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Die eulersche Zahl e und ihre Exponentialfunktion

Eine neue Definition von e und ihrer Exponentialfunktion über aktual unendliche Zahlen

Die transzendente Zahl e stellt sich als Zahl heraus, die so aktual unendlich kleine Summanden hat, dass sie nicht einmal zu den Superial-Zahlen erster Ordnung gehört

Beschäftigen wir uns mit Ableitungen und Integralen, mit der Differenzialrechnung, dann kommt irgendwann die Frage ins Spiel:

Welche Funktion abgeleitet ergibt sich selbst?

Wir stoßen auf diese Weise auf die Zahl $ \e $ und ihre Exponentialfunktion.

Mit Hilfe unseres neuen Zahlensystems, der Zahlentheorie der Analysis, können wir tatsächlich recht einfach und konkret erkennen, welche Funktion ihrer eigenen Ableitung gleich ist. Die Superial-Zahlen führen uns hier zu einer erstaunlichen Entdeckung.

Die Definition unserer Ableitung finden wir in Formel SN.AbIn.4:

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { f'(x)\;\;\;≔\;\;\;\frac{ f(\langle x\rangle .\!\langle 1\rangle ) - f(x) }{ .\!\langle 1\rangle } } \]

(SN.AbIn.4)

Soll eine Funktion nun ihre eigene Ableitung sein, dann gilt:

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { f'(x)\;\;\;=\;\;\;f(x) } \]	(SN.EuZa.1)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}f(x)\;\;\;=\;\;\;\frac{ f(\langle x\rangle .\!\langle 1\rangle ) - f(x) }{ .\!\langle 1\rangle } } \]	(SN.EuZa.2)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}f(x) \cdot {.\!\langle 1\rangle }\;\;\;=\;\;\;f(\langle x\rangle .\!\langle 1\rangle ) - f(x) } \]	(SN.EuZa.3)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}f(x) \cdot {.\!\langle 1\rangle } + f(x)\;\;\;=\;\;\;f(\langle x\rangle .\!\langle 1\rangle ) } \]	(SN.EuZa.4)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}f(x) \cdot \left( {.\!\langle 1\rangle } + 1 \right)\;\;\;=\;\;\;f(\langle x\rangle .\!\langle 1\rangle ) } \]	(SN.EuZa.5)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}f(x) \cdot \langle 1\rangle .\!\langle 1\rangle \;\;\;=\;\;\;f(\langle x\rangle .\!\langle 1\rangle ) } \]	(SN.EuZa.6)

Nach kurzer Überlegung können wir erraten, dass die Bedingung für unsere Funktion von einer Exponentialfunktion