Formale Entwicklung

Wie wir im Abschnitt ›Die sinnvollen Koeffizienten der Superial-Zahlen‹ aufzeigen, ist das Verständnis der ganzen Superial-Zahlen tief mit ihren sinnvollen Koeffizienten verbunden. Weil dort mehr im Detail erklärt, betrachten wir hier diesen Zusammenhang etwas oberflächlicher.

Die ganzen Superial-Zahlen $ \mathbb{S}_{\Z} $

Wie könnten ganze Superial-Zahlen nun aussehen? Wir haben es zuvor ja schon angedeutet:

Faktoren, die aus dem Primzahl-Flächenprodukt in diesem Sinne nur Primfaktoren entfernen oder hinzufügen sind zunächst erst einmal ganz klar die rationalen Zahlen. Sie bestehen nur aus endlichen Brüchen von Primfaktoren endlicher Anzahl und Potenz.

Interessanter und für manch einen wohl etwas überraschender Weise erfüllen aber auch ganzzahlige Wurzeln aus positiven natürlichen Zahlen diese Bedingung, wie wir im Beweis der Überrationalitätsvermutung lernen. Schließlich kommen wir sogar so weit, dass wir dies für alle durch Radikale darstellbaren reell algebraischen Zahlen zeigen können.

Wir bekommen einen Eindruck und ein Gefühl anhand folgender Beispiele für ganze Superial-Zahlen in der neuen :

Das Beispiel ist übrigens eine negative ganze Superial-Zahl und das Beispiel eine positive ganze Superial-Zahl, weil die höchste Stelle dominant ist.

Nachfolgend nun eine genaue Definition der ganzen Superial-Zahlen:

Wenn wir uns einwenig damit beschäftigen, kommen wir schnell dahinter und können gut verstehen, dass dies plausibel ist.

Die natürlich Superial-Zahl $ \mathbb{S}_{\N} $ leiten sich dann von den ganzen Superial-Zahl leicht ab. Es sind einfach alle Zahlen aus dieser Menge, die positiv sind, einschließlich der Null:

Schreiben wir dies in einer ausführlicheren Definition, wie bei den ganzen Superial-Zahlen, dann wird es etwas transparenter:

Für den Fall, dass $ d = 0 $ ist, es sich also um endliche Zahlen handelt, bleiben nur endliche natürliche Zahlen über.

Für $ 0 < d $, den Fall, dass es sich um aktual unendlich große natürliche Zahlen handelt, entspricht die Definition der von positiven ganzen Superial-Zahlen. Dies ist dadurch bestimmt, dass der Koeffizient $ a_{d} $ der größten Potenz $ \s^{d} $ positiv sein muss.

Beispiele für natürliche Superial-Zahl

Hier nun auch Beispiele in der für die natürlichen Superial-Zahlen:

Auch hier entscheidet die dominante höchste Stelle der Zahlen darüber, ob sie in der Menge der natürlichen Superial-Zahlen sind oder nicht.

Es lässt sich sogar die Menge $ \mathbb{S}_{\P} $ der superialen Primzahlen definieren.

Dies sind alle , die nur durch Eins und durch sich selber ganzzahlig teilbar sind, wie auch sonst bei Primzahlen üblich.

Es existiere also die Menge

aller superialen Primzahlen.

Wenn $ \mathbb{A}_{\S} $ die Menge der sinnvollen Koeffizienten der Superial-Zahlen ist, dann gehören dazu auch alle endlichen Primzahlen

und beispielsweise auch diese vorstehenden aktual unendlich großen Superial-Zahlen. Dies können wir leicht erkennen, wenn wir uns in Formel SN.Ein.28 das Primzahl-Flächenprodukt anschauen.

Kommen höhere Potenzen der superialen Basis ins Spiel, müssen wir schauen, ob es nicht binomische Formeln gibt, die diese erzeugen können:

Was wir sehen können ist, dass der endliche Summand nur $ \pm 1 $ sein kann, denn wäre er eine andere ganze Zahl, dann wäre die natürliche Superial-Zahl, wegen des Primzahl-Flächenprodukts, durch den Betrag dieser ganzen Zahl teilbar.

