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Primzahlprodukt-Vermutung (Beweis)

Ist das Produkt aller endlichen Primzahlen, also die Primfakultät über alle Primzahlen in der Menge der natürlichen Zahlen, der Anzahl der natürlichen Zahlen gleich?

Eine Vorstellung der Vermutung und ihr Beweis

Auf die Primzahlprodukt-Vermutung bin ich durch das Herumspielen mit der Struktur der Superial-Zahlen gestoßen.

Schauen wir uns das Zählen der natürlichen Superial-Zahlen an: Beim Zählen von natürlichen Superial-Zahlen werden endliche sinnvolle Koeffizienten der Superial-Zahlen $ a \in \lbrack 0, 1 \lbrack_{\mathbb{A}_{\S}} $ – vermutliche alle reell algebraischen Zahlen – als Koeffizienten des Unendlichen $ a \cdot \s + z $ mitgezählt, wenn die endlichen ganzen Zahlen $ z $ als endlicher Summand immer wieder durchlaufen. Betrachten wir im Folgenden mit Hilfe von $ \s $ das Verhältnis der Anzahl der endlichen sinnvollen Koeffizienten und der endlichen ganzen Zahlen, dann scheint intuitiv die Anzahl der endlichen natürlichen Zahlen dem Produkt aller endlichen Primzahlen gleich zu sein.

Den Ansatz zu dieser Vermutung finden wir im Abschnitt ›Ausgangspunkt der Primzahlprodukt-Vermutung‹, wo wir uns schon mit der Struktur von $ \s $ beschäftigt haben. Dabei fanden wir, dass die Anzahl der sinnvollen Koeffizienten $ \# \left( \lbrack 0, 1 \lbrack_{\mathbb{A}_{\S}} \right) $, von der Null bis ausschließlich der Eins, nach Formel SN.Eig.SVS.12 eine aktual unendliche positive ganze Zahl sein muss. Das können wir mit Hilfe der Menge $ \mathbb{N}_\infty $ zum Ausdruck bringen:

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \# \left( [ 0, 1 [_{\mathbb{A}_{\S}} \right)\;\;\;=\;\;\;\frac{ \s }{ 2 ω } } \]	(SN.Eig.SVS.12)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}\frac{ \s }{ 2 ω }\;\;\;\in\;\;\;\mathbb{N}_{\infty} } \]	(SN.PP.1)

Die Ganzzahligkeit bedingt, dass alle Primfaktoren von $ 2 ω $ auch in $ \s $ vorkommen müssen.

Und wir wissen auch, dass $ \s $ unendlich viel größer als $ ω $ ist, denn nach unseren Erkenntnissen aus dem Kapitel ›Die Struktur von s‹ steht $ \s $ für die Anzahl der sinnvollen Koeffizienten der Superial-Zahlen und $ ω $ für die Anzahl der natürlichen Zahlen.

Wir vergleichen hierbei aber nicht die Mächtigkeit der Menge der sinnvollen Koeffizienten und die Mächtigkeit der natürlichen Zahlen, wobei es darum ginge, ob sich zwei Mengen bidirektional aufeinander abbilden lassen. Sondern wir meinen hier die kombinatorische Erzeugung von Elementen der unendlich großen Menge der sinnvollen Koeffizienten im Verhältnis zur vollständigen Induktion bei der Erzeugung der Menge der natürlichen Zahlen.

Die unendlich viel größere Erzeugungskombinatorik drücken wir mit dem Symbol $ \overset{\infty}{\ggg} $ aus:

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \s \;\;\;\overset{\infty}{\ggg}\;\;\; ω } \]

(SN.PP.2)

Im Folgenden können wir dies klar erkennen.

Denn $ \s $ ist in Formel SN.Ein.28 durch folgendes Primzahl-Flächenprodukt definiert:

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \s\;\;\;≔\;\;\;(2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot \cdots )_{1} \\ \qquad\;\; \cdot ( 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot \cdots )_{2} \\ \qquad\;\; \cdot ( 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot \cdots )_{3} \\ \qquad\;\; \;\;\;\; \vdots \\ \qquad\;\; \cdot ( 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot \cdots )_{n \in \mathbb{N}} \\ \qquad\;\; \;\;\;\; \vdots } \]

(SN.Ein.28)

Da, wie oben geschildert, alle Primfaktoren von $ 2 ω $ auch in $ \s $ vorkommen müssen, muss $ 2 ω $, und somit auch $ ω $, ein Teil des Primzahl-Flächenprodukts sein. Und dieses Teilprodukt muss einen unendlich großen Wert haben.

$ ω $ kann nicht einer der unendlich großen Primzahltürme des Primzahl-Flächenprodukts sein

Nun können wir als erstes überlegen, ob es sich um einen der Primzahltürme handeln könnte: Die unendlich große Primzahl-Potenz mit der kleinsten Basis in $ \s $ ist $ 2^ω $. Wenn wir berücksichtigen, dass ja oben $ \s $ durch $ 2 ω $ geteilt wird und wir den Faktor $ 2 $ schon mal aus der unendlichen Potenz von $ 2 $ entfernen, ergibt sich immer noch $ 2^{ω-1} $, wobei $ ω - 1 $ als Biordinalzahl definiert ist.

Nun ist es offensichtlich, dass $ 2^{ω-1} $ ungleich und sogar sehr viel größer als $ ω $ ist:

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 2^{ω - 1}\;\;\;\neq\;\;\;ω } \]	(SN.PP.3)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 2^{ω - 1} \;\;\;\overset{\infty}{\ggg}\;\;\; ω } \]	(SN.PP.4)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}\left( \forall p \in \mathbb{P} \right) \left[\; p^{ω} \;\;\;\overset{\infty}{\ggg}\;\;\; ω \;\right] } \]	(SN.PP.5)

Dies gilt dann auch für alle Potenzen dieser Größenordnung endlicher Primzahlen.

Somit kommt keine Primzahl der Potenz $ p^ω $, also eine Spalte des Primzahl-Flächenprodukts, als unendlich großer Primfaktoranteil von $ \s $, der $ ω $ gleicht, in Frage.

Wir vermuten, $ ω $ ist die vollständige Primfakultät aller endlichen Primzahlen

Eine Möglichkeit, die noch bleibt, ist, dass $ ω $ dem unendlichen Produkt aller endlichen Primzahlen gleich ist, also eine Zeile des Primzahl-Flächenprodukts:

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { ω\;\;\;\overset{?}{=}\;\;\;ω_{\forall p}\;\;\;≔\;\;\;2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot \cdots } \]	(SN.PP.6)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}s\;\;\;=\;\;\;\left( 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot \cdots \right)^{ω} \\ \qquad\quad\;\;\;\;=\;\;\;\left( ω_{\forall p} \right)^{ω}\;\;\;\overset{?}{=}\;\;\;ω^{ω} } \]	(SN.PP.7)

Stimmt unsere Vermutung, dann ist $ s $ das Gleiche wie $ ω $ hoch $ ω $.

