\;\;\in\;\;\;\mathbb{P} } \] | (SN.PP.166) |
endliche Primzahlen sind und
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { a_{1}, a_{2}, \cdots , a_{m}\;\;\;\in\;\;\;\mathbb{N} } \] | (SN.PP.167) |
endliche Exponenten.
Da
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \pt\left( P_{ω} \right)\;\;\;=\;\;\;\mathbb{P} } \] | (SN.PP.168) |
gilt, kommen alle Primzahlen $ p_{i} $ als Primtürme im Raster von $ P_{ω} $ vor. Da außerdem alle endlichen Exponenten in $ E_{\infty,\pt( P_{ω} )} $ enthalten sind, kann $ n $ als Element von $ \pr\left( P_{ω} \right) $ erzeugt werden.
Also gilt
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( \forall n \in ω \right) \left[\; n\;\;\;\in\;\;\;\pr\left( P_{ω} \right) \;\right] } \] | (SN.PP.169) |
Damit folgt
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { ω\;\;\;\subseteq\;\;\;\pr\left( P_{ω} \right) \;\; . } \] | (SN.PP.170) |
Der gesamte endliche Anfang liegt also lückenlos im Primzahl-Potenzraster von $ P_{ω} $.
2. Definition des lückenlosen Anfangs
Wir verwenden nun die Definition des lückenlosen Anfangs
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \lpr(n)\;\;\;≔\;\;\;\left\{\; x \in \mathbb{N}_{\infty,v_{p}}\;~\middle|~\;[0 , x]_{\mathbb{N}_{\infty,v_{p}}} \subseteq \pr(n) \;\right\} \;\; , } \] | (SN.PP.47) |
wobei laut Definition der Intervall-Menge
Damit ist $ \lpr(n) $ der größte lückenlose Anfangsabschnitt des Primzahl-Potenzrasters $ \pr(n) $ bezüglich der Ordnung von $ \mathbb{N}_{\infty,v_{p}} $.
Aus
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { ω\;\;\;\subseteq\;\;\;\pr\left( P_{ω} \right) } \] | (SN.PP.170) |
folgt unmittelbar, dass jeder endliche Anfangsabschnitt lückenlos in $ \pr\left( P_{ω} \right) $ enthalten ist. Für jedes
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { m\;\;\;\in\;\;\;ω\;\;\;=\;\;\;\mathbb{N} } \] | (SN.PP.172) |
gilt also
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { [0 , m]_{\mathbb{N}_{\infty,v_{p}}}\;\;\;\subseteq\;\;\;\pr\left( P_{ω} \right) \;\; . } \] | (SN.PP.173) |
Daher gilt
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { ω\;\;\;\subseteq\;\;\;\lpr\left( P_{ω} \right) \;\; . } \] | (SN.PP.174) |
3. Im aktual unendlichen Bereich treten Lücken auf
Es bleibt zu zeigen, dass kein aktual unendliches Element zu $ \lpr\left( P_{ω} \right) $ gehört.
Lemma 4: Lückenabstiegsprinzip – Lückenabstieg im aktual unendlichen Bereich
Sei also
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { x\;\;\;\in\;\;\;\mathbb{N}_{\infty,v_{p}} \setminus ω } \] | (SN.PP.175) |
aktual unendlich.
Seien
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { D_{\text{fin}}\;\;\;≔\;\;\;\left\{\; \prod_{ \forall p \in F_{\text{fin}} } p\;~\middle|~\;F_{\text{fin}} \subseteq \mathbb{P}, F_{\text{fin}} \; \text{endlich} \;\right\} } \] | (SN.PP.23) |
endliche einpotenzige Primzahlprodukte.
Dann gilt das Lückenabstiegsprinzip, das sich formal schreiben lässt als:
Beweis Lemma 4: Lückenabstiegsprinzip
Das folgende Unterlemma 4a ist eine definierende Ordnungseigenschaft von $ \mathbb{N}_{\infty,v_{p}} $, während das Unterlemma 4b ein Normalformprinzip des Primmonomrasters $ \pr\left( P_{ω} \right) $ ist.
Unterlemma 4a: Quotientenabstieg – Quotienten-Koinitialität
Nach der Definition der Ordnung $ ≤_{\infty,v_{p}} $ ist die Menge
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \mathcal{L}\!\left( P_{ω} \right) } \] | (SN.PP.177) |
koinitial im aktual unendlichen Bereich von $ \mathbb{N}_{\infty,v_{p}} $.
Das heißt:
In Worten: Unterhalb jedes aktual unendlichen $ x $ liegt ein endlicher Vorgänger eines Quotienten von $ P_{ω} $ durch ein endliches einpotenziges Primzahlprodukt. $ \blacksquare $
Unterlemma 4b: Normalform-Rasterausschluss additiver Verschiebungen
Begründung Unterlemma 4b
Das Raster $ \pr\left( P_{ω} \right) $ besteht nach Definition aus
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 0, 1 } \] | (SN.PP.180) |
und den durch $ E_{\infty,\mathbb{P}} $ zugelassenen reinen Primmonomen
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \prod_{ \forall p \in \mathbb{P} } p^{k_{p}} \;\; . } \] | (SN.PP.181) |
Die Elemente
selbst sind solche Primmonome und gehören daher zu $ \pr\left( P_{ω} \right) $.
Das Primturm-Potenzraster wird hier also als formal erzeugtes Primmonomraster verstanden; Zugehörigkeit zu $ \pr\left( P_{ω} \right) $ bedeutet Zugehörigkeit zu einer zugelassenen Primmonom-Normalform.
Ihre endlichen Vorgänger
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \frac{ P_{ω} }{ d } - n\;\;\;\in\;\;\;\mathbb{N}_{\infty,v_{p}} \setminus ω } \] | (SN.PP.183) |
sind dagegen additive endliche Verschiebungen aktual unendlicher Primmonome. Solche additiven Verschiebungen besitzen keine zugelassene Primmonom-Normalform in $ E_{\infty,\mathbb{P}} $ und gehören deshalb nicht zum Primturm-Potenzraster.
Kurz:
Womit unterhalb jedes aktual unendlichen $ x $ bereits eine Lücke des Primzahl-Potenzrasters liegt. $ \blacksquare $
Fortsetzung des Beweises des Lemmas 4
Nach Lemma 4a gibt es
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { d \in D_{\text{fin}} } \] | (SN.PP.185) |
und
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { n \in \mathbb{N}_{>0} } \] | (SN.PP.186) |
mit
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 0 \le \frac{ P_{ω} }{ d } - n\;\;\;\le\;\;\;x \;\; . } \] | (SN.PP.187) |
Also gilt:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \frac{ P_{ω} }{ d } - n\;\;\;\in\;\;\;[0, x]_{\mathbb{N}_{\infty,v_{p}}} \;\; . } \] | (SN.PP.188) |
Nach Lemma 4b gilt zugleich:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \frac{ P_{ω} }{ d } - n\;\;\;\notin\;\;\;\pr\left( P_{ω} \right) \;\; . } \] | (SN.PP.189) |
Damit ist
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { [0, x]_{\mathbb{N}_{\infty,v_{p}}}\;\;\;\not\subseteq\;\;\;\pr\left( P_{ω} \right) \;\; . } \] | (SN.PP.190) |
Also:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { x\;\;\;\notin\;\;\;\lpr\left( P_{ω} \right) \;\; . } \] | (SN.PP.191) |
Da dies für jedes
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { x\;\;\;\in\;\;\;\mathbb{N}_{\infty,v_{p}} \setminus ω } \] | (SN.PP.192) |
gilt, folgt:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \lpr\left( P_{ω} \right)\;\;\;\subseteq\;\;\;ω \;\; . } \] | (SN.PP.193) |
Was der Beweis für das gesamte Lemma 4 und damit für unser Lückenabstiegsprinzip
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \boxed{\;\; \; \left( \forall x \in \mathbb{N}_{\infty,v_{p}} \setminus ω \right) \left( \exists d \in D_{\text{fin}} \right) \left( \exists n \in \mathbb{N}_{>0} \right) \;\; \\ \;\; \left[\; 0 \le \frac{ P_{ω} }{ d } - n \le x\;\;\;\land\;\;\;\frac{ P_{ω} }{ d } - n \notin \pr\left( P_{ω} \right) \;\right] \;\;} } \] | (SN.PP.176) |
ist. $ \blacksquare $
4. Ergebnis
Wir haben gezeigt:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { ω\;\;\;\subseteq\;\;\;\lpr\left( P_{ω} \right) } \] | (SN.PP.174) |
und
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \lpr\left( P_{ω} \right)\;\;\;\subseteq\;\;\;ω \;\; . } \] | (SN.PP.193) |
Daher gilt
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \lpr\left( P_{ω} \right)\;\;\;=\;\;\;ω \;\; . } \] | (SN.PP.194) |
Da
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { P_{ω}\;\;\;=\;\;\;ω\overline{\#} \;\; , } \] | (SN.PP.195) |
folgt
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \boxed{\;\; \lpr\left( ω\overline{\#} \right)\;\;\;=\;\;\;ω \;\;} \;\; . } \] | (SN.PP.157) |
Was wir zeigen wollten. $ \blacksquare $
Herleitung und Motivation der Identifikation von $ ω $ und $ ω\overline{\#} $
Wir haben nun folgendes Szenario ermittelt, das ich dabei in Bezug auf den Übergang ins Aktual-Unendliche, hin zu $ ω $, betrachte; hier und nachfolgend noch im Sinne der Entsprechung, nicht bereits als bewiesene Gleichheit:
Als erstes sehen wir eine Entsprechung jeder endlichen natürlichen Zahl und ihrer Primturmzerlegung, die wir sogleich als zu $ ω $ übergehend notieren:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( \forall n \in \mathbb{N} \right) \left[\; n\;\;\;\widehat{=}\;\;\;\pt(n) \;\right] } \] | (SN.PP.43) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( n \rightarrow ω \right) \left[\; ω\;\;\;\widehat{=}\;\;\;\pt(ω) \;\right] } \] | (SN.PP.196) |
Die Primturmzerlegung von $ ω $ soll $ ω $ entsprechen, was ein Hinweis darauf ist, dass diese existiert und ebenso aus endlichen Primzahlen bestehen sollte.