Die Frage, welche natürlichen Superial-Zahlen superiale Primzahlen sind, ist über irreduzible Polynome zu beantworten:

» In der Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, ist ein irreduzibles Polynom ein Polynom, das sich nicht als Produkt zweier nicht invertierbarer Polynome schreiben lässt und somit nicht in „einfachere“ Polynome zerfällt. Ihre Bedeutung für die Polynomringe ist in den meisten Fällen (Polynome über faktoriellen Ringen) mit der Bedeutung von Primzahlen für natürliche Zahlen gleich. «

Also gibt es sogar superiale Primzahlen unter den Superial-Zahlen. Noch eine echt bemerkenswerte Eigenschaft der Superial-Zahlen.

Nachfolgend wichtige Definitionen zur Schaffung von Werkzeugen, die es ermöglichen, die Superial-Zahlen, ihre Untermengen und Summen einfach zu definieren, darzustellen und mit ihnen praktisch umgehen zu können.

Inhalt

Zahlen und Mengen im Unendlichen
Der Übergang von Mengen und Werten endlicher natürlicher Zahlen ins Aktual-Unendliche

Wir beleuchten einmal tiefer, welche hier wichtigen Eigenschaften von natürlichen Zahlen, deren Werten und Mengen dieser sich auf welche Weise beim Übergang vom Endlichen ins Aktual-Unendliche wie verhalten sollten oder gar müssen, um plausibel zu sein und in Bezug auf die Superial-Zahlen Sinn zu ergeben.

Das bedeutet nicht, dass es prinzipiell nicht auch weitere Möglichkeiten mit ihren Perspektiven und deren jeweiligen Vor- und Nachteilen gibt. Mir erscheint die nachfolgende Perspektive natürlich am besten zum Erkenntnisgewinn geeignet und in diesem Sinne als am besten zu den Superial-Zahlen passend.

Die Teilmengen vom Beginn der natürlichen Zahlen
Betrachten wird die Teilmengen $ \mathbb{T}_{n} $, die wir vom Beginn der natürlichen Zahlen bilden können und deren Größe, also die Anzahl ihrer Elemente $ n $.

Exemplarisch vereinfacht definieren wir diese Mengen wie folgt:

Formell korrekter können wir schreiben, wenn wir nachfolgend die Menge aller natürlichen Zahlen $ \mathbb{N} $ als stets mit der Null beginnend annehmen:

Die Teilmenge $ \mathbb{T}_{n} $ der ersten $ n $ Elemente wird definiert als die Menge der Elemente x für die Gilt: Ich nehme das Element $ n $ aus der Menge der natürlichen Zahlen $ \mathbb{N} $ und alle $ x $, die kleiner als $ n $ sind.

Wir sehen schon an der Definition, dass die Anzahl der Elemente in $ \mathbb{T}_{n} $ größer als alle Elemente dieser Menge ist.

Mein Freund Raimund Welsch machte mich in diesem Zusammenhang ganz zurecht darauf aufmerksam, dass dies eben nur gilt, wenn die natürlichen Zahlen vorstehend einschließlich der Null definiert sind.

Ich antworte darauf, dass dies deutlich macht, wie sinnvoll und plausibel die Definition der natürlichen Zahlen einschließlich der Null ist, wenn wir uns mit dem Übergang uns Unendliche beschäftigen.

Das größte Element dieser Mengen
Im Fall der Mengen mit endlich vielen Elementen, hier repräsentiert durch die Menge $ \mathbb{T}_{n} $, existiert ein größtes Element in der Menge. Wenn das Symbol $ \# $ die Anzahl der Elemente einer Menge gibt, dann gilt:

Die letzte Aussage $ \forall i < n $ wird sich nachfolgend als wesentlich, weil auch im Aktual-Unendlichen weiter tragfähig, herausstellen. Die Aussage $ \mathrm{groesstes}(\mathbb{T}_{n}) = n - 1 $ gilt offenbar nur im Endlichen und ergibt im Aktual-Unendlichen keinen Sinn mehr.

Wir gehen nun ins Unendliche über und schauen uns das mal näher an.