An dieser Stelle sind wird nicht ganz sicher, ob wirklich alle endlichen Primzahlen in $ ω $ stecken oder auch welche endlich oft mehrfach vorkommen. Auch, wenn dies der einfachste Fall scheint, haben wir keinen Hinweis, warum eine der Primzahlen nicht fehlen oder doch mehrfach sein könnte. Außer, dass vielleicht die $ 2 $ an $ ω $ fehlen könnte, weil sie in $ 2 \cdot ω $ wieder separat hinzu kommt.

Die Eigenschaft von $ ω $ allerdings, mit gutem Recht, soweit wir wissen, genau so viele gerade wie ungerade Zahlen zu enthalten, steht dem gegenüber. Sie liefert einen Grund, dass $ ω $ durch $ 2 $ teilbar sein sollte.

Wie können wir nun das Wissen schöpfen, dass alle endlichen Primzahlen genau ein Mal im Produkt vorkommen müssen?

Wir können unsere Vermutung plausibel machen, und schließlich auch beweisen, wenn wir erkennen, dass sowohl das vollständige Zählen als auch das vollständige Produkt aller endlichen Primzahlen das Raster der endlichen natürlichen Zahlen beschreiben.

Wir beginnen damit, zwei Möglichkeiten zu beleuchten, die Unendlichkeit der endlichen natürlichen Zahlen zu zeigen.

Zwei Arten die Unendlichkeit der endlichen natürlichen Zahlen zu beweisen

Der beweist, dass die Primzahlen in den unendlich vielen natürlichen Zahlen nicht enden, sondern es auch unendlich viele endliche Primzahlen gibt.

Wenn wir verstehen, dass der ›Satz des Euklid‹ ebenso beweist, dass die endlichen natürlichen Zahlen nicht enden, dann können wir erkennen, welche Bedeutung dieser Satz und das Zentrum seines Beweises für die natürlichen Zahlen hat.

Es gibt also mindestens zwei Arten die Unendlichkeit der endlichen natürlichen Zahlen zu beweisen:

Beweis durch Zählen
Einmal können wir die Unendlichkeit der endlichen natürlichen Zahlen durch das Zählen beweisen, mittels der vollständigen Induktion, auf Basis des Zählatoms Eins, ausgehend von der Null.

Beweis durch die Primfakultät und die Phasenverschiebung um $ \pm 1 $
Und ein weiteres Mal können wir die Unendlichkeit der endlichen natürlichen Zahlen mittels der Primfakultät und der Phasenverschiebung um $ \pm 1 $ beweisen, auf Basis der Multiplikationsatome der Primzahlen und des Zählatoms Eins, ausgehend von der Eins. So, wie es nachfolgend im ›Satz des Euklid‹ beschrieben ist. Denn sein Beweis basiert auf der Primfakultät, also auf dem Primorial, welche immer weiter potenziell ins Unendliche vorangetrieben wird und sich damit immer weiter dem Produkt aller Primzahlen aus Formel nähert.

In der Primfakultät $ p\# $ sind alle endlichen Primzahlen, von der Zwei bis zu einer größten $ p $, enthalten. Die größte wird dann im Beweis immer größer, bis ins Unendliche. Ausschließlich mit diesem Produkt funktioniert der Beweis und nicht, wenn irgendeine Primzahl im Produkt fehlt.

Da aufgrund des ›Fundamentalsatzes der Arithmetik‹ alle natürlichen Zahlen größer als Eins entweder selber Primzahlen sind oder sich in Primfaktoren zerlegen lassen, erzeugt darüber die immer größer werdende Primfakultät indirekt alle natürlichen Zahlen größer als Eins, bis ins Unendliche, weil sie genau das Raster vorgibt, auf dem diese liegen.

Hohe Plausibilität der Primzahlprodukt-Vermutung
Es liegt also sehr nahe, dass das Produkt aller endlichen Primzahlen das Teilprodukt von $ s $ ist, dass $ ω $ gleicht. Es gibt keinen Grund, warum eine der Primzahlen in dem Produkt mehrfach vorkommen sollte oder gar müsste. Womit wir noch keinen Beweis für die Primzahlprodukt-Vermutung haben, sie aber schon mal sehr plausibel erscheint. Genau dies zeigen wir nachfolgend und nutzen dazu die vorstehende Einsicht für den Beweis.

Zum ›Satz des Euklid‹

Der Beweis des ›Satz des Euklid‹ beweist, dass die Primzahlen endlicher Größe nicht enden.

Ich gebe diesen Beweis nachfolgend in Kurzform wieder. Dabei werde ich ihn etwas modifizieren, damit er zu den von uns gesuchten Eigenschaften am besten passt und wir ihn gut weiterverwenden können:

Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen im Endlichen gibt
Definition der Primzahlen im Endlichen:

» Die Primzahlen sind innerhalb der Menge $ \mathbb{N} $ der natürlichen Zahlen dadurch charakterisiert, dass jede von ihnen genau zwei natürliche Zahlen als Teiler hat. «

Nach dieser Definition sind Null und Eins keine Primzahlen.

Dass es unendlich viele Primzahlen im Endlichen gibt, können wir durch die Schlussfolgerungskette des folgenden Beweises erkennen, wenn wir die Primfakultät von $ p $ mit $ p\# $ berechnen:

•	Bilde die Primfakultät einer bekannten Primzahl, das Produkt aller Primzahlen kleiner und einschließlich dieser Primzahl: $ p\# $
•	Addiere Eins dazu oder ziehe Eins ab: $ p\# \pm 1 $
•	$ p\# \pm 1 $ ist nicht durch eine der Primzahlen in $ p\# $ ganzzahlig teilbar.
•	$ p\# \pm 1 $ kann daher entweder nur selber eine Primzahl sein, die dann größer als $ p $ ist, oder ihr Primzahlprodukt enthält ausschließlich Primzahlen – mindestens zwei Stück –, die nicht in $ p\# $ enthalten sind und damit größer als $ p $ sein müssen.
•	Alle Primzahlen, durch die $ p\# \pm 1 $ teilbar ist, sind damit größer als $ p $.
•	Es gibt also immer eine Primzahl, die größer ist als jede gegebene Primzahl $ p $, womit die Menge der endlichen Primzahlen nicht endet.

Es gibt in den endlichen natürlichen Zahlen demnach bewiesenermaßen unendlich viele Primzahlen.

Besondere Rolle der Primfakultät
Die Primfakultät spielt im ›Satz des Euklid‹ die zentrale Rolle.

Zum einen sammelt sie alle Primzahlen bis einschließlich $ p $ lückenlos in ihrem Produkt $ p\# $ ein. Zum anderen erlaubt sie über ihre doppelte Variation um plus-minus Einen $ p\# \pm 1 $ Aussagen über weitere Primzahlen, die noch nicht in ihrem Produkt enthalten sind und fungiert so quasi auch als Konstruktor:

Entweder sind $ p\# - 1 $ und/oder $ p\# + 1 $ selber schon größere Primzahlen als $ p $ oder es gibt zwischen $ p $ und $ p\# - 1 $, also in der Intervall-Menge $ \rbrack p, p\# - 1 \lbrack_\mathbb{N} $, mindestens zwei oder vier oder gar mehr weitere Primzahlen, die in der Primfaktorzerlegung von $ p\# - 1 $ und/oder $ p\# + 1 $ stecken.