Dann haben wir die Entsprechung einer jeden endlichen natürlichen Zahl und ihrem Primturm-Potenzraster, die wir auch als zu $ ω $ übergehend notieren:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( \forall n \in \mathbb{N} \right) \left[\; n\;\;\;\widehat{=}\;\;\;\pr( n ) \;\right] } \] | (SN.PP.46) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( n \rightarrow ω \right) \left[\; ω\;\;\;\widehat{=}\;\;\;\pr( ω ) \;\right] } \] | (SN.PP.197) |
Demnach müsste $ \pr( ω ) $ beziehungsweise seine Primturmzerlegung einzigartig sein, also im Besonderen keiner Primturmzerlegung und keinem Raster einer endlichen Zahl entsprechen. Nach den Voraussetzungen des Beweises muss die Primturmzerlegung $ \pt( ω ) $ rein aus endlichen Primzahlen bestehen, auch schon, weil wir gar keine aktual unendlichen Primzahlen zur Verfügung haben. Beides gemeinsam, und die Aktual-Unendlichkeit von $ ω $, schließt eine endliche Primturmzerlegung aus, auch, da diese eine endliche natürliche Zahl ergeben würde. Eine unendliche Primturmzerlegung funktioniert folglich nur über unendlich viele unterschiedliche endliche Primzahlen, weil unendlich große Primzahltürme wie $ 2^{ω} $ in jedem Fall größer wären als $ ω $, wie wir ganz oben im Abschnitt ›$ ω $ kann nicht einer der unendlich großen Primzahltürme des Primzahl-Flächenprodukts sein‹ dargelegt haben.
Zusätzlich haben wir die Gleichheit einer jeden endlichen Primzahl mit ihrem lückenlosen Primturm-Potenzraster, die wir nun ebenso als zu $ ω $ übergehend notieren:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( \forall p_{i} \in \mathbb{P} \right) \left[\; p_{i}\;\;\;=\;\;\;\lpr\!\left( p_{i}\overline{\#} \right) \;\right] } \] | (SN.PP.124) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( p_{i} \rightarrow ω \right) \left[\; ω\;\;\;=\;\;\;\lpr\!\left( ω\overline{\#} \right) \;\right] } \] | (SN.PP.198) |
Diesen Übergang haben wir ja gerade zuvor mit Formel SN.PP.157 bewiesen.
Weiter ist es uns gelungen, die genau nachfolgende endliche Primzahl aus den Primzahlen vor ihr zu errechnen und damit auf anderem Wege die Menge aller endlichen natürlichen Zahlen zu rekonstruieren:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( \forall p_{i - 1}, p_{i} \in \mathbb{P} \right) \left[\; p_{i}\;\;\;=\;\;\;\lpr\!\left( \left( p_{i - 1} + 1 \right)\overline{\#} \right) \;\right] } \] | (SN.PP.123) |
Die entstehenden Primzahlen $ p_{i} $ sammeln in ihrer Mengendarstellung beim Größerwerden von $ i $ nach und nach alle Primzahlen $ p_{< i} $ ein. Dies führt beim Übergang zu einer Menge aller endlichen natürlichen Zahlen, die alle endlichen Primzahlen enthält, nämlich zu $ ω $ selbst
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( i \rightarrow ω \right) \left[\; p_{i}\;\;\;\rightarrow\;\;\;ω \;\right] \;\; , } \] | (SN.PP.199) |
was ebenso für eine Rekonstruktion der Menge der endlichen natürlichen Zahlen durch die in ihnen enthaltenen Primzahlen steht.
Dann wissen wir noch, dass jede endliche Primzahl ihrer Mengen-Primfakultät entspricht, was wir auch als zu $ ω $ übergehend notieren:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( \forall p_{i} \in \mathbb{P} \right) \left[\; \lpr\left( p_{i}\overline{\#} \right)\;\;\;=\;\;\;p_{i}\;\;\;\widehat{=}\;\;\;p_{i}\overline{\#} \;\right] } \] | (SN.PP.121) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( p_{i} \rightarrow ω \right) \left[\; \lpr\left( ω\overline{\#} \right)\;\;\;=\;\;\;ω\;\;\;\widehat{=}\;\;\;ω\overline{\#} \;\right] } \] | (SN.PP.200) |
Wobei die Gleichheit und die Entsprechung im Endlichen nur für Primzahlen gegeben ist, nicht aber für alle natürlichen Nicht-Primzahlen, die größer gleich $ 2 $ sind:
Der letzte gezeigte Übergang, mit seiner Gleichheit und Entsprechung, gilt also ausschließlich von endlichen Primzahlen zu $ ω $. Wir erkennen, wie eng jede Primzahl sowie auch $ ω $ über seine Mengen-Primfakultät mit dem lückenlosen Primturm-Potenzraster verknüpft ist.
Insgesamt erkennen wir auch, wie eng $ ω $ mit beidem, der vollständigen Induktion endlicher Primzahlen und der vollständigen Induktion natürlicher Zahlen, verknüpft ist. Es wird sichtbar, dass die Existenz jeder Primzahl auf der Primfakultät der in seiner Mengendarstellung enthaltenen Vorgänger basiert. Und in diesem Sinne basiert auch die Existenz von $ ω $ auf der Primfakultät der in seiner Mengendarstellung enthaltenen endlichen Vorgänger-Primzahlen.
Zusammen mit den eben dargelegten Eigenschaften der Primturmzerlegung von $ ω $ motiviert dies den Schluss, die Entsprechung von $ ω $ und $ ω\overline{\#} $ im nächsten Schritt als Gleichheit der erweiterten Ordinalarithmetik zu formulieren.
Satz 2: Theorem der inneren ZFC-Strukturidentität
Aus der engen mathematischen Verknüpfung zwischen der Mengen-Primfakultät, dem dichten Anfangsstück des Primturm-Potenzrasters und der vollständigen Induktion erwächst kein externes Postulat, sondern die notwendige mengentheoretische Konsequenz des transfiniten Grenzübergangs innerhalb von ZFC.
Wenn das dichte, lückenlose Erzeugungsspektrum des aktual unendlichen Primfakultätsobjekts $ ω\overline{\#} $ in seiner Gesamtheit und Mächtigkeit exakt mit der Ordinalzahl $ ω $ zusammenfällt, so folgt daraus eine direkte strukturelle Gleichheit als inhärente Eigenschaft der klassischen Mengenlehre (ZFC).
Seien
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { p_{0} = 2 \, , \; p_{1} = 3 \, , \; p_{2} = 5 \, , \; p_{3} = 7 \, , \; p_{4} = 11 \, , \; \cdots } \] | (SN.PP.202) |
die endlichen Primzahlen in aufsteigender Reihenfolge.
Für jedes endliche $ m \in ω $ sei das unendliche Primturm-Potenzraster der zugehörigen Mengen-Primfakultät betrachtet. Nach dem generativen Primzahl-Induktions-Lemma gilt für jeden Nachfolger:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \lpr\left( (p_{i} + 1)\overline{\#} \right)\;\;\;=\;\;\;p_{i + 1} } \] | (SN.PP.203) |
Da die endlichen Primzahlen in $ ω $ unbeschränkt sind, gilt für den Supremums-Grenzwert der ersten auftretenden Schranke (Lücke) im Zuge des Prozesses $ i \to \infty\ $:
Daraus folgt deduktiv für den transfiniten Grenzübergang:
Dieses Supremum liefert das fundamentale Bindeglied für den lückenlosen Anfang: Für jede beliebige, aber feste endliche natürliche Zahl $ n \in \mathbb{N} $ existiert aufgrund der Divergenz der Primzahlfolge ein Index $ i $, sodass $ n < p_{i + 1} $ gilt. Damit liegt $ n $ im lückenlosen Anfangssegment des endlichen Primorials $ (p_{i} + 1)\overline{\#} $. Da das Raster jedes endlichen Primorials eine strikte Teilmenge des transfiniten Gesamt-Rasters ist, folgt $ n \in \pr\left( ω\overline{\#} \right) $. Da dies für alle endlichen Elemente gilt, ist die Inklusion $ \mathbb{N} \subseteq \lpr\left( ω\overline{\#} \right) $ vollständig deduktiv bewiesen.
1.
Das aktual unendliche Primfakultätsobjekt $ ω\overline{\#} $ sammelt durch
den Limes des Durchschnitts über die Menge $ ω $ jede existierende endliche Primzahl genau einmal auf:
2.