Übergang ins Aktual-Unendliche
Anders als im Endlichen bei der Mengen $ \mathbb{T}_{n} $ verhält es sich, wenn wir zur Menge aller natürlich Zahlen $ \mathbb{N} $ übergehen, die unendlich viele Elemente endlicher Größe enthält. Auch sie beginnt mit der Null und den weiteren Elementen jeder Menge $ \mathbb{T}_{n} $, aber in ihr gibt es per Definition kein größtes Element, weil es zu jedem Element einen Nachfolger gibt, denn es ist die Menge der vollständigen Induktion:

Jedoch kann die Anzahl der Elemente in $ \mathbb{N} $ nach den Definitionen SN.Ein.25 und BO.Ein.9 mit der aktual unendlichen Zahl $ ω $ angegeben werden:

Dazu nutzen wir hier die Menge $ \mathbb{A}_{\S} $ der sinnvollen algebraischen Koeffizienten der Superial-Zahlen, anstatt reelle Zahlen aus der Menge der reellen Zahlen $ \mathbb{R} $. Der Grund dafür ist, dass wir bei Zahlen aus $ \mathbb{A}_{\S} $ sicher sind, dass diese keine aktual unendlich kleinen Summanden enthalten, die einen Teil unserer Ungleichungen ungültig machen würden. Denn unsere Untersuchung der Eulerschen Zahl $ \e $ – hierin als $ \e_{\s} $ bezeichnet – aufgrund der Ableitung mit Hilfe von Superial-Zahlen, lässt nämlich die Vermutung aufkommen, dass transzendente Zahlen, die Teil der Menge der reellen Zahlen $ \mathbb{R} $ sind, immer aktual unendlich kleine Summanden enthalten.

Der Wert von $ \pm ω^{-1} $ ist über den Beweis der Primzahlprodukt-Vermutung wohldefiniert.

Auf diese Weise kommen wir in die Lage, Zahlen außerhalb des Endlichen zu definieren; Zahlen, die also wirklich im negativen oder positiven aktual unendlich Großen sowie zwischen den endlichen Zahlen liegen. Auch können wir nun Zahlen definieren, die um eine endliche reelle Zahl herum liegen und näher an dieser sind, als jede andere Zahl aus $ \mathbb{A}_{\S} $, wie alle rationalen Zahlen oder alle durch Radikale darstellbaren algebraischen Zahlen. Die Zahl $ \pm ω^{-1} $ verhält sich ähnlich, wie der Limes einer Umgebung $ \varepsilon $, der gegen plus oder minus Null geht. Nur sind diese Umgebungszahlen nicht unscharf, wie ein Limes, sondern konkret und damit scharf.

Das gleiche gilt, wenn wir das $ ω $ durch die noch viel größere superiale Basis $ \s = ω^{ω} $ ersetzen:

Die Eigenschaft der Superial-Zahlen, mit ihnen keinen unscharfen, sondern einen konkreten „Limes“ definieren zu können, eröffnet die Möglichkeit wichtige Eigenschaften der Zahlen näher untersuchen zu können, wie wir später sehen werden. Sie ermöglicht so unter anderem die Definition einer konkreten aktual unendlichen Differentialrechnung, wie oben schon angedeutet.

Stellenwertsystem

Eine der Eigenschaften der Superial-Zahlen ist, dass es sich um ein Stellenwertsystem handelt. Es ist ein aktual unendliches Stellenwertsystem, in dem es eine endliche Stelle gibt und deren „Ziffern“ nicht nur ganze Zahlen oder alle rationalen Zahlen sein können, sondern eine große Menge an reell algebraischen Zahlen, wenn nicht gar alle reell algebraischen Zahlen, wie wir vermuten. Also können sogar negative Zahlen, Brüche, Wurzeln und so fort hier Ziffern sein.

Vermutlich können transzendente Zahlen keine wirklich sinnvollen Ziffern beziehungsweise Koeffizienten sein, wie die Eulersche Zahl $ \e $ oder die Kreiszahl $ π $.

Ein besonderes Zahlensystem und seine Kurznotation
Das ist sehr bemerkenswert und ermöglicht ein neues und besonderes Stellenwertsystem auf Basis der superialen Basis $ \s $.

Nachfolgend wird das Symbol $ \concat $ für die Aneinanderreihung, die Konkatenation, der „Ziffer“ nach der Definition der Superial-Zahlen verwendet:

Hierbei ist an jeder spitzen Klammer ein Index notiert, die wir großteils in der Praxis auch weglassen:

Auf diese Weise ergibt sich eine recht einfache Notation. An jeder Stelle können dann Terme eingetragen werden. Am Ende der Rechnung wird angestrebt, dass die Terme rein endliche Ausdrücke ergeben, die nicht mehr zu Überträgen in andere Stellen führen, wenn dies geht.

Beispiele für unsere Kurznotation
Nun ein paar Beispiele in einer neuen Notation:

Ich denke an diesen einfachen Beispielen wird klar, wie das superiale Zahlenwertsystem funktioniert und wie es notiert wird. Der Punkt hinter der nullten Potenz von $ \s $ markiert quasi das Komma, ähnlich unseren reellen Zahlen im Zehnersystem notiert.