Das passende Verständnis zum Beweis unserer Vermutung
Eine Perspektivenfindung

Berechnen wir Beispielhaft das Produkt der endlichen Primzahlen von den kleinsten Primfaktoren her mit der Primfakultät $ p\# $, dann wird deutlich, dass es schnell sehr viel größer wird, als die größte in ihm vorkommende Primzahl:

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 2\#\;\;\;=\;\;\;2 } \]	(SN.PP.8)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 3\#\;\;\;=\;\;\;6 } \]	(SN.PP.9)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 5\#\;\;\;=\;\;\;30 } \]	(SN.PP.10)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 7\#\;\;\;=\;\;\;210 } \]	(SN.PP.11)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 11\#\;\;\;=\;\;\;2310 } \]	(SN.PP.12)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 13\#\;\;\;=\;\;\;30030 } \]	(SN.PP.13)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 17\#\;\;\;=\;\;\;510510 } \]	(SN.PP.14)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 19\#\;\;\;=\;\;\;9699690 } \]	(SN.PP.15)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 23\#\;\;\;=\;\;\;223092870 } \]	(SN.PP.16)

Im ersten Moment erscheint es eher undurchsichtig, was die Primfakultät mit der Anzahl von aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen in einer Menge zu tun hat.

Die Anzahl von aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen in einer endlichen Menge
Die Ordinalzahlen, und in erweiterter Form die Biordinalzahlen, definieren die Anzahl der aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen in endlichen und unendlichen Mengen, und symbolisieren diese mit den Mengen selbst.

Nach Formel BO.Ein.5 finden wir dort für die Anzahl $ n $ der Elemente in einer endlichen Menge aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen:

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { n\;\;\;≔\;\;\;\left\{ 0, 1, 2, \cdots , n - 1 \right\} } \]

(BO.Ein.5)

Jede natürliche Zahl $ n $ steht also für eine lückenlose Menge, von der Null an.

Die Anzahl der Elemente einer Menge scheint hier mit dem nächst größeren Element $ n $ als das größte Element der Menge $ n - 1 $ gleichgesetzt. Bei näherer Betrachtung müssen wir aber feststellen, dass diese Perspektive nicht weit trägt. Denn schon bei der Null, der leeren Menge, funktioniert sie nicht, weil es kein größtes Element in der leeren Menge gibt.

Die aktual unendliche Anzahl aller Elemente der Menge $ \mathbb{N} $ der endlichen natürlichen Zahlen wird als die Anzahl der Schritte einer vollständigen Induktion verstand und wie folgt als $ ω $ definiert:

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { ω\;\;\;≔\;\;\;\mathbb{N}\;\;\;=\;\;\;\left\{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, \cdots \right\} } \]

(BO.Ein.9)

In der Menge $ \mathbb{N} $ ist nun keine größte Zahl mehr definiert und $ ω $ ist somit auch nicht die größte Zahl in $ \mathbb{N} $ plus Eins. Sogar finden wir in den Biordinalzahlen im Abschnitt ›Es gibt mehr ganze Zahlen von Null bis zu ω, als der Wert von ω ausdrückt‹, dass sich noch ganze Zahlen zwischen jeder natürlichen Zahl in $ \mathbb{N} $ und $ ω $ definieren lassen.

Wie können wir dies Interpretieren und aus welcher Perspektive passend betrachten?

Ich denke, es sollte noch eine weitere Art und Weise geben, Werte, die eine Anzahl natürlicher Zahlen von der Null an angeben, mit einer Menge zu beschreiben. Und zwar mit einer Menge von Zahlen, die auf seiner Primfaktorzerlegung basieren und das Primfaktor-Spektrum oder Primfaktor-Raster des Werts widerspiegeln.

Die Primturmzerlegung
Wie können wir die Primfaktorzerlegung jeder natürlichen Zahl eindeutig in einer Menge darstellen?

Das ist nur durch eine Menge der Primzahltürme einer natürlichen Zahl möglich, die wir Primturmzerlegung nennen. Denn eine Menge der reinen Primfaktoren wäre nicht eindeutig, weil dies nicht die Potenzen der Primzahlen berücksichtigt.

Sei $ pt(n) $ die Menge der Primzahltürme der endlichen und aktual unendlichen natürlichen Zahl $ n \in \mathbb{N}_\infty $:

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { pt(n)\;\;\;≔\;\;\;\left\{\; x\;~\middle|~\;\begin{cases} x = n & \text{ falls } \;\; n \in \left\{ 0, 1 \right\} \\ \\ \begin{aligned} \left( \forall p \in \mathbb{P} \right) \left( \forall k \in \mathbb{N}_{\infty} \right) \; \\ \!\! \left( \frac{ n }{ p^{k} } \in \mathbb{N}_{\infty} \land \frac{ n }{ p^{k + 1} } \notin \mathbb{N}_{\infty} \right) \\ \left[ x = p^{k} \right] \; \end{aligned} & \text{ falls } \;\; n \geq 2 \end{cases} \;\right\} } \]	(SN.PP.17)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}n\;\;\;\widehat{=}\;\;\;pt(n) } \]	(SN.PP.18)

Dann ist diese Menge also die Menge der Primzahlen in der maximalen Potenz, die $ n $ noch ganzzahlig teilt, oder sie enthält im Falle von Null nur die Null oder im Falle von Eins nur die Eins. Die Null und die Eins werden hier berücksichtigt, weil wir die natürlichen Zahlen komplett abbilden wollen. Der Parameter $ n $ und sein Funktionswert, seine Primturmzerlegung, entsprechen einander.
Die ersten Werte dieser Funktion sind

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { pt(0)\;\;\;=\;\;\;\left\{ 0 \right\} } \]	(SN.PP.19)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { pt(1)\;\;\;=\;\;\;\left\{ 1 \right\} } \]	(SN.PP.20)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { pt(2)\;\;\;=\;\;\;\left\{ 2 \right\} } \]	(SN.PP.21)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { pt(3)\;\;\;=\;\;\;\left\{ 3 \right\} } \]	(SN.PP.22)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { pt(4)\;\;\;=\;\;\;\left\{ 4 \right\} } \]	(SN.PP.23)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { pt(5)\;\;\;=\;\;\;\left\{ 5 \right\} } \]	(SN.PP.24)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { pt(6)\;\;\;=\;\;\;\left\{ 2, 3 \right\} } \]	(SN.PP.25)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { pt(7)\;\;\;=\;\;\;\left\{ 7 \right\} } \]	(SN.PP.26)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { pt(8)\;\;\;=\;\;\;\left\{ 8 \right\} } \]	(SN.PP.27)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { pt(9)\;\;\;=\;\;\;\left\{ 9 \right\} } \]	(SN.PP.28)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { pt(10)\;\;\;=\;\;\;\left\{ 2, 5 \right\} } \]	(SN.PP.29)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { pt(11)\;\;\;=\;\;\;\left\{ 11 \right\} } \]	(SN.PP.30)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { pt(12)\;\;\;=\;\;\;\left\{ 4, 3 \right\} } \]	(SN.PP.31)

und so fort.

Diese Menge können wir nun nutzen, um daraus das Primfaktor-Spektrum oder Primfaktor-Raster der natürlichen Zahl zu bestimmen.