Da die begrenzende Schranke des dichten, lückenlosen Rasters im Grenzwert über jede endliche natürliche Zahl hinauswandert,
und wir vorab $ \mathbb{N} \subseteq \lpr\left( ω\overline{\#} \right) $ gezeigt haben,
umfasst der lückenlose Anfangsabschnitt exakt die vollständige Menge $ \mathbb{N} $.
Da nach Satz 1 aktual unendliche Elemente zwingend eine Lücke erzeugen,
gilt zugleich $ \lpr\left( ω\overline{\#} \right) \subseteq \mathbb{N} $, woraus die Gleichheit folgt:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \lpr\left( ω\overline{\#} \right)\;\;\;=\;\;\;\left\{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, \cdots \right\}\;\;\;=\;\;\;\mathbb{N} } \] | (SN.PP.206) |
3.
Nach der standardmäßigen von Neumannschen Definition der Mengenlehre ist
die Menge der natürlichen Zahlen $ \mathbb{N} $ absolut identisch mit
der Ordinalzahl $ ω $, also $ \mathbb{N} = ω $.
Da das unendliche Produkt aller endlichen Primzahlen über sein generiertes Gitter somit exakt dieselbe ordinale Rolle, Ordnung und Mächtigkeit ausfüllt wie $ ω $ selbst, fallen das mathematische Objekt und seine strukturelle Identität im Limes vollständig ineinander.
Da in der Standard-Mengenlehre (ZFC) per Definition $ \mathbb{N} = ω $ verankert ist, folgt aus der bewiesenen Identität $ \lpr\left( ω\overline{\#} \right) = \mathbb{N} $ direkt der formale Abschluss des Theorems innerhalb des Standard-Modells:
Oder ausgeschrieben:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \boxed{\;\; ω\;\;\;=\;\;\;2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot \cdots \;\;} \;\; . } \] | (SN.PP.209) |
Damit ist die Primzahlprodukt-Vermutung gezeigt. $ \blacksquare $
Interpretation und Schlussfolgerungen
Die Etablierung der Identität $ ω\overline{\#} = ω $ markiert einen tiefen Paradigmenwechsel in der Betrachtung transfiniter Objekte. Sie zeigt, dass das unendliche Produkt aller endlichen Primzahlen keine formale Divergenz darstellt, sondern die ordinale Struktur von $ ω $ selbst in sich trägt.
Während die klassische Mengenlehre (ZFC) mathematische Objekte primär über ihre additive Nachfolger-Beziehung (vollständige Induktion) anordnet, beweist das hier hergeleitete Grenzübergangsprinzip, dass dieselbe ordinale Struktur im Unendlichen auch rein multiplikativ über den Fundamentalsatz der Arithmetik erzeugt werden kann. Das dichte Primturm-Potenzraster $ \lpr\left( ω\overline{\#} \right) $ lässt keine Lücken im endlichen Bereich zu und füllt die Menge $ \mathbb{N} $ vollständig aus.
Daraus ergeben sich zwei wesentliche Erkenntnisse:
1. Strukturelle Isomorphie:
Das Gleichheitszeichen in $ ω\overline{\#} = ω $ ist im strengsten Sinne
der von Neumannschen Mengenlehre gültig.
Das unendliche Primorial nimmt im transfiniten Bereich exakt dieselbe geordnete Position und Mächtigkeit
ein wie die Menge aller natürlichen Zahlen.
2. Fundierung der Divisibilität:
Da $ ω $ nun nachweislich die innere Arithmetik dieses unendlichen Produkts besitzt,
ist die Teilbarkeit von \(\omega \) durch jede endliche Primzahl $ p \in \mathbb{P} $ keine bloße Definition mehr,
sondern eine strukturelle Realität.
Diese Erkenntnisse sind von entscheidender Bedeutung für die Fundierung der Theorie der Superial-Zahlen, die sich dadurch nahtlos in die ZFC-Mengenlehre einfügt.
Der Beweis liefert uns auch einen neuen und tiefen Einblick in die Struktur der endlichen Primzahlen und offenbart ebenso tiefere und für mancheinen sicherlich auch überraschende Einblicke in die Mengenlehre.
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Interpretation des Beweises |
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Das Verständnis des Übergangs von jeder Primzahl ins Unendliche zu $ ω $ und $ \s $
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In den Primzahlen gibt es ein Muster, dass auch im Zusammenhang mit pythagoreischen Tripeln21 eine wichtige Rolle spielt.
Zum einen gibt es primitive pythagoreische Tripel. Bei ihnen haben die drei natürlichen Zahlen des Tripels – alle größer als Null – keine gemeinsamen Teiler und sind daher die kleinsten Zahlen dieses Verhältnisses.
Zum anderen gibt es die nicht-primitiven pythagoreischen Tripel. Diese sind natürliche Vielfache – zweifache oder größer – der primitiven pythagoreischen Tripel. Und damit sind sie eben in ihren Werten größer als das dazugehörige primitive und so auf das primitive durch „Kürzen“ zu reduzieren.
Bei den Primzahlen verhält es sich nun ganz ähnlich.
Die Entdeckung einer Primzahl – als multiplikative Einheit
Über den Prozess, den wir oben zur Berechnung der nächsten Primzahl gefunden haben, entdecken wir quasi die erste und dann immer wieder die nächste Primzahl; im Grunde ein unendlicher Prozess der ewig läuft, bis wir am Ende alle endlichen Primzahlen gefunden haben.
Haben wir eine Primzahl entdeckt, so ergibt sich das gleiche Muster, wie bei den nicht-primitiven pythagoreischen Tripeln.
Das Vielfache einer Primzahl und deren Übergang zu den aktual unendlichen Einheiten $ ω $ und $ \s $
Anschließend wiederholt sich jede einzelne Primzahl $ p $, als neu erkannte multiplikative Einheit, in ihren natürlichen Vielfachen
bis sie in $ p \cdot ω $ oder $ p \cdot \s $ übergeht. Nur sind diese beiden aktual unendlichen Produkte keine Einheiten, weshalb wir es anders betrachten müssen und genauer sagen sollten, bis sie in die aktual unendlichen Einheiten
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( \forall p \in \mathbb{P} \right) \left[\; ω\;\;\;=\;\;\;p \cdot \frac{ ω }{ p } \;\right] } \] | (SN.PP.Prim.2) |
oder
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( \forall p \in \mathbb{P} \right) \left[\; \s\;\;\;=\;\;\;p \cdot \frac{ \s }{ p } \;\right] } \] | (SN.PP.Prim.3) |
übergehen. Es handelt sich also um einen Übergang von den multiplikativen Einheiten, die eine jede endliche Primzahl $ p $ darstellt, zu der aktual unendlichen Zähleinheit $ ω $ oder der aktual unendlichen Zähleinheit $ \s $.
Wir sehen, dass die natürlichen Vielfachen der Primzahlen in Bezug auf diese Übergänge eine wichtige und besondere Rolle spielen. Diese Information steckt in den eigentlich kürzbaren vorstehenden Formeln und ist nur erkennbar, wenn wir das Muster, durch das Unterlassen des Kürzens, sichtbar halten.
Wenn jede endliche multiplikative Einheit oder Primzahl $ p $ durch ihre natürliche Vervielfachung den Übergang zu $ ω $ glatt absolvieren können soll, dann muss demnach auch
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( \forall p \in \mathbb{P} \right) \left[\; \frac{ ω }{ p }\;\;\;\in\;\;\;\mathbb{N}_{\infty} \;\right] } \] | (SN.PP.Prim.4) |
gelten und damit der Bruch immer ganzzahlig sein, wie wir es oben ja mit Formel SN.PP.208 bewiesen haben. Die Menge $ \mathbb{N}_\infty $ steht hier für die Menge aller endlichen und aktual unendlichen positiven ganzen Zahlen, einschließlich der Null.
So gesehen ist $ ω $ die kleinste aktual unendliche Einheit des Zählens über die endlichen natürlichen vielfachen der endlichen Primzahlen. Wobei aber die Zieleinheit $ ω $ selber keine Primzahl sein kann, weil sie ja deshalb durch alle endlichen Primzahlen ganzzahlig teilbar sein muss. Oder anders ausgedrückt:
Alle endlichen Primzahlen sind ganzzahlig zu $ ω $ skalierbar.
Denn die endlichen Primzahlen streben beim Zählen zur Einheit $ ω $ hin, wie der Beweises deutlich macht; zu einem Punkt, an dem sie sich alle in einem Produkt vereinen. Damit erhält die vollständige Induktion $ ω $ ein tieferes, ein arithmetisches Verständnis und erscheint so in neuem Licht.
Wenn wir hingegen nicht nur das Zählen über Primzahlen, sondern auch alle seine Schritte, glatt ins Unendliche skalieren wollen und damit jede natürliche Zahl $ n $ den Übergang ins Aktual-Unendliche glatt absolvieren soll, dann geht dies nur hin zur superialen Einheit $ \s = ω^{ω} $. Denn dann muss
gelten und damit dieser Bruch ganzzahlig sein, wie bekannt.
Verwandtschaft der Primzahlen und der pythagoreischen Tripel
Was für die Strecke und die Gerade die Primzahlen sind, dass sind in dieser Hinsicht für die Kreiskoordinaten und die Kreisradien die primitiven pythagoreischen Tripel.