Skalierung der superialen Ebene einer Teilmenge der Superial-Zahlen

An einigen Stellen dieser Arbeit benötigen wir die Skalierung der superialen Potenzebene einer Teilmenge $ \mathbb{S}_T $ der Superial-Zahlen $ \mathbb{S} $:

Zum Beispiel ist es im Besonderen bei der Integration notwendig die ganzen Superial-Zahlen $ \mathbb{S}_Z $ eine Potenzebene ins superial kleine zu skalieren:

Hierdurch wird eine Menge erzeugt, die es ermöglicht, eine Summe zu definieren, in der superial kleine ganze Zahlen durchgezählt werden, um superial kleine Flächen zu summieren, die das Integral ergeben.

Intervall-Menge

Eine etwas allgemeinere Definition der Intervall-Menge eines Intervalls aus einer angeordneten Zahlenmenge:

Seien $ \lbrack a, b \rbrack_\mathbb{T} $, $ \lbrack a, b \lbrack_\mathbb{T} $, $ \rbrack a, b \rbrack_\mathbb{T} $ und $ \rbrack a, b \lbrack_\mathbb{T} $ die Mengen der folgenden Intervalle von $ a $ bis $ b $ aus der Menge $ \mathbb{T} $

so können wir flexibel Intervall-Mengen definieren.

Aufgrund der Komplexität der Superial-Zahlen ist es sehr hilfreich, wenn wir die Menge $ \mathbb{T} $ angeben können, auf der die Intervall-Menge basieren soll.

Nun haben wir noch die Besonderheit, dass diese Intervall-Mengendefinition, nicht nur, aber im Besonderen auch, für die Definition von Integralen eingesetzt wird. In diesem Zusammenhang macht es Sinn, die Definition etwas allgemeiner zu fassen und die Verallgemeinerung auch im Zusammenhang mit Summen zu definieren.

Seien $ \lbrack b, a \rbrack_\mathbb{T} $, $ \lbrack b, a \lbrack_\mathbb{T} $, $ \rbrack b, a \rbrack_\mathbb{T} $ und $ \rbrack b, a \lbrack_\mathbb{T} $ die Mengen der folgenden Intervalle von $ b $ bis $ a $ aus der Menge $ \mathbb{T} $ definieren. Dieses Mal sind $ a $ und $ b $ allerdings vertauscht, wobei immer noch $ a < b $ ist, das Intervall also von einer größeren Zahl zu einer kleineren läuft, also quasi rückwärts. Das macht für die Intervall-Menge, aber keinen Unterschied, weil in Mengen die Elemente nicht angeordnet sind,

und so muss lediglich berücksichtigt werden, welche Elemente nicht in der Intervall-Mengen vorkommen sollen.

Etwas anders sieht dies für Summendefinitionen über Intervall-Mengen aus.

Summendefinition über Intervall-Mengen
Integrale als Summen
Denn, wenn der größere Wert zuerst kommt, dann summieren wir quasi Rückwärts – auch, wenn Mengen keine Ordnung haben – und es negiert sich das Ergebnis. Dies ist dann im Besonderen für die Definitionen von Integralen von Bedeutung.

Seien $ \lbrack b, a \rbrack_\mathbb{T} $, $ \lbrack b, a \lbrack_\mathbb{T} $, $ \rbrack b, a \rbrack_\mathbb{T} $ und $ \rbrack b, a \lbrack_\mathbb{T} $ die Mengen der folgenden Intervalle von $ b $ bis $ a $ aus der Menge $ \mathbb{T} $ definiert, wie vorstehend. Wieder sind $ a $ bis $ b $ vertauscht und wieder bleibt $ a < b $. Das Intervall also von einer größeren Zahl zu einer kleineren läuft, also wieder quasi rückwärts. Dann macht das bei einer Summe schon einen Unterschied im Wert, denn rückwärts summieren entspricht dem Abziehen, also der Differenz, anstatt der Summe

und so muss nicht nur berücksichtigt werden, welche Elemente nicht in der Intervall-Mengen vorkommen sollen, sondern auch, dass sich bei einer Summe, deren Intervall-Menge mit dem größeren Element zuerst definiert ist, das Vorzeichen umdreht.

Hierdurch ist die Summe mit ihrer Intervall-Menge tief verbunden.