Definition des Primturm-Potenzrasters
Die Menge der Anzahl der ersten $ n $ natürlichen Zahlen, von der Null an, stellt den Zählaspekt der Zahl $ n $ dar, also die Menge an Zahlen, die bis zu ihr erzeugt werden.

Die Primturmzerlegung ist eine Menge, die den multiplikativen Aspekt einer solchen Zahl darstellt. Sie bezieht sich aber nicht direkt auf die Erzeugung einer Menge – ein Spektrum oder Raster – natürlicher Zahlen, die mit ihrer Primturmzerlegung in Verbindung stehen, also die durch die in ihr enthaltenen Primzahltürme erzeugt werden.

Diese Menge möchte ich nun vorstellen und nenne sie das Primturm-Potenzraster.

Beim Primturm-Potenzraster geht es darum zu analysieren, welche anderen natürliche Zahlen sich mit den in einer natürlichen Zahl vorhandenen Primzahltürmen durch Variation ihrer Potenzen darstellen lassen. Denn es geht im Besonderen in einem zweiten Schritt darum, mit einer natürlichen Zahl ein Raster zu beschreiben, das zeigt, wie vollständig sich die natürlichen Zahlen, von der Null an, mit der Variation der Potenzen ihrer Primzahltürme beschreiben lassen.

Enthält eine natürliche Zahl einen Primfaktor, wie zum Beispiel die Zwei, mehrfach, dann können wir die selben Faktoren nicht untereinander unterscheiden. Denn all diese Zweien sind ja gleich. Unterscheiden können wir zwischen ihnen nur, wenn wir auch die Potenz der Primzahl sehen und im Primzahlturm belassen. Reduzieren wir also einen Primzahlturm auf seine Primzahlbasis, dann eliminieren wir einen essenziellen Teil seiner Eigenschaften, seines Charakters.

Würden wir in dem Fall also nur die einzelnen Primfaktoren berücksichtigen und in ihrer Potenz variieren, dann erhielten wir aufgrund der Reduktion der Primzahlpotenzen auf ihre Primzahlbasis Doppeldeutigkeiten, die eine vollständige und damit differenzierte Beschreibung der möglichen Spektren oder Raster unmöglich machen. So gesehen ist die Variation von Primzahltürmen keine Willkür, sondern zwingend, um Eineindeutigkeit zwischen der Menge des jeweiligen Primturm-Potenzrasters und der natürlichen Zahl, die es beschreibt, zu gewährleisten.

Zur Definition der Menge des Primturm-Potenzrasters und der Berechnung der lückenlosen Intervall-Menge endlicher und aktual unendlicher natürlicher Zahlen an seinem Beginn, von der Null an, brauchen wir im Folgenden also die Menge der Primfaktoranteile einer solchen Zahl.

Sei $ pr(n) $ das Primturm-Potenzraster beziehungsweise die unendliche Primturm-Potenzraster-Menge, erzeugt aus ihrem endlichen oder aktual unendlichen natürlichen Parameter $ n \in \mathbb{N}_\infty $, eine Menge die alle Kombinationen der natürlichen Potenzen seiner Primzahltürme enthält, wobei die Null und die Eins dazu genommen werden:

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { pt_{0,1}(n)\;\;\;≔\;\;\;\{ 0, 1 \} \cup pt(n) } \]	(SN.PP.32)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { pr(n)\;\;\;≔\;\;\;\begin{cases} n & \text{ falls } \;\; n \in \left\{ 0, 1 \right\} \\ \\ \left\{\; x\;~\middle|~\;\begin{aligned} \left( \forall i \in \# pt_{0,1}(n) \right) \, \\ \left( \forall j_{i} \in pt_{0,1}(n) \right) \, \\ \left( \forall k_{i} \in \mathbb{N}_{\infty} \right) \, \\ \! \left[ x = \prod_{ \forall i } j_{i}^{k_{i}} \right] \end{aligned} \;\right\} & \text{ falls } \;\; n \geq 2 \end{cases} } \]	(SN.PP.33)

Die Menge wird hier erzeugt, indem alle Elemente in $ pt(n) $, geordnet nach ihrem Index $ i $, in jeder natürlichen Potenz miteinander kombiniert werden.

Im zweiten Fall sind die Null und Eins in der Menge immer dabei, weil sie in diesem Fall immer Teil der Primturmzerlegung sind. Und durch die jeweiligen Potenzen von Null und Eins, wie $ 0 = 0^1 \cdot 1^0 \cdot j_i^0 \cdots $ und $ 1 = 0^0 \cdot 1^1 \cdot j_i^0 \cdots $ kommen beide dann ins Primturm-Potenzraster.

Das Primturm-Potenzraster ist eine eineindeutige Abbildung jeder natürlichen Zahl. Dies kommt daher, weil jede natürliche Zahl, wie oben gezeigt, ihre einzigartige Primturmzerlegung hat, aufgrund derer sich das Primturm-Potenzraster ebenso einzigartige berechnet.

Entspreche also jede natürliche Zahl ihrem Primturm-Potenzraster

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( \forall n \in \mathbb{N} \right) \left[\; n\;\;\;\widehat{=}\;\;\;pr( n ) \;\right] \;\;, } \]

(SN.PP.34)

was eben keine Gleichheit bedeutet.

Mit Entsprechung ist hier und nachfolgend – generell in dieser Arbeit – gemeint, dass eine bijektive Funktion existiert, die beide Dinge eineindeutig aufeinander abbildet. Jede natürliche Zahl beschreibt und charakterisiert also ihr eigenes Primturm-Potenzraster und umgekehrt.

Das Primturm-Potenzraster nutzen wir nun, um seinen lückenlosen Anteil an seinem Beginn zu berechnen.

Sei $ lpr(n) $ die maximale lückenlose Menge natürlicher Zahlen, von der Null an, im Primturm-Potenzraster $ pr(n) $:

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { lpr(n)\;\;\;≔\;\;\;\left\{\; x\;~\middle|~\;\left( \forall i \in \mathbb{N} \right) \left( i \subseteq pr(n) \right) \left[\; x = i \;\right] \;\right\} } \]

(SN.PP.35)

($ \mathbb{N}  $ sollte hier auf aktual unendliche natürliche Zahlen erweitert werden. Allerdings wäre $ \mathbb{N}_\infty  $ hier nicht ganz richtig, weil es im Sinne der Biordinalzahlen nur um die Ordinalzahlen geht, also um Limeszahlen $ \lambda + n  $ und nicht um solche wie $ \lambda - n  $, also z.B. $ ω - 1  $.)
(Diese Funktion könnten wir vielleicht auch durch Mengennegation und das Herauskristallisieren der kleinsten Zahl in der Antimenge realisieren.)
Diese Menge erhalten wir, indem wir alle natürlichen Zahlen $ i $ in einer Menge sammeln, die echte Teilmenge des Primturm-Potenzrasters sind.

Damit haben wir etwas besonderes geschaffen, wie wir noch sehen werden.

Die Mengen-Primfakultät
Das Primturm-Potenzraster ist vom Ansatz des Beweises des ›Satz des Euklid‹ inspiriert und bietet nun, mit Hilfe der jetzt zu entwickelnden, abgewandelten Primfakultät, eine weitere Möglichkeit, die natürlichen Zahlen zu beschreiben, wie oben schon dargelegt. So gelingt es uns anschließend, die endlichen Primzahlen zu erzeugen und mit ihnen die natürlichen Zahlen erneut zu konstruieren. Dies führt uns schließlich auch zum Beweis unserer Vermutung.