Sollen die Primzahlen auf ihrem ganzzahligen Raster immer größer werden und glatt ins Aktual-Unendliche übergehen, dann können wir sie mit natürlichen Zahlen skalieren. Bei den Tripeln geht die Skalierung dann effektiv über die Hypotenusen, die den Kreisradius bestimmen:
Hier kommen, ähnlich wie bei den Primzahlen, nur bestimmte Tripel aus ganzen Zahlen in Frage, mit der größten Zahl als Radius, wie:
Das Raster wird bei der Skalierung sodann immer feiner, im Verhältnis zur Größe:
In Zahlen beispielsweise:
Wenn wir den Radius oder die Koordinaten über einen ganzzahligen Faktor zu einer aktual unendlichen Einheit machen wollen, dann geht das nicht in jedem Fall ganzzahlig über $ ω $, dann in Formeln als
denn $ \frac{ ω }{ r } $ oder $ \frac{ ω }{ x } $ sind nicht unbedingt ganzzahlig, weil im Allgemeinen weder $ r \overset{?}{=} \rad(r) $ noch $ x \overset{?}{=} \rad(x) $ sind, also ein Produkt von Primzahlen einfacher Potenz, das $ ω $ ganzzahlig teilt.
Das bekommen wir nur über $ \s = ω^{ω} $ hin
denn $ \s $ ist im Produkt mit jeder rationalen Zahl und sogar mit jeder reell algebraischen Zahl eine aktual unendlich große ganze Zahl:
Denn bei $ \s $ wird das aktual unendliche Raster im Verhältnis zur Größe dann so fein, dass alle reell algebraischen Zahlen auf dem Raster liegen. So erhalten wir beispielsweise auch für $ r = \left| \sqrt{2} \,\right|, x = y = 1 $ diesbezüglich eine Lösung:
Also können wir auch alle reell algebraischen Zahlen, quasi als geometrisch arithmetische Einheiten, ganzzahlig zu $ \s $ skalieren. Die pythagoreischen Tripel sind also das für die arithmetische Geometrie, was die Primzahlen für die Elemente der Menge aller natürlichen Zahlen sind.
Primzahl-Potenztürme
Bei den Vielfachen der Primzahlen $ p \cdot n $ geht in $ n $ das Spiel des Zählens im Grunde wieder von vorne los. Auch sind in $ n $ nun alle Primzahlen gefragt, und nicht nur die bis $ p $.
Begrenzen wir uns bis $ p $, so gelangen wir bald zu $ p \cdot p = p^{2} $, wo wir nach deren Erreichen dann mit $ p^{2} \cdot n $ fortfahren müssen. Auf diese Weise gelangen wir zum Potenzturm der Primzahl $ p^{k} $, der bis ins Aktual-Unendliche fortgesetzt dann $ p^{ω} $ liefert, also zu jedem der Potenztürme in $ \s $.
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Weitere Diskussion des Beweises |
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Das Verständnis des Übergangs der Mengen-Primfakultät und des Primturm-Potenzrasters ins Unendliche zu $ ω $
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| ▼ | Notizen (Beginn; nicht für inhaltliche Beurteilungen beachten) |
Parität
• Nicht nur gleiche Mächtigkeit von geraden und ungeraden Zahlen, sondern hier sogar gleiche kombinatorische Anzahl von geraden und ungeraden Zahlen.22
Logisches
• $ ω $ ist dann durch jede endliche Primzahl und durch deren Produkte mit jeweiliger Potenz von Eins ganzzahlig teilbar.
| ▲ | Notizen (Ende; nicht für inhaltliche Beurteilungen beachten) |
Wir stellen fest, dass es uns über die Erzeugung jeder endlichen Primzahl gelungen ist, die natürlichen Zahlen durch eine vollständige Induktion zu konstruieren. Dazu wird per Mengen-Primfakultät ein Primzahlprodukt erzeugt, das sich von Schritt zu Schritt immer weiter zum Produkt aller endlichen Primzahlen vervollständigt.
Jeder Primzahl-Schritt teilt $ ω $
Jeder dieser Schritte, also jede erzeugte Primzahl, ist nach dem Beweis, und wie wir im Kapitel zuvor sahen, Teiler des vollständigen aktual unendlichen Ergebnisses $ ω $.
Jeder der Primzahl-Schritte $ p = \lpr\!\left( p\overline{\#} \right) $
teilt die Anzahl aller natürlichen Zahlen $ ω = \# ω = ω\overline{\#} $ ganzzahlig
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}\left( \forall p \in \mathbb{P} \right) \left[\; \frac{ ω }{ p }\;\;\;\in\;\;\;\mathbb{N}_\infty \;\right] \;\;, } \] | (SN.PP.Prim.4) |
wie wir mit Formel SN.PP.208 bewiesen haben.
Als wenn diese Zählschritte beim Übergang ins Unendliche zu $ ω $ ein Produkt aus all diesen Schritten bilden. Und in der Tat benötigen wir ja auch zur Konstruktion dieser Schritte aller endlichen Primzahlen das Produkt aller kleineren Primzahlen vor der gerade zu berechnenden Primzahl. So können wir es so verstehen, dass dem Ergebnis beim Übergang zu $ ω $ dann logischerweise das Produkt aller endlichen Primzahlen zugrunde liegt.
$ ω $ ist nun keine Primzahl mehr, weil ihr alle endlichen Primzahlen zugrunde liegen, die nicht enden.
Jedoch ist jeder Primzahl-Schritt kein Teiler eines anderen Primzahl-Schritts
Aber jeder dieser Konstruktionsschritte ist nicht Teiler auch nur einer der anderen Schritte, weil sie ja alle Primzahlen sind.
Es existiert keine endliche Primzahl, die Teiler einer von ihr verschiedenen, anderen ist:
Wie bei Primzahlen per Definition selbstverständlich.
Der Übergang ist also wirklich etwas besonderes, von Schritten, die alle keine Teiler voneinander sind, zum Ergebnis bei $ ω $, das alle Schritte in einem Produkt zusammenfasst.
Erklärung und Verständnis des Gesamtspektrums der natürlichen Zahlen durch ihr Primzahl-Spektrum
Zunächst können wir sagen, was alle natürlichen Zahlen miteinander verbindet: Alle natürlichen Zahlen liegen auf dem Zählraster, sind also durch die Eins ganzzahlig teilbar. Poetischer ausgedrückt schwingen alle natürlichen Zahlen mit der Eins oder im Spektrum oder Raster der Eins.
Wenn wir auf die natürlichen Zahlen durch die Brille ihrer Primzahlen gucken, dann ist nach Raimund Welschs Hinweis jede $ 2 $-te Zahl ganzzahlig durch $ 2 $ teilbar und jede $ 3 $-te Zahl ganzzahlig durch $ 3 $, jede $ 5 $-te durch $ 5 $ und schließlich jede $ p $-te Zahl ganzzahlig durch $ p $, für alle endlichen Primzahlen.
Bei den Konstruktionsschritten zur Erzeugung jeder endlichen Primzahl erhalten wir eine Sammlung der Primfaktoren der endlichen natürlichen Zahlen, die uns also über das einschrittige Zählen hinaus sagen, auf welchen größeren und gröberen Spektren oder Rastern bestimmte Gruppen natürlicher Zahlen auch noch liegen oder in welchen Spektren oder Rastern sie auch noch schwingen. Bei der Beschreibung des gesamten Einser-Spektrums oder -Rasters ist eine höhere Potenz einer Primzahl allerdings irrelevant, weil jede Primzahl die kleinste Weite ihres Spektrums oder Rasters beschreibt, auf der auch ihre höheren Potenzen liegen. Demnach gehören beispielsweise die $ 4 = 2^2 $ oder die $ 8 = 2^3 $ zum selben Raster, wie die $ 2 = 2^1 $. Höhere Potenzen tragen also nichts feineres bei.
Die $ 3 = 3^1 $ hingegen spannt ein anderes Raster auf und die beiden und alle weiteren Primzahl-Potenzraster überschneiden sich im Inneren nicht und beschreiben kombiniert die natürlichen Zahlen ab der $ 2 $. Die Menge oder Zahl $ ω $ beschreibt alle natürlichen Zahlen und damit das Zählraster.
Nur ein Produkt aller endlichen Primzahlen $ ω $ beschreibt darum das Zählraster arithmetisch so, dass alle natürlichen Zahlen der Menge $ ω $ erfasst werden.
Nähere Betrachtung der Spektren oder Raster
Warum handelt es sich denn bei $ 2 = 2^1 $, $ 4 = 2^2 $ oder $ 8 = 2^3 $ und für alle weiteren Potenzen von Zwei, oder allgemeiner bei $ p_i^k $, mit $ p_i \in \mathbb{P} $ und $ k \geq 1 $, um das gleiche Raster? Das ist nicht gleich offensichtlich, finde ich.
Dies können wir am Distributivgesetz erkennen, denn $ p_i^k + 1 $ ist nicht ganzzahlig durch $ p_i $ teilbar, egal welche Potenz $ k \geq 1 $ wir haben; also egal, wie häufig $ p_i $ in einem Produkt steckt.
Kombinieren wir dann aber zwei unterschiedliche Primzahlen in einem Produkt, wie beispielsweise in $ 6 = 2 \cdot 3 $, dann ist $ 7 = 6 + 1 = \left( 2 \cdot 3 \right) + 1 $ durch beide Primzahlen nicht ganzzahlig teilbar. Wir erhalten also eine erweiterte Qualität bezüglich unterschiedlicher Primfaktoren einer natürlichen Zahl.
