Formale Entwicklung

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Ganze Superial-Zahlen \( \mathbb{S}_{\Z} \)
Wie könnten ganze Superial-Zahlen nun aussehen? Wir haben es zuvor ja schon angedeutet:

Faktoren, die aus der Primzahlprodukt-Fläche in diesem Sinne nur Primfaktoren entfernen oder hinzufügen sind zunächst erst einmal ganz klar die rationalen Zahlen. Sie bestehen nur aus endlichen Brüchen von Primfaktoren endlicher Anzahl und Potenz.

In Frage kämen vielleicht noch, wie schon erwähnt, Brüche unendlicher Anzahl von Primfaktoren endlicher Potenz, was zur Überrationalitätsvermutung führt, mit der wir uns hier erst später näher beschäftigen wollen.

Beispiele für ganze Superial-Zahlen sind:

Das vorletzte letzte Beispiel ist übrigens eine negative ganze Superial-Zahl und das letzte eine positive nicht ganze Superial-Zahl, weil die größte Stelle dominant ist. Eine genaue Definition der findet sich in der formalen Entwicklung.

Ganze Superial-Zahlen lassen sich also sinnvoll definieren und bei näherer Betrachtung, die wir später vollziehen, haben diese sehr interessante Eigenschaften und lassen uns Zahlen besser verstehen.

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Schreiben wir dies in einer ausführlicheren Definition, wie bei den ganzen Superial-Zahlen, dann wird es etwas transparenter:

Für den Fall, dass \( d = 0 \) ist, es sich also um endliche Zahlen handelt, bleiben nur endliche natürliche Zahlen über.

Für \( d > 0 \), den Fall, dass es sich um aktual unendlich große natürliche Zahlen handelt, entspricht die Definition der von positiven ganzen Superial-Zahlen. Dies ist dadurch bestimmt, dass der Koeffizient \( q_{d} \) der größten Potenz \( \s^{d} \) positiv sein muss.

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Es lässt sich auch eine Menge \( \mathbb{S}_{\P} \) der superialen Primzahlen definieren.

Dies sind alle , die nur durch Eins und durch sich selber ganzzahlig teilbar sind.

Es existiere also die Menge

aller aktual unendlichen superialen Primzahlen.

Wenn \( \mathbb{A}_{\R} \) die Menge der algebraischen Koeffizienten ist, dann gehören dazu auch:

Die endlichen Primzahlen gehören dazu. Und im aktual unendlichen mit der superialen Basis einfacher Potenz bleiben nur Primzahlzwillinge.

Kommen höhere Potenzen der superialen Basis ins Spiel, müssen wir schauen, ob es nicht binomische Formeln gibt, die diese erzeugen können:

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Nachfolgend ein paar nützliche Definitionen:

Zahlen und Mengen im Endlichen

Ich möchte nun erst einmal tiefer beleuchten, welche hier wichtigen Eigenschaften von Zahlen und Mengen sich auf welche mögliche Weise beim Übergang vom Endlichen ins Unendliche verhalten sollten, um Sinn zu machen und eine gute Plausibilität zu ergeben.

Das bedeutet nicht, dass es prinzipiell nicht auch weitere Möglichkeiten mit ihren Perspektiven und deren jeweiligen Vor- und Nachteilen gibt. Mir erscheint die nachfolgende Perspektive natürlich am besten zum Erkenntnisgewinn geeignet und in diesem Sinne als am besten zu den Superial-Zahlen passend.

Die Teilmengen vom Beginn der natürlichen Zahlen
Betrachten wird die Teilmengen \( \mathbb{T}_{n} \), die wir vom Beginn der natürlichen Zahlen bilden können und deren Größe, also die Anzahl ihrer Elemente \( n \).

Exemplarisch vereinfacht definieren wir diese Mengen wie folgt:

Formell korrekter können wir schreiben, wenn wir nachfolgend die Menge aller natürlichen Zahlen \( \mathbb{N} \) als stets mit der Null beginnend annehmen:

Die Teilmengen \( \mathbb{T}_{n} \) der ersten \( n \) Elemente wird definiert als die Menge der Elemente x für die Gilt: Ich nehme das Element \( n \) aus der Menge der natürlichen Zahlen \( \mathbb{N} \) und alle \( x \), die kleiner als \( n \) sind.

Wir sehen schon an der Definition, dass die Anzahl der Elemente in \( \mathbb{T}_{n} \) größer als alle Elemente dieser Menge ist.

Mein Freund Raimund Welsch machte mich in diesem Zusammenhang ganz zurecht darauf aufmerksam, dass dies eben nur gilt, wenn die natürlichen Zahlen vorstehend einschließlich der Null definiert sind.

Ich antworte darauf, dass dies deutlich macht, wie sinnvoll und plausibel die Definition der natürlichen Zahlen einschließlich der Null ist, wenn wir uns mit dem Übergang uns Unendliche beschäftigen.