Dies alles erreichen wir über ein tieferes Verständnis, wie der Beweis des ›Satz des Euklid‹ funktioniert, und über eine zu diesem Zweck etwas abgewandelte Primfakultät, mit der wir nun beginnen.

Sei der Mengen-Primorial-Operator $ \mathbb{T}\overline{\#} $, auch Mengen-Primfakultät genannt, der Operator, der alle Primzahlen in der Menge $ \mathbb{T} $ in einem Produkt multipliziert:

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \mathbb{T}\overline{\#}\;\;\;≔\;\;\;\!\! \prod_{ \forall p \in \mathbb{T} \cap \mathbb{P} } \! p } \]

(SN.PP.114)

So erhalten wir eine Definition der Primfakultät, die sich auf die Elemente von Mengen bezieht.

Wie in den Ordinalzahlen beziehungsweise Biordinalzahlen definiert, können endliche und unendliche Zahlen einer Repräsentation durch Mengen entsprechen. In beiden Theorien wird diese Entsprechung als Gleichheit definiert, wie oben beispielhaft gezeigt.

Dann ergibt sich beispielsweise für die ersten natürlichen Zahlen, wenn wir sie demgemäß als Mengen verstehen:

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 0\overline{\#}\;\;\;=\;\;\;1 } \]	(SN.PP.115)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 1\overline{\#}\;\;\;=\;\;\;1 } \]	(SN.PP.116)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 2\overline{\#}\;\;\;=\;\;\;1 } \]	(SN.PP.117)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 3\overline{\#}\;\;\;=\;\;\;2\;\;\;=\;\;\;2 } \]	(SN.PP.118)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 4\overline{\#}\;\;\;=\;\;\;2 \cdot 3\;\;\;=\;\;\;6 } \]	(SN.PP.119)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 5\overline{\#}\;\;\;=\;\;\;2 \cdot 3\;\;\;=\;\;\;6 } \]	(SN.PP.120)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 6\overline{\#}\;\;\;=\;\;\;2 \cdot 3 \cdot 5\;\;\;=\;\;\;30 } \]	(SN.PP.121)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 7\overline{\#}\;\;\;=\;\;\;2 \cdot 3 \cdot 5\;\;\;=\;\;\;30 } \]	(SN.PP.122)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 8\overline{\#}\;\;\;=\;\;\;2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7\;\;\;=\;\;\;210 } \]	(SN.PP.123)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 9\overline{\#}\;\;\;=\;\;\;2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7\;\;\;=\;\;\;210 } \]	(SN.PP.124)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 10\overline{\#}\;\;\;=\;\;\;2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7\;\;\;=\;\;\;210 } \]	(SN.PP.125)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 11\overline{\#}\;\;\;=\;\;\;2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7\;\;\;=\;\;\;210 } \]	(SN.PP.126)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 12\overline{\#}\;\;\;=\;\;\;2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11\;\;\;=\;\;\;2310 } \]	(SN.PP.127)

Die vorm Operator stehende Zahl ist niemals Teil des Produkts, da die Menge, die eine Ordinalzahl repräsentiert, nicht selber in ihrer Menge enthalten ist.

Setzen wir diese Reihe für alle natürlichen Zahlen bis ins Unendliche zu $ ω $ fort, so ergibt sich:

► einblenden
▼ ausblenden
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \mathbb{N}\overline{\#}\;\;\;=\;\;\;\!\! \prod_{ \forall p \in \mathbb{N} \cap \mathbb{P} } \! p } \]	(SN.PP.128)
▲ ausblenden
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { ω\overline{\#}\;\;\;=\;\;\;\mathbb{N}\overline{\#}\;\;\;=\;\;\;\!\! \prod_{ \forall p \in \mathbb{P} } p } \]	\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}ω\overline{\#}\;\;\;=\;\;\;\mathbb{N}\overline{\#}\;\;\;=\;\;\;\!\! \prod_{ \forall p \in \mathbb{P} } \; p } \]	(SN.PP.129)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}ω_{\forall p}\;\;\;=\;\;\;ω\overline{\#} } \]	(SN.PP.130)

Denn hier liefert uns $ ω\overline{\#} $ ein Produkt aller Primzahlen in $ \mathbb{N} $, also ein Produkt aller endlichen Primzahlen.

Und so gesehen stellt sich unsere Vermutung nun als

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { ω\;\;\;\overset{?}{=}\;\;\;ω\overline{\#} } \]

(SN.PP.131)

dar.

Doch was bedeutet das Produkt aller Primzahlen in Mengen natürlicher Zahlen generell?

Was sind die Bedingungen, unter denen das fragliche Gleichheitszeichen erfüllt ist? Wie können wir sie formulieren?

Analyse des ›Satz des Euklid‹ in Bezug auf die Mengen-Primfakultät
In den obigen endlichen Beispielen zur Mengen-Primfakultät handelt es sich ja um Mengen $ \mathbb{T} = n $, mit $ n \in \mathbb{N} $, deren Elemente endliche natürliche Zahlen sind, von der Null bis zu einer endlichen größten $ n - 1 $.

Aus einer neuen Perspektive auf den ›Satz des Euklid‹ stellen wir fest, dass $ n\overline{\#} $ uns ein Produkt aller Primzahlen liefert, das die Primfaktoren der Primfaktorzerlegungen aller Elemente $ x $ der Menge $ n $ enthält. Das muss so sein, denn in dem Moment, wo $ n = p_i + 1 $ ist, mit $ p_i \in \mathbb{P} $, kommt zur Menge $ n $ die Primzahl $ p_i $ hinzu und damit auch zu ihrer Mengen-Primfakultät $ n\overline{\#} $. Die hinzu gekommene Primzahl kann aber nicht Teil der Primfaktorzerlegung einer der kleineren Zahlen $ x < p_i $ sein. Denn diese haben als Primfaktoren nur kleinere Primzahlen $ p_{i–d} $, mit $ 1 \leq d < i $, oder sind selber eine Primzahl.

Für das Primturm-Potenzraster hat die Mengen-Primfakultät als Parameter eine besondere Bedeutung
Da das Primturm-Potenzraster ein Zahlenspektrum aufgrund der Primzahltürme seines Parameters liefert, ergibt die Mengen-Primfakultät einer Zahl als sein Parameter $ pr\!\left( n\overline{\#} \right) $ ein besonderes Spektrum oder Raster:

Wenn wir die Mengen-Primfakultät einer natürlichen Zahl $ n $ als Parameter des Primturm-Potenzrasters benutzen, dann basiert das Raster auf allen Primzahlen, die Elemente der Mengenrepräsentation dieser natürlichen Zahl sind. In diesem Fall sind die Primzahltürme in $ n\overline{\#} $ aber von minimaler Potenz, also so klein, wie möglich. Damit wird das erzeugte Raster dann so fein wie möglich.