In Bezug auf die Vervielfachung der selben Primzahl durch ihre steigende Potenz in einem Produkt, wie in $ 6 = 2^{2} \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12 $ bei $ 13 = 12 + 1 = \left( 2^{2} \cdot 3 \right) + 1 $, bleibt die Qualität dieser Teilungsaussage zu oben unverändert. Denn weder $ 2 $, noch $ 4 $, noch $ 3 $ teilen die $ 13 $. Damit sind alle solchen Aussagen völlig unabhängig von der Potenz aller Primzahlen im Produkt.
Auch das lässt uns tiefer verstehen, warum die Menge aller endlichen natürlichen Zahlen $ ω = \mathbb{N} $ mit einem Produkt aller endlichen Primzahlen einfacher Potenz beschrieben wird.
Das Verlassen des Rasters einer Menge von aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen
Durch das addieren oder auch das Subtrahieren der Eins auf oder von einem Primzahlprodukt verlassen wir das Raster, auf dem das Produkt liegt oder schwingt. Und ein Produkt von Primzahlen schwingt mit allen Frequenzen seiner unterschiedlichen Primzahlen. Daher können wir mit der Methode des Verlassens des Rasters aller bisherigen Primzahlen im ›Satz des Euklid‹ die Existenz immer weiterer und größerer Primzahlen beweisen.
Und unsere schrittweise Konstruktion der Primzahlen in Definition SN.PP.125 funktioniert nach dem selben Prinzip.
Immer mehr Primzahlen machen das Raster in Bezug auf die folgenden natürlichen Zahlen immer feiner
Der ›Satz des Euklid‹ macht deutlich, dass die neu hinzukommenden, immer größeren Primzahlen immer wieder und wieder außerhalb des bisherigen Rasters der kleineren Zahlen liegen. Dadurch wird das Raster durch immer mehr größere Primzahlen immer feiner im Verhältnis zur erreichten Größe.
Und deshalb kommen dann auch immer seltener neue Primzahlen hinzu, ohne, dass die Reihe der Primzahlen enden würde.
Sichtbarmachung der Produktstruktur von $ ω $ im Kontext ihres Primturm-Potenzrasters
Wie wir an Formel SN.PP.45 erkennen können, wird die Produktstruktur von $ ω $ schon vor dem Beweis im Primturm-Potenzraster $ \pr\!\left( ω\overline{\#} \right) $ der Mengen-Primfakultät von $ ω $ sichtbar.
Die Struktur des Produkts aller endlichen Primzahlen taucht nach der ersten Lücke des Rasters auf, nachdem alle endlichen natürlichen Zahlen lückenlos durch sind. Hier enthält dieses Produkt die Primzahl $ 2 $ allerdings dann schon doppelt. Wenn wir hier nun unser bewiesenes Wissen einsetzen, können wir die Verbindung erkennen.
Aufgrund unseres Beweises und seines Ergebnisses aus Formel SN.PP.207 folgt:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}\pr\!\left( ω \right)\;\;\;=\;\;\;\pr\!\left( ω\overline{\#} \right) } \] | (SN.PP.D.2) |
Daher stellt sich die Formel SN.PP.45
nun folgendermaßen dar:
(Die nachfolgenden Formeln auf die neue Formel SN.PP.45 anpassen.)
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}\pr\!\left( ω \right)\;\;\;=\;\;\;\left\{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, \cdots \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; \vdots \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\quad 2^{0} \cdot 3^{0} \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdots, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; 2 \cdot 3 \cdot 5^{0} \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdots, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; 2 \cdot 3^{0} \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdots, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; 2^{0} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdots, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; \color{Bittersweet}{ 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdots }, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; 2^{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdots, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; 2 \cdot 3^{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdots, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; 2^{3} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdots, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; 2 \cdot 3 \cdot 5^{2} \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdots, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdots, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; \vdots \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\quad 2^{ω}, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; 2^{ω} \cdot 2, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; 2^{ω} \cdot 3, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; \vdots \; \right\} } \] | (SN.PP.45) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\pr\!\left( ω \right)\;\;\;=\;\;\;\left\{ 0, 1, 2, 3, 2^{2}, 5, 2 \cdot 3, 7, 2^{3}, 3^{2}, 2 \cdot 5, \cdots \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; \vdots \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\quad 2^{0} \cdot 3^{0} \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdots, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; 2 \cdot 3 \cdot 5^{0} \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdots, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; 2 \cdot 3^{0} \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdots, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; 2^{0} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdots, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; \color{Bittersweet}{ 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdots }, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; 2^{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdots, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; 2 \cdot 3^{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdots, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; 2^{3} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdots, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; 2 \cdot 3 \cdot 5^{2} \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdots, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdots, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; \vdots \; \right\} } \] | (SN.PP.D.3) |
Aufgrund unseres Beweises können wir nun das Raster auch wie folgt schreiben:
Auf diese Weise erhalten wir ein interessantes Muster.
Das Muster zeigt die Verbindung aller Zeilen miteinander. Sie stehen so gesehen in einer Systematik zueinander, in der sich die Potenzen der Primzahlen von Eins zu höheren variieren.
Das Gleiche gilt auch für die Entstehung der ersten Zeile selber: Sie kommt durch die Variation der Potenzen aller endlichen Primzahlen zustande, die, größtenteils als Produkte, alle endlichen natürlichen Zahlen ergeben, bis auf die Null.
Eine weitere Schreibweise ist:
Erweitert sieht diese so aus:
Dies erscheint mir als Menge aller endlichen Ordinalzahlen und danach aller ordinalen Limeszahlen23. (Nicht ganz sicher ist für mich, ob die Potenzen mit Differenzen wirklich dazu gehören. Gehören sie dazu, dann wären es nicht nur die ordinalen Limeszahlen, sondern wohl Zahlen die aus den Biordinalzahlen als Potenzen entspringen. !!! Nach der jetzigen Definition gehören diese Potenzen nicht dazu !!!)
Teile davon können wir nun wegen unseres Beweises durch Formel SN.ZFC.1 auch mit $ \s $ ausdrücken:
Das ist abermals ein bemerkenswertes Muster. (Es ist möglich auch die Zeilen mit Differenzen und Summen in den Potenzen mit $ \s $ auszudrücken. !!! Nach der jetzigen Definition gehören diese Potenzen nicht dazu !!!)
Auf die lückenlosen endlichen natürlichen Zahlen folgen die von Lücken umgebenen aktual unendlichen ordinalen Limeszahlen. Denn in der Theorie der Biordinalzahlen können von all den aktual unendlichen ordinalen Limeszahlen endliche natürliche Zahlen abgezogen und aufaddiert werden, die nicht in dieser Menge vorhanden sind und daher in den Lücken liegen.
Diese Erkenntnis mit der obigen Darstellung durch $ \s $ führt uns dann wieder zurück zu den Superial-Zahlen und bringt sie erneut mit den Ordinalzahlen in Verbindung.
Die Größenordnung von $ ω $ und $ ω\overline{\#} $
Nach dem Beweis wissen wir nun, dass $ ω = ω\overline{\#} $.
Aber für alle größeren endlichen Primzahlen $ p $ war doch die Mengen-Primfakultät $ p\overline{\#} $ immer viel größer als $ p = \lpr\!\left( p\overline{\#} \right) $. Wie kann dann nach dem Übergang ins Unendliche $ ω = ω\overline{\#} $ sein?
Im Endlichen ist die Anzahl der Elemente einer Menge natürlicher Zahlen, geordnet und von der Null an, immer Eins größer als das letzte Element in der Menge. Bei einer unendlich großen Anzahl an Elementen einer solchen Menge, wie $ ω $, ist dies nicht mehr der Fall. Denn $ ω - n $, wenn $ n \in \mathbb{N} $, wie in den Biordinalzahlen dargestellt, kann keine endliche Zahl sein.
Denn es gibt viel mehr ganze Zahlen von Null bis $ ω $, als der Wert von $ ω $ ausdrückt. Dadurch können beide Werte im Unendlichen bei $ ω $ dann zusammen fallen. Der unendlich große Wert von $ ω\overline{\#} $ enthält aber nur das Produkt der endlichen Primzahlen und nicht das Produkt auch unendlich großer Primzahlen in den ganzen Zahlen bis $ ω $, die es auch noch gibt.
Der unendlich große Wert von $ ω\overline{\#} $ beschreibt also das lückenlose Primturm-Potenzraster, das auch die Menge $ \lpr\!\left( ω\overline{\#} \right) = ω $ darstellt. Und der Wert von $ ω\overline{\#} $ hat nun auch die gleiche Größenordnung, wie der von $ ω $.
Die Größenordnung und Struktur von $ \s $ und $ \s^{-1} $
Der Beweis unserer Primzahlprodukt-Vermutung, und damit unserer Logo Formel SN.ZFC.1, offenbart einen tiefen Zusammenhang zwischen $ \s $ und $ ω $. Auch der Kehrwert von $ \s $ lässt sich so einfach mit $ ω $ ausdrücken:
Wenn nach Beweis
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \s\;\;\;=\;\;\;ω^{ω} } \] | (SN.ZFC.1) |
ist, dann ist die Körnung der von uns definierten Ableitung mittels $ \s $
und so natürlich auch die des Integrals. Also können wir jedes $ \s^x $ als
durch $ ω $ ausdrücken.
Unsere superiale Basis $ \s $ und ihre Potenzen stehen interessanter Weise so mit der aktualen Unendlichkeit der vollständigen Induktion der natürlichen Zahlen in direkter Verbindung.