Das größte Element einer Menge
Im Fall der Mengen mit endlich vielen Elementen, hier repräsentiert durch die Mengen \( \mathbb{T}_{n} \), existiert ein größtes Element in der Menge. Es gilt:

Nun gehen wir ins Unendliche über.

Zahlen und Mengen im Unendlichen

Anders als im Endlichen der Mengen \( \mathbb{T}_{n} \) verhält es sich, wenn wir zur Menge aller natürlich Zahlen übergehen, die unendlich viele Elemente endlicher Größe in sich hat. Auch sie beginnt mit der Null, aber in ihr gibt es per Definition kein größtes Element, weil es zu jedem Element einen Nachfolger gibt:

Jedoch kann die Anzahl der Elemente in \( \mathbb{N} \) nach obiger Definition SN.Ein.29 mit der aktual unendlichen Zahl \( ω \) angegeben werden:

Auf diese Weise kommen wir in die Lage, Zahlen außerhalb des Endlichen zu definieren; Zahlen, die also wirklich im Unendlichen liegen.

Auch können wir nun Zahlen definieren, die um eine endliche reelle Zahl herum liegen und näher an dieser sind, als jede andere reelle Zahl. Sie verhalten sich ähnlich, wie der Limes einer Umgebung \( \varepsilon \), der gegen Null geht. Nur sind diese Umgebungszahlen nicht unscharf, wie ein Limes, sondern konkret und damit scharf.

Das gleiche gilt, wenn wir das \( ω \) durch die noch viel größere superiale Basis \( \s \) ersetzen:

Die Eigenschaft der Superial-Zahlen, mit ihnen keinen unscharfen, sondern einen konkreten „Limes“ definieren zu können, eröffnet die Möglichkeit wichtige Eigenschaften der Zahlen näher untersuchen zu können, wie wir später sehen werden. Sie ermöglicht so unter anderem die Definition einer konkreten Differentialrechnung, wie oben schon angedeutet.

Stellenwertsystem

Ein besonderes Zahlenwertsystem und seine Kurznotation
Das ist sehr bemerkenswert und ermöglicht ein neues und besonderes Zahlenwertsystem auf Basis der superialen Basis \( \s \):

Jede Ziffer dieses Zahlenwertsystems auf Basis \( \s \) kann eine Zahl sein; in jedem Fall eine rationale, möglicherweise auch eine überrationale (siehe Überrationalitätsvermutung). Sehr fraglich ist für mich, ob es sinnvollerweise wirklich auch jede reelle Zahl sein kann, denn ich vermute, dass transzendente Zahlen, wie die Eulersche Zahl \( \e \) oder die Kreiszahl \( π \), als Koeffizienten in jedem Fall aus dem sinnvollen Rahmen fallen.

Nachfolgend ein paar Beispiele in einer neuen Notation, die jede Ziffer dieses Zahlensystems in spitzen Klammern notiert:

Ich denke an diesen einfachen Beispielen wird klar, wie das superiale Zahlenwertsystem funktioniert und wie es notiert wird. Der Punkt hinter der nullten Potenz von \( \s \) markiert quasi das Komma, ähnlich unseren reellen Zahlen im Zehnersystem notiert. Alternativ kann hinter einer spitzen Klammer auch die Potenz der superialen Basis \( \s \) als ganze Zahl angegeben werden.

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Skalierung der superialen Ebene einer Teilmenge der Superial-Zahlen

An einigen Stellen dieser Arbeit benötigen wir die Skalierung der superialen Potenzebene einer Teilmenge \( \mathbb{S}_T \) der Superial-Zahlen \( \mathbb{S} \):

Zum Beispiel ist es im Besonderen bei der Integration notwendig die ganzen Superial-Zahlen \( \mathbb{S}_Z \) eine Potenzebene ins superial kleine zu skalieren:

Hierdurch wird eine Menge erzeugt, die es ermöglicht, eine Summe zu definieren, in der superial kleine ganze Zahlen durchgezählt werden, um superial kleine Flächen zu summieren, die das Integral ergeben.

Intervall-Menge

Eine etwas allgemeinere Definition der Intervall-Menge eines Intervalls aus einer angeordneten Zahlenmenge:

Seien \( \lbrack a, b \rbrack_\mathbb{T} \), \( \lbrack a, b \lbrack_\mathbb{T} \), \( \rbrack a, b \rbrack_\mathbb{T} \) und \( \rbrack a, b \lbrack_\mathbb{T} \) die Mengen der folgenden Intervalle von \( a \) bis \( b \) aus der Menge \( \mathbb{T} \)

so können wir flexibel Intervall-Mengen definieren.

Aufgrund der Komplexität der Superial-Zahlen ist es sehr hilfreich, wenn wir die Menge \( \mathbb{T} \) angeben können, auf der die Intervall-Menge basieren soll.

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