Und hierin spiegelt sich auch noch eine Erkenntnis des ›Satz des Euklid‹ wider, die auf den ersten Blick kaum auffällt: Es ist in der dortigen Primfakultät nämlich egal, in welcher Potenz eine Primzahl vorliegt. Addieren wir Eins oder ziehen Eins ab, ist das Ergebnis nicht durch alle enthaltenen Primzahlen teilbar, auch, wenn die Potenz der Primzahl größer ist. Es kann nämlich beim Unteilbar-Machen von Produkten in Bezug auf ihre Faktoren wie $ p = 5 \Rightarrow p\# = 2 \cdot 3 \cdot 5 $ durch $ p\# \pm 1 $ oder $ \Rightarrow p\# \cdot 2 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 $ durch $ p\# \cdot 2 \pm 1 $ nicht zwischen den gleichen Primzahlen im Produkt unterschieden werden. Beide Summen in den Beispielen sind nicht durch $ 2 $ teilbar. Einzig dann funktioniert der Beweis nicht, wenn eine Primzahl fehlt. Das bedeutet, die minimale Potenz von Eins jeder Primzahl reicht aus, um die Endlosigkeit der Primzahlen und damit aller natürlichen Zahlen zu beweisen. Diese Erkenntnis ist für das Verständnis des Beweises wichtig und macht deutlich, warum das oben fragliche Gleichheitszeichen nachfolgend mit einem Ausrufezeichen zu versehen ist.

Die Funktion $ pr\!\left( n\overline{\#} \right) $ liefert also ein lückenloses Primturm-Potenzraster $ lpr\!\left( n\overline{\#} \right) $ bis ausschließlich der Primzahl, die größer als die letzte Zahl $ x $ der Menge $ lpr\!\left( n\overline{\#} \right) $ ist. Zusammen mit der vorhergehenden Analyse lässt sich daraus eine Anleitung erkennen, wie wir aus einer endlichen natürlichen Zahl die nächst größere Primzahl, mittels Algebra und Mengenlehre, berechnen können.

Und damit erhalten wir auch eine Anleitung, aus einer gegebenen Primzahl dann immer wieder die nächste zu berechnen. Denn das Primturm-Potenzraster der Mengen-Primfakultäten einer Primzahl $ pr\!\left( p_i\overline{\#} \right) $ kombiniert schließlich alle Primturm-Potenzraster der in ihm enthaltenen Primzahlen.

Berechnung der nächsten Primzahl
Per Algebra und Mengenlehre

Wie wir an den obigen endlichen Beispielen erkennen können und wie gerade erklärt, enthält das lückenlose Primturm-Potenzraster der Mengen-Primfakultät einer Primzahl als größte Zahl die letzte natürliche Zahl, bevor in Bezug auf das Zählen diese Primzahl als neue Zahl zur Menge, und damit zu diesem Produkt, hinzukommt. Die Mengen-Primfakultät $ p_i\overline{\#} $ der Menge einer Primzahl $ p_i $ ist also die größte Menge mit natürlichen Zahlen $ 0 \leq x < p_i $, die durch ihr Primturm-Potenzraster aller kleineren Primzahlen $ p < p_i $ in dieser Menge lückenlos dargestellt wird. Dieses spezielle lückenlose Primturm-Potenzraster einer Primzahl entspricht also auch eben dieser Mengen-Primfakultät.

$ p_i\overline{\#} $ ist also eine eineindeutige und vollständige Entsprechung der Menge $ p_i $, dargestellt durch ihr lückenloses Primturm-Potenzraster.

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}\left( \forall p_{i} \in \mathbb{P} \right) \left[\; p_{i}\;\;\;\widehat{=}\;\;\;p_{i}\overline{\#} \;\right] } \]

(SN.PP.132)

Denn die erste Lücke befindet sich gleich bei $ p_i $ selber, der natürlichen Zahl, die die nächst größere als die größte in der Menge ist. Damit ist die Lückenlosigkeit des lückenlosen Primturm-Potenzrasters wirklich ganz genau auf die Menge $ p_i = \lbrack 0, p_i - 1 \rbrack_\mathbb{N} $ begrenzt und definiert diese Zahlenmenge exakt.

Die Mengen-Primfakultät $ p_i\overline{\#} $ ist allerdings eine natürliche Zahl, die, wie oben schon gesagt, bei zunehmender Größe von $ p_i $ rasant wächst und weit außerhalb der Menge an natürlichen Zahlen liegt, dessen lückenloses Primturm-Potenzraster sie definiert.

Die Mengen-Primfakultät $ x\overline{\#} $ einer natürlichen Zahl $ x $ liefert als Parameter des lückenlosen Primturm-Potenzrasters $ lpr\!\left( x\overline{\#} \right) $ die nächste Primzahl oder sich selbst, wenn sie selber schon eine Primzahl ist:

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( \forall x \in \mathbb{N} \right) \left( p_{i}, p_{i + 1} \in \mathbb{P} \right) \left( p_{i} < x \leq p_{i + 1} \right) \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \left[\; p_{i + 1}\;\;\;=\;\;\;lpr\!\left( x\overline{\#} \right) \;\right] } \]

(SN.PP.133)

Für den Fall, dass $ x $ einen größer als die vorhergehende Primzahl ist, folgt:

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}\left( \forall p_{i}, p_{i + 1} \in \mathbb{P} \right) \left[\; p_{i + 1}\;\;\;=\;\;\;lpr\!\left( \left( p_{i} + 1 \right)\overline{\#} \right) \;\right] } \]

(SN.PP.134)

Für den Fall, dass $ x $ schon die nächste Primzahl oder gleich der vorhergehenden ist, folgt:

► einblenden
▼ ausblenden
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}\left( \forall p_{i + 1} \in \mathbb{P} \right) \left[\; p_{i + 1}\;\;\;=\;\;\;lpr\!\left( p_{i + 1}\overline{\#} \right) \;\right] } \]	(SN.PP.135)
▲ ausblenden
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}\left( \forall p_{i} \in \mathbb{P} \right) \left[\; p_{i}\;\;\;=\;\;\;lpr\!\left( p_{i}\overline{\#} \right) \;\right] } \]	\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\left( \forall p_{i} \in \mathbb{P} \right) \left[\; p_{i}\;\;\;=\;\;\;lpr\!\left( p_{i}\overline{\#} \right) \;\right] } \]	(SN.PP.136)

Was wir alles erreichen wollten.

Wir können jetzt eine neue Primzahl aus den uns bekannten vorangegangenen Primzahlen erzeugen. Also erzeugen wir die auf eine bekannte Primzahl folgende Primzahl durch Hochzählen um Einen, um unsere Primzahl dadurch mit in die Mengen-Primfakultät zu bekommen.

Wir beschreiben dies so, dass das Primturm-Potenzraster eine erste Lücke aufwies und die neue Primzahl diese Lücke nun füllt.

Das lückenlose Primturm-Potenzraster einer beliebigen natürlichen Zahl
Im Besonderen ist ein jedes derartiges Primturm-Potenzraster $ pr\!\left( n \right) $ eine Beschreibung der kleinsten fehlenden reinen Primzahl in seinen Primzahltürmen, die auf seiner ersten Rasterlücke sitzt. Diese Primzahl erhalten wir dann durch $ lpr\!\left( n \right) $.