Experimentelle Notizen dazu
(In Arbeit …)
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \s\;\;\;≔\;\;\;ω^{ω} } \] | (SN.ZFC.1) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}ω^{ω}\;\;\;=\;\;\;ω \cdot ω^{ω - 1} } \] | (SN.PP.D.13) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}ω^{ω}\;\;\;=\;\;\;2^{ω} \cdot 3^{ω} \cdot 5^{ω} \cdot 7^{ω} \cdot 11^{ω} \cdot 13^{ω} \cdot \cdots } \] | (SN.PP.D.14) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}ω^{ω}\;\;\;=\;\;\;2^{ 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot \cdots } \cdot 3^{ω} \cdot 5^{ω} \cdot 7^{ω} \cdot 11^{ω} \cdot 13^{ω} \cdot \cdots } \] | (SN.PP.D.15) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}ω^{ω}\;\;\;=\;\;\;\left( \left( \left( \left( \left( \left( 2^{ 2 } \right)^{ 3 } \right)^{ 5 } \right)^{ 7 } \right)^{ 11 } \right)^{ 13 } \right)^{ \cdots } \cdot 3^{ω} \cdot 5^{ω} \cdot 7^{ω} \cdot 11^{ω} \cdot 13^{ω} \cdot \cdots } \] | (SN.PP.D.16) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { z\;\;\;=\;\;\;\prod_{\forall p \in \mathbb{P}} p^{ \left( \prod_{\forall p \in \mathbb{P}} p^{ \left( \prod_{\forall p \in \mathbb{P}} p^{ \cdots } \right) } \right) } } \] | (SN.PP.D.17) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}z\;\;\;=\;\;\;ω^{ ω^{ ω^{ \cdots } } }\;\;\;=\;\;\;ω^{ \left( ω^{ \left( ω^{ \cdots } \right) } \right) } } \] | (SN.PP.D.18) |
(In Arbeit …)
| → |
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Gedanken zu Konsequenzen des Beweises |
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Das Verständnis des Übergangs der Mengen-Primfakultät und des Primturm-Potenzrasters ins Unendliche zu $ ω $
| ← |
(In Arbeit …)
Gedankenexperiment
Wir wissen nun:
Die beiden Zahlen $ \frac{ ω }{ 2 } \pm 1 $ sind durch keine endliche ungerade Primzahl teilbar. Also, wenn sie aus endlichen Primfaktoren bestehen, dann nur aus geraden wobei nur die Zwei in Frage kommt. So muss dann eine der beiden eine Potenz von Zwei sein:
Oder:
(In Arbeit …)
(In Arbeit …)
| → |
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Experimentelle Gedanken zu anderen Beweiswegen |
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Das Verständnis des Übergangs der Mengen-Primfakultät und des Primturm-Potenzrasters ins Unendliche zu $ ω $
| ← |
(In Arbeit …)
Die Größenordnung des Produkts aller endlichen Primzahlen
Berechnen wir das Produkt aller endlichen Primzahlen von den kleinsten Primfaktoren her mit der Primfakultät24 $ p\# $, dann wird es sehr schnell viel größer, als die größte in ihm vorkommende Primzahl:25
So wäre es ein sehr großes Rätsel, wie dieses Produkt irgendwann nicht weiter wächst, so, dass die natürlichen Zahlen es wieder einhohlen und letztendlich gleich groß sein können. Ich würde aus meiner heutigen Sicht sagen, dass dies ein oder sogar das wesentliche Geheimnis der Primzahlen ist.
Unter welcher Bedingung könnte denn dies überhaupt der Fall sein?
Aus meiner Sicht könnte dies nur dann der Fall sein, wenn die Anzahl der Primzahlen unter den extrem großen natürlichen Zahlen minimal wird. (Ist ›minimal‹ die korrekte Formulierung? Und ist diese Annahme notwendig?) Und mit Hilfe des ›Satz des Euklid‹, eines Beweises, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, können wir erkennen, was das bedeuten sollte. Eine Minimierung des Anteils an Primzahlen heißt, die Lücken würden zwischen den Primzahlen im Schnitt maximal werden. Der ›Satz des Euklid‹ legt in diesem Fall nahe, dass es unter den extrem großen natürlichen Zahlen im wesentlichen nur noch Primzahlzwillinge gibt, nämlich die $ p\# \pm 1 $ aus dem Satz.
Dadurch wäre dies eng mit der Primzahlzwillingsvermutung(Verweis) gekoppelt.
Wir können plausibel machen, wie wir noch zeigen, dass unter der Annahme, es gäbe im extrem Großen im wesentlichen nur noch Primzahlzwillinge, und, dass dann ein solches Primzahlzwillingspaar die nächsten Primzahlen erzeugt, ohne, dass dazwischen noch welche wären, eine so große Lücke zwischen den Primzahlzwillingen und den nächsten Primzahlzwillingen entsteht, dass das Zählen der natürlichen Zahlen aufholen kann.
Was bedeutet es genau, wenn die Dichte der Primzahlen minimal wird?
Die Erzeugung neuer Primzahlen im ›Satz des Euklid‹ läuft wie gesagt über die Primfakultät mit $ p\# \pm 1 $. Das ist das Spiel, was nie endet. Nach dem Satz gibt es dann nämlich nur zwei Möglichkeiten, die beide größere Primzahlen als $ p $ zur Folge haben.
Entweder $ p\# \pm 1 $ ist bereits eine Primzahl
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { p\# \pm 1\;\;\;\in\;\;\;\mathbb{P} } \] | (SN.PP.EG.10) |
oder diese Zahl ist ein Produkt von Primzahlen, die dann natürlich alle kleiner als sie sind, aber auch alle größer als $ p $
wobei $ \operatorname{prim}(n) $ für die Menge aller Primfaktoren in $ n $ steht und die Zahl mindestens zwei Primfaktoren enthalten muss.
Demnach ist entweder $ p\# - 1 $ eine Primzahl oder sie besteht mindesten aus zwei Primzahlen, die kleiner sind als sie selber. Gleiches gilt parallel für $ p\# + 1 $, wobei sich beider Primfaktoren kaum überschneiden dürften. Also führt dieser bewiesene Satz zur Erkenntnis, dass es zwischen $ p $ und $ p\# + 2 $ immer wenigsten zwei oder sogar mehr neue Primzahlen geben muss.
Nun ist es offensichtlich, dass die Dichte an Primzahlen am geringsten ist, wenn sowohl $ p\# - 1 $ als auch $ p\# + 1 $ prim wären. Denn in diesem Fall haben wir zum einen nur zwei erzwungene neue Primzahlen zwischen $ p $ und $ p\# + 2 $, was auch dazu führt, das weniger noch größere neue Primzahlen über die nächsten $ p\# \pm 1 $ erzwungen werden. Und zum anderen sind die neuen Primzahlen $ p\# \pm 1 $ die größten möglichen, also machen die größte Lücke, was auch in Richtung der minimalen Dichte wirkt.
Einzig wissen wir noch nicht, ob es trotzdem auch noch andere Primzahlen zwischen $ p $ und $ p\# + 2 $ gibt, die nicht durch den Satz erzwungen werden. Nur, wenn wir zeigen könnten, dass die Annahme, es gäbe zum Potenzial-Unendlichen hin tendenziell nur noch Primzahlen der Form $ p\# \pm 1 $, also nur noch diese Primzahlzwillinge, und dass sie gleichbedeutend mit der Primzahlproduktvermutung wäre, dann hätten wir bewiesen, dass auch die Primzahlzwillingsvermutung stimmen muss.
Nehmen wir an, ab einer bestimmten extrem großen Zahl würde es nur noch Primzahlen als Primzahlzwillinge der Form $ p\# \pm 1 $ geben:
Ist dies mit unserem oben geführten Beweis, dass $ ω = ω\overline{\#} $, gleichbedeutend?
Die vorstehende Aussage bedeutet ja, die Anzahl an endlichen natürlichen Zahlen ist im Unendlichen dem Produkt aller endlichen Primzahlen gleich. Das können wir mit folgender Aussage annähern:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \frac{ p\# }{ n }\;\;\;\approx\;\;\;1 } \] | (SN.PP.EG.14) |
Wenn wir gerade an einem solchen Primzahlzwilling vorbei kommen und im Produkt alle vorherigen Primzahlen bis $ p_{i} $ und den ersten Primzahlzwilling $ p_{i + 1} = p_{i}\# - 1 $ eingesammelt haben – der zweite Primzahlzwilling $ p_{i + 2} = p_{i}\# + 1 $ ist noch nicht im Produkt –, dann können wir schon das Zentrum $ p_{i + 3}\# $ des nächsten Primzahlzwillingpaars konstruieren:
Demnach kommt nach unserer Annahme eine riesige Lücke von der noch nicht eingesammelten Primzahl $ p_{i + 2} $ bis zur ersten Primzahl des nächsten Primzahlzwillings $ p_{i + 3}\# - 1 $:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { p_{i + 3}\# - 1\;\;\;=\;\;\;\left( \left( p_{i}\# \right)^{2} - p_{i}\# \right) - 1 } \] | (SN.PP.EG.18) |
Wie groß ist diese Lücke im Verhältnis der Zentren beider Primzahlzwillinge:
Das bedeutet nach Formel X, wenn wir beim Zentrum $ n = p_{i}\# $ durchlaufen, dann springt durch das Einsammeln von $ p_{i + 1} = p_{i}\# - 1 $ das Zentrum der Endgrenze der kommenden Lücke auf $ p_{i + 3}\# $. Dass wir dabei noch an $ p_{i + 2} = p_{i}\# + 1 $ vorbeikommen, ändert diese Lücke ja nur minimal.
In dem Moment wo wir $ n = p_{i}\# $ passieren, also direkt vor dem Sprung durch das einsammeln von $ p_{i + 1} = p_{i}\# - 1 $, also bis genau $ n = p_{i}\# - 2 $, sind wir dann im Verhältnis gesunken auf:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \frac{ p_{i}\# }{ p_{i}\# - 2 }\;\;\;\approx\;\;\;1 } \] | (SN.PP.EG.22) |
Das sieht schon mal gut aus.
Im nächsten Zählschritt $ n = p_{i}\# - 1 $ kommt nun $ p_{i + 1} = p_{i}\# - 1 $ ins Produkt dazu, der Sprung erfolgt und wir wissen nach unserer Annahme, dass nun, außer $ p_{i + 2} = p_{i}\# + 1 $, keine Primzahlen bis zum Ende der Lücke mehr kommen.
(In Arbeit …)
(In Arbeit …) Kommen wir vielleicht mit $ p\overline{\#} $ weiter???
(In Arbeit …)
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { p_{i + 2}\#\;\;\;=\;\;\;p_{i}\# \cdot p_{i + 1} \cdot p_{i + 2} } \] | (SN.PP.EG.29) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}p_{i + 2}\#\;\;\;=\;\;\;p_{i}\# \cdot \left( p_{i}\# - 1 \right) \cdot \left( p_{i}\# + 1 \right) } \] | (SN.PP.EG.30) | ||
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}p_{i + 2}\#\;\;\;=\;\;\;\left( \left( p_{i}\# \right)^{2} - p_{i}\# \right) \cdot \left( p_{i}\# + 1 \right) } \] | (SN.PP.EG.31) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}p_{i + 2}\#\;\;\;=\;\;\;\left( p_{i}\# \right)^{2} \cdot p_{i}\# - p_{i}\# \cdot p_{i}\# + \left( p_{i}\# \right)^{2} - p_{i}\# } \] | (SN.PP.EG.32) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}p_{i + 2}\#\;\;\;=\;\;\;\left( p_{i}\# \right)^{3} - \left( p_{i}\# \right)^{2} + \left( p_{i}\# \right)^{2} - p_{i}\# } \] | (SN.PP.EG.33) | ||
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}p_{i + 2}\#\;\;\;=\;\;\;\left( p_{i}\# \right)^{3} - p_{i}\# \;\; , } \] | (SN.PP.EG.34) | ||
(In Arbeit …)
(In Arbeit …)
Szenario, in dem hypothetisch als nächstgrößere und übernächstgrößere Primzahlen nur Primzahlzwillinge existieren
Ein besonderes Szenario, das wir recht gut analysieren können, ist, wenn $ p\# - 1 $ und $ p\# + 1 $ beide die nächsten Primzahlen nach $ p $ sind und auch nach ihnen wiederum $ (p\# + 1)\# - 1 $ und $ (p\# + 1)\# + 1 $ wieder die nächsten Primzahlen sind. Es gibt also zwischen ihnen allen keine Primzahlen mehr, sondern Primzahlen sind hypothetisch nur noch die Primzahlzwillinge:
Aus der letzen uns bekannten extrem großen Primzahl $ p_i $ ergeben sich die beiden nächsten Primzahlen:
Dann gibt es also zwischen unserer letzen extrem großen Primzahl $ p_{i} $ und den beiden nächsten keine Primzahl mehr:
Dann ist die nächste Primfakultät $ p_{i + 1}\# $ die Zahl zwischen dem nächsten Primzahlzwilling:
Nun müssen wir untersuchen, ob der Sprung groß genug ist, damit das Zählen die Primfakultät einholen kann. Das können wir mit dem Verhältnis zum Zählen herausfinden:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}\frac{ \left( p_{i}\# \right)^{2} - p_{i}\# }{ n } } \] | (SN.PP.EG.44) |
(In Arbeit …)
(In Arbeit …)
(In Arbeit …)
| ▼ | Alte Notizen zum obigen Ansatz: |
Primzahlen im Endlichen
Definition der Primzahlen im Endlichen:26
» Die Primzahlen sind innerhalb der Menge $ \mathbb{N} $ der natürlichen Zahlen dadurch charakterisiert, dass jede von ihnen genau zwei natürliche Zahlen als Teiler hat. « 27
Nach dieser Definition ist die Eins keine Primzahl.
Dass es unendlich viele Primzahlen im Endlichen gibt, können wir durch die Schlussfolgerungskette des folgenden Beweises erkennen:28
| • |
Bilde die Primfakultät29 einer Primzahl, das Produkt aller Primzahlen kleiner und einschließlich dieser Primzahl: $ p\# $ |
| • |
Addiere Eins dazu oder ziehe Eins ab: $ p\# \pm 1 $ |
| • |
$ p\# \pm 1 $ ist nicht durch eine der Primzahlen in $ p\# $ ganzzahlig teilbar. |
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$ p\# \pm 1 $ kann daher entweder nur selber eine Primzahl sein, die dann größer als $ p $ ist, oder ihr Primzahlprodukt enthält ausschließlich Primzahlen – mindestens zwei Stück – die nicht in $ p\# $ enthalten sind und damit größer als $ p $ sein müssen. |
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Alle Primzahlen, durch die $ p\# \pm 1 $ teilbar ist, sind damit größer als $ p $. |
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Es gibt also immer eine Primzahl, die größer ist als jede gegebene Primzahl $ p $, womit die Menge der endlichen Primzahlen nicht endet. |
Es gibt im Endlichen demnach bewiesenermaßen unendlich viele Primzahlen.
Mit Primzahlen ins Unendliche
Der vorstehend geführte Beweis zeigt, dass die Primfakultät eine besondere Rolle im Zusammenhang mit Primzahlen und dem Unendlichen spielt.
(In Arbeit …)
Beim Beweis der Primzahlprodukt-Vermutung und der unendlich großen Primzahl-Zwillinge ist die Frage, ob die tendenzielle Lücke zwischen einer gegebenen Primzahl $ p $ und $ p\# - 1 $ eine Frage des Gitters ist oder eine Frage der prinzipiellen Möglichkeit aufgrund der Lage und Größe der Lücke.
Angenommen es ist eine Frage der prinzipiellen Möglichkeit aufgrund der Lage und Größe der Lücke.
Angenommen die Primzahlen zwischen der gegebenen Primzahl $ p $ und $ p\# - 1 $ verschwinden allmählich gegen Unendlich: Dann blieben zunehmend die Primzahl-Zwillinge $ p\# \pm 1 $ als nächstgrößere Primzahlen direkt nach $ p $ übrig. Die Möglichkeit, dass …
(In Arbeit …)
… könnte verschwinden!? Wenn diese Möglichkeit verschwindet, dann müssen beide $ p\# \pm 1 $ selber Primzahlen sein.
(In Arbeit …)
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Nähern sich die Lücken in den Primzahlen $ \Delta = ( p\# - 1) - p $? |
| • |
Dann sind tendenziell alle $ p\# \pm 1 $ Primzahlen. |
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(In Arbeit …) |
(In Arbeit …)
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$ \Delta p_{i}\# = p_{i + 1}\# - p_{i}\# $ |
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Annahme $ \Delta p_{i}\# < \Delta p_{i + 1}\# $ |
| • |
(In Arbeit …) |
(In Arbeit …)
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2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 30 |
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30 / 2 = 15 |
| • |
(In Arbeit …) |
(In Arbeit …)
Freie Gedanken
(In Arbeit …)
Die Argumentation könnte grob und sicher noch streitbarer Weise so laufen:
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Jede zweite natürliche Zahl ist durch die Primzahl Zwei teilbar, daher sollte die Anzahl der natürlichen Zahlen $ ω $ ebenso durch Zwei teilbar sein. |
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Das gleiche Argument kann für jede weitere endliche Primzahl herangezogen werden. |
| • |
Jede vierte natürliche Zahl ist natürlich ebenfalls durch die zweite Potenz von Zwei teilbar, aber, wenn auch die Anzahl der natürlichen Zahlen $ ω $ durch die Vier ganzzahlig teilbar wäre, dann sollte dies auch für jede andere endliche Primzahl endlicher Potenz gelten. Das kann aber aufgrund der Betrachtung der Struktur der Superial-Zahlen, siehe Die Struktur von s‹, nicht sein, denn dann wäre quasi $ \s = ω $. |
| • |
Wenn $ \s = ω $ wäre, dann würde es genau so viele rationale Zahlen, wie natürliche Zahlen geben, was zwar für die Mächtigkeit stimmt, aber in meinen Augen nicht für deren Anzahl. |
| • |
Denn die Kombinatorik zur Erzeugung der rationalen Zahlen aus Brüchen zeigt, dass es deutlich mehr rationale Zahlen von ihrer Anzahl her geben muss, als natürliche Zahlen, denn im Calkin-Wilf-Baum enthält schon der letzte Strang alle natürlichen Zahlen und der erste Strang all deren Kehrwerte. |
| • |
Anders, als bei der Mächtigkeit, wird bei der von mir gemeinten Anzahl der Zahlen ihre kombinatorische Erzeugung mit der vollständigen Induktion der natürlichen Zahlen ins Verhältnis gesetzt. |
| • |
Und die Definition von $ \s $ über das Primzahl-Flächenprodukt beruht eben auch auf einem Verhältnis zur Eins. |
| • |
(In Arbeit …) |
(In Arbeit …)
Argumentation über die Primzahltürme der Definition von $ \s $
Betrachten wir das aktuell verwendete Produkt zur Definition von $ \s $:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\s\;\;\;=\;\;\;\displaystyle \left( \prod_{\forall p \in \mathbb{P}} p \right)^{ω} } \] | (SN.ZFC.2) |
Die ZFC-konforme Operationalisierung unseres transfiniten Primzahl-Flächenprodukts als stabiles, normiertes Stellenwertsystem der Analysis über eine Familie verallgemeinerter $ p $-adischer Schichtbewertungen findet sich auf der Seite ›Die ZFC-Modellkonstruktion der Superial-Zahlen‹.