Haben wir eine Potenz einer Primzahl $ p_i $ größer als Eins, wie $ p_i^k $, mit $ k > 1 $, dann ist das Primturm-Potenzraster niemals lückenlos für die kleineren Potenzen von $ p_i $.

Sehen können wir das an den Beispielen für $ pr\!\left( 4 \right) $, $ pr\!\left( 9 \right) $ und $ pr\!\left( 18 \right) $ unter ›‹.

Denn die Menge $ pr\!\left( 4 \right) $ hat die erste Lücke bei der $ 2 $, also ergibt sich: $ lpr\!\left( 4 \right) = 2 $.

Die Menge $ pr\!\left( 9 \right) $ hat auch die erste Lücke bei der $ 2 $, also ergibt sich: $ lpr\!\left( 9 \right) = 2 $.

Hingegen hat die Menge $ pr\!\left( 18 \right) $ die erste Lücke erst bei der $ 3 $, weil die $ 2 $ im Produkt steckt, aber nicht die $ 3 $ als Primzahlturm, sondern der Primzahlturm ist $ 9 $. Also ergibt sich: $ lpr\!\left( 18 \right) = 3 $.

Es ist also immer die kleinste Primzahl, mit Potenz Eins, die in den Primzahltürmen fehlt, die als Ergebnis kommt.

Das Zählen der natürlichen Zahlen in Primzahlen
Die zählende Konstruktion der Primzahlen und damit der natürlichen Zahlen gleichzeitig

Die Menge der Primzahlen $ \mathbb{P} $ können wir nun durch vollständige Induktion erzeugen. Mit ihr entsteht sodann natürlich auch die Menge aller natürlichen Zahlen.

Es existiere also die Menge

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \exists \mathbb{P}\!: \left( 2 \in \mathbb{P} \land \forall x\!: \left( x \in \mathbb{P} \Rightarrow lpr\!\left( \left( x + 1 \right)\overline{\#} \right) \in \mathbb{P} \right) \right) } \]

(SN.PP.137)

aller endlichen Primzahlen. Hier in ihrer Anordnung auf Basis der jeweiligen Vorgänger-Primzahlen konstruiert.

Dieses Vorgehen können wir als natürliche, vollständige Definition der endlichen Primzahlen verstehen.

Dies ist in dieser Anordnung nur mit der Mengen-Primfakultät möglich, die uns, mit Hilfe des lückenlosen Primturm-Potenzrasters, die Menge der natürlichen Zahlen über die Menge der Primzahlen konstruiert. Wobei an der Mengen-Primfakultät entscheidend ist, dass sie uns die Primfaktoren vom Beginn an lückenlos in der ersten Potenz liefert.

Dadurch wird immer die nächste Primzahl berechnet, die dann wieder mit all ihren vorangegangenen Primzahlen, die darauf folgende berechnet.

Der Beweis der Primzahlprodukt-Vermutung
Wenn das Zählen der natürlichen Zahlen in Primzahlen ins Unendliche zu $ ω $ übergeht

Das besondere Verhalten des Primturm-Potenzrasters mit der Mengen-Primfakultät einer Primzahl als Parameter, wie eben dargelegt, können wir jetzt durch den Übergang ins Unendliche zu $ ω $ für den Beweis nutzen, weil wir auf diese Weise, wie oben erklärt, auch alle natürlichen Zahlen konstruieren:

Da $ ω $ die Menge der natürlichen Zahlen $ \mathbb{N} $ repräsentiert, enthält es natürlich auch alle endlichen Primzahlen. Die Mengen-Primfakultät $ ω\overline{\#} $ ist also das Produkt aller endlichen Primzahlen, wie schon gesagt.

Das Primturm-Potenzraster $ pr\!\left( ω\overline{\#} \right) $ aller endlichen Primfaktoren in $ ω\overline{\#} $ geht an seinem lückenlosen Beginn zur Menge der natürlichen Zahlen $ \mathbb{N} $, also zu $ ω $, über. Das ist so, weil aus der Kombination aller endlichen Primzahlen in beliebiger, endlicher Potenz in einem Produkt zunächst einmal alle natürlichen Zahlen gebildet werden können:

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { pt\!\left( ω\overline{\#} \right)\;\;\;=\;\;\;\left\{ 2, 3, 5, 7, 11, 13 \cdots \right\} } \]	(SN.PP.162)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { pr\!\left( ω\overline{\#} \right)\;\;\;=\;\;\;pr( 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdots) } \]	(SN.PP.163)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}pr\!\left( ω\overline{\#} \right)\;\;\;=\;\;\;\left\{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, \cdots \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdots, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; 2^{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdots, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; 2 \cdot 3^{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdots, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; 2^{3} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdots, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; 2 \cdot 3 \cdot 5^{2} \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdots, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdots, \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\; \vdots \; \right\} } \]	()

Wo die aktual unendlichen Elemente in der Menge beginnen, sind diese nicht mehr lückenlos, da zum Beispiel $ 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdots - 1 \in \mathbb{N}_\infty $ nicht im Raster enthalten aber auch keine endliche Zahl ist. Lückenlos, aber trotzdem unendlich viele, sind also nur die endlichen Zahlen der Menge

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { lpr\!\left( ω\overline{\#} \right)\;\;\;=\;\;\;\left\{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, \cdots \right\} \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\;=\;\;\;\mathbb{N}\;\;\;=\;\;\;ω \;\;, } \]

(SN.PP.164)

die sich dann zu allen endlichen natürlichen Zahlen ergibt.

Was passiert nun beim Übergang von den endlichen Primzahlen zu $ ω $ mit den Entsprechungen der Formeln und ?

Abgesehen davon, dass es sich bei $ ω $ nach nicht mehr um eine Primzahl handelt, können wir sagen:

Da das lückenlose Primturm-Potenzraster der Mengen-Primfakultät einer endlichen Primzahl in Formel gleich dieser Primzahl ist und entsprechend in der Formel das selbe für $ ω $ gilt:

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( \forall p \in \mathbb{P} \right) \left[\; p\;\;\;=\;\;\;lpr\!\left( p\overline{\#} \right) \;\right] } \]	()
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { ω\;\;\;=\;\;\;lpr\!\left( ω\overline{\#} \right) } \]	()

Die allgemeine Entsprechung für alle natürlichen Zahlen gilt daher logischer Weise auch für alle endlichen Primzahlen:

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( \forall n \in \mathbb{N} \right) \left[\; n\;\;\;\widehat{=}\;\;\;pr( n ) \;\right] } \]	()
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}\left( \forall p \in \mathbb{P} \right) \left[\; p\;\;\;\widehat{=}\;\;\;pr( p ) \;\right] } \]	(SN.PP.165)

Diese Entsprechung gilt auch für $ ω $, können wir an Formel erkennen, da sich auch hier ein einzigartiges Spektrum oder Raster ergibt:

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { ω\;\;\;\widehat{=}\;\;\;pr( ω ) } \]

(SN.PP.166)

Es ist also sehr stark zu vermuten, dass wir die allgemeine Entsprechung von $ \mathbb{N} $ auf $ \mathbb{N}_\infty $ erweitern können:
(Es bleibt hier aber noch zu zeigen, dass alle Biordinalzahlen, oder zumindest alle Ordinalzahlen, eine einzigartige Primfaktorzerlegung haben, die für sie alle ein einzigartiges Spektrum oder Raster erzeugt.)

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( \forall n \in \mathbb{N}_{\infty} \right) \left[\; n\;\;\;\widehat{=}\;\;\;pr( n ) \;\right] } \]

(SN.PP.167)

Aus der Gleichheit in Formel folgt für alle Primzahlen die Entsprechung für das Primturm-Potenzraster, die sich dann auch beim Übergang zu $ ω $ erhält:

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( \forall p \in \mathbb{P} \right) \left[\; p\;\;\;\widehat{=}\;\;\;pr\!\left( p\overline{\#} \right) \;\right] } \]	(SN.PP.168)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}ω\;\;\;\widehat{=}\;\;\;pr\!\left( ω\overline{\#} \right) } \]	(SN.PP.169)

Denn $ ω $ steht nicht nur für die vollständige Induktion des endlichen Zählens, sondern, wie oben gezeigt, gleichzeitig auch für die vollständige Erzeugung aller endlichen Primzahlen. Daher ist $ ω $ auch der Übergang der endlichen Primzahlerzeugung ins Unendliche. So wird die rechte Seite der Entsprechung dann zum Primturm-Potenzraster des Produkts aller endlichen Primzahlen.

So geht dann auch die Entsprechung zu $ ω $ über

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( \forall p \in \mathbb{P} \right) \left[\; p\;\;\;\widehat{=}\;\;\;p\overline{\#} \;\right] } \]	()
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}ω\;\;\;\widehat{=}\;\;\;ω\overline{\#} \;\;, } \]	(SN.PP.170)

was darauf beruht, dass wir, wegen der Eineindeutigkeit des Primturm-Potenzrasters in Bezug auf die Primzahlen und ihren Übergang ins Unendliche zu $ ω $, die Funktion $ pr $ ebenso weglassen können.

Und in Formel stellte sich zuvor die jetzt zu beweisende Frage, ob die letzte Entsprechung bei $ ω $ zur Gleichheit wird.

Die beiden letzten Übergange der Entsprechungen zu $ ω $ basieren darauf, dass auf der rechten Seite jeweils die Mengen-Primfakultät steht. Ebenso gilt dies für den etwas höher stehenden Übergang der Gleichheit in Bezug auf das lückenlose Primturm-Potenzraster zu .

Wir erkennen jetzt: Würde das Primzahlprodukt nicht bei der kleinsten Primzahl beginnen oder eine Lücke aufweisen, dann bräche alles zusammen. Diese Erkenntnis ist ein zentraler Bestandteil unseres Beweises.

Nun haben wir zwei wertmäßige Darstellungen der endlichen Primzahlen $ p $: Zum einen beschreiben wir die Anzahl der ersten $ p $ natürlichen Zahlen mit der Menge $ p $ selber, die genau diese Zahlen mittels des Zählens enthält. Zum anderen beschreiben wir die ersten $ p $ natürlichen Zahlen mit der Mengen-Primfakultät $ p\overline{\#} $ dieser Menge, die uns ein Zahlenraster in Form einer Menge $ pr\!\left( p\overline{\#} \right) $ liefert, das genau die Menge $ p $ lückenlos enthält und aus der wir diese mittels $ lpr\!\left( p\overline{\#} \right) $ extrahieren können. Beide Beschreibungen entsprechen einander, sind im Endlichen vom Wert her aber im Allgemeinen nicht gleich: $ p\;\widehat{=}\;p\overline{\#} $.

Übergang ins Unendliche zu allen endlichen natürlichen Zahlen der Menge $ ω $
Nun passiert beim Übergang ins Unendliche zu $ ω $ etwas besonderes:

Die Anzahl der Zahlen der Menge der ersten $ ω $ natürlichen Zahlen bleibt $ ω $ selbst. Die Mengen-Primfakultät $ ω\overline{\#} $ dieser Menge wird nun zum Produkt aller endlichen Primzahlen. Die Menge des von diesem unendlich großen Produkt gelieferten Primturm-Potenzraster $ pr\!\left( ω\overline{\#} \right) $ wird in seinem Beginn endlicher natürlicher Zahlen damit unendlich groß sowie vollständig lückenlos und damit gilt sowohl $ ω\;\widehat{=}\;pr\!\left( ω\overline{\#} \right) $ als auch $ ω = lpr\!\left( ω\overline{\#} \right) $.

Die Beschreibung von $ ω $ durchs Zählen und die durch die Mengen-Primfakultät $ ω\overline{\#} $, die das Zahlenraster aller endlichen Primzahlen erzeugt, entsprechen also ebenfalls einander: $ ω\;\widehat{=}\;ω\overline{\#} $.

Wir wussten ja schon mit der : Die Primfaktorzerlegung von $ ω $ ist ein unendlich großer Teil derer von $ s $, der in der Zeile oder den Zeilen der Primfakultät seines Primzahl-Flächenprodukts zu finden ist.

Die gerade gezeigten Entsprechungen beruhen auf Primfakultäten, lückenlos und bei der kleinsten Primzahl beginnend. Fehlt eine Primzahl mitten drinne oder es ist eine mehrfach im Produkt, so fällt die Entsprechung in sich zusammen.

Deshalb kann $ ω $ nur der Teil des Primzahl-Flächenprodukts von $ s $ sein, der lückenlos genau eine Zeile aller endlichen Primzahlen enthält. Unsere Vermutung der Gleichheit

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}\boxed{\;\; ω\;\;\;=\;\;\;ω\overline{\#} \;\;} } \]	(SN.PP.171)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\boxed{\;\; ω\;\;\;=\;\;\;\prod_{\forall p \in \mathbb{P}} p \;\;} } \]	(SN.PP.172)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\boxed{\;\; ω\;\;\;=\;\;\;2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot \cdots \;\;} } \]	(SN.PP.173)

muss folglich wahr sein, was wir zeigen wollten.

Hiermit erhalten wir den Beweis unserer Primzahlprodukt-Vermutung.

Ein sehr interessanter, weil aufschlussreicher, Übergang, durch den wir eine Primfaktorzerlegung für $ ω $ erhalten. Eine mir bisher unbekannte Eigenschaft der unendlichen Größe der vollständigen Induktion.

So ist nun auch klar, dass

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}\boxed{\;\; s\;\;\;=\;\;\;ω^{ω} \;\;} \;\;, } \]

(SN.PP.174)

wodurch wir auch ein genaueres Bild von $ s $ bekommen.

Dieser Zusammenhang ist aufgrund seiner Erkenntnisbedeutung auch Thema des Theorielogos.

Die Theorie der Superial-Zahlen liefert uns mit Hilfe der Theorie der Biordinalzahlen einen neuen und tiefen Einblick in die Struktur der endlichen Primzahlen. Und sie erweitert die endlichen Primzahlen zu aktual unendlichen Primzahlen. Dies vertieft unser Verständnis der Primzahlen weiter.

→

Diskussion des Beweises
Diskussion des Beweises

Experimentelle Gedanken zu anderen Beweiswegen
Experimentelle Gedanken zu anderen Beweiswegen

Fußnoten
Fußnoten

Stand 14. Dezember 2024, 13:00 CET.

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