Analysieren wir naiv die maximale Häufigkeit der einzelnen Primzahlen in der Primfaktorzerlegung der natürlichen Zahlen kommen wir schnell auf den Gedanken, dass wir nicht die volle höhe $ ω $ jedes einzelnen Primzahlturms benötigen, um $ \s $ mit den Eigenschaften auszustatten die für uns interessant sind, nämlich mit jedem rationalen Koeffizienten eine ganze Zahl zu bleiben.
Beginnend mit der kleinsten Primzahl $ 2 $ stellen wir fest, dass nur jede zweite natürliche Zahl durch $ 2 $ teilbar ist und dann erst wieder jede vierte durch $ 4 $ und jede achte durch $ 8 $ und so fort.
Da wir mit der Potenz einer jeden Primzahl keine größere Zahl als $ ω $ erreichen müssen, reicht folgende Potenz einer jeden Primzahl:
Folgendes Primzahlprodukt für $ \s $ würde also hinreichen:
Das verwundert nach ein bisschen Überlegung nicht weiter, denn wir haben es erzwungen. Aber es scheint uns nicht weiter zu bringen, denn es zerstört die transparenz unserer Primfaktoren-Definition von $ \s $!
(In Arbeit …)
(In Arbeit …)
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Fußnoten |
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| 1. | ↑ |
Vgl. Cantor, »Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre«, § 7. Geordnete Mengen und ihre Ordnungstypen. Internet: Vgl. Wikipedia, Ordinalzahl. |
| 2. | ↑ |
Vgl. Lejeune Dirichlet, Vorlesungen über Zahlentheorie, Supplement Ⅺ, Über die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen, S. 434-647, § 160 Zahlenkörper, S. 452-456, § 173 Ganze algebraische Zahlen, S. 524-531. Internet: Vgl. Wikipedia, Algebraische Zahl. |
| 3. | ↑ |
Vgl. Cantor, »Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre«, § 1. Mächtigkeit oder Cardinalzahl, S. 481. Internet: Vgl. Wikipedia, Mächtigkeit. |
| 4. | ↑ |
Vgl. Lorenz, Euklids Elemente, Buch Ⅸ, Der 20. Satz, S. 160. Internet: Vgl. Wikipedia, Satz des Euklid. |
| 5. | ↑ |
Vgl. Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen?, § 6. Der Satz der vollständigen Induktion, Satz 80, S. 25–27. Internet: Vgl. Wikipedia, Vollständige Induktion, Das Axiom der vollständigen Induktion. Vgl. Wikipedia, Unendlichkeitsaxiom, Formulierung; Bedeutung für die Mathematik, Natürliche Zahlen. |
| 6. | ↑ |
Vgl. Dubner, »Factorial And Primorial Primes«. Internet: Vgl. Wikipedia, Primorial. |
| 7. | ↑ |
Vgl. Lorenz, Euklids Elemente, Buch Ⅶ, Der 30. Satz (Primteiler eines Produkts), S. 129. Vgl. Lorenz, Euklids Elemente, Buch Ⅸ, Der 14. Satz (eindeutige Primfaktorzerlegung), S. 157. Internet: Vgl. Wikipedia, Primfaktorzerlegung, Fundamentalsatz der Arithmetik. |
| 8. | ↑ |
Vgl. Lorenz, Euklids Elemente, Buch Ⅶ, Der 11. Satz, S. 121. Vgl. Lorenz, Euklids Elemente, Buch Ⅸ, Der 20. Satz, S. 160. Internet: Vgl. Wikipedia, Primzahl. |
| 9. | ↑ |
Internet: Wikipedia, Primzahl, Eigenschaften von Primzahlen. |
| 10. | ↑ |
Vgl. Lorenz, Euklids Elemente, Buch Ⅸ, Der 20. Satz, S. 160. Internet: Vgl. Wikipedia, Primzahl, Größte bekannte Primzahl. |
| 11. | ↑ |
Vgl. Dubner, »Factorial And Primorial Primes«. Internet: Vgl. Wikipedia, Primorial. |
| 12. | ↑ |
Vgl. Lorenz, Euklids Elemente, Buch Ⅸ, Der 14. Satz (eindeutige Primfaktorzerlegung), S. 157. Internet: Vgl. Wikipedia, Primfaktorzerlegung. |
| 13. | ↑ |
Vgl. Dubner, »Factorial And Primorial Primes«. Internet: Vgl. Wikipedia, Primorial. |
| 14. | ↑ | Vgl. Wikipedia, Primorial, Eigenschaften, Grafik und Tabelle mit Beispielwerten. |
| 15. | ↑ |
Vgl. Cantor, »Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre«, § 7. Geordnete Mengen und ihre Ordnungstypen. Internet: Vgl. Wikipedia, Ordinalzahl. |
| 16. | ↑ |
Vgl. Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen?, § 6. Der Satz der vollständigen Induktion, Satz 80, S. 25–27. Internet: Vgl. Wikipedia, Vollständige Induktion, Das Axiom der vollständigen Induktion. Vgl. Wikipedia, Unendlichkeitsaxiom, Formulierung; Bedeutung für die Mathematik, Natürliche Zahlen. |
| 17. | ↑ |
Vgl. Hensel, »Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen«. Vgl. Kürschák, »Über Limesbildung und allgemeine Körpertheorie«. Internet: Vgl. Wikipedia, P-adische Zahl, Konstruktion, Analytische Konstruktion, Exponentenbewertung. |
| 18. | ↑ |
Vgl. Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen?; § 3 Ähnlichkeit einer Abbildung, Unendliche Systeme (heute Mächtigkeit), Erklärung 26, S. 8-10; § 5 Das Endliche und Unendliche, Erklärung 64, S. 17-20. Internet: Vgl. Wikipedia, Bijektive Funktion. |
| 19. | ↑ |
Vgl. Cantor, »Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre«, § 1. Mächtigkeit oder Cardinalzahl, S. 481-512, hier 481. Internet: Vgl. Wikipedia, Teilmenge. |
| 20. | ↑ |
Vgl. Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen?, § 6. Der Satz der vollständigen Induktion, Satz 80, S. 25–27. Internet: Vgl. Wikipedia, Vollständige Induktion, Das Axiom der vollständigen Induktion. Vgl. Wikipedia, Unendlichkeitsaxiom, Formulierung; Bedeutung für die Mathematik, Natürliche Zahlen. |
| 21. | ↑ |
Vgl. Lorenz, Euklids Elemente, Buch Ⅰ, Der 47. Satz (Satz des Pythagoras), S. 23-24. Vgl. Lorenz, Euklids Elemente, Buch Ⅹ, Der 28. Satz (Erzeugungsformel pythagoreischer Tripel), S. 188. Internet: Vgl. Wikipedia, Pythagoreisches Tripel. |
| 22. | ↑ |
Vgl. Lorenz, Euklids Elemente, Buch Ⅶ, Def. 6 (gerade Zahl), S. 112. Vgl. Lorenz, Euklids Elemente, Buch Ⅶ, Def. 7 (ungerade Zahl), S. 112. Internet: Vgl. Wikipedia, Parität. |
| 23. | ↑ |
Vgl. Cantor, »Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre«, § 7. Geordnete Mengen und ihre Ordnungstypen. Internet: Vgl. Wikipedia, Ordinalzahl, Motivation und Definition, Limes- und Nachfolgerzahlen. |
| 24. | ↑ |
Vgl. Dubner, »Factorial And Primorial Primes«. Internet: Vgl. Wikipedia, Primorial. |
| 25. | ↑ | Vgl. Wikipedia, Primorial, Eigenschaften, Grafik und Tabelle mit Beispielwerten. |
| 26. | ↑ |
Vgl. Lorenz, Euklids Elemente, Buch Ⅶ, Der 11. Satz, S. 121. Vgl. Lorenz, Euklids Elemente, Buch Ⅸ, Der 20. Satz, S. 160. Internet: Vgl. Wikipedia, Primzahl. |
| 27. | ↑ |
Internet: Wikipedia, Primzahl, Eigenschaften von Primzahlen. |
| 28. | ↑ |
Vgl. Lorenz, Euklids Elemente, Buch Ⅸ, Der 20. Satz, S. 160. Internet: Vgl. Wikipedia, Primzahl, Größte bekannte Primzahl. |
| 29. | ↑ |
Vgl. Dubner, »Factorial And Primorial Primes«. Internet: Vgl. Wikipedia, Primorial. |
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Stand 04. Juli 2026, 19:00 CET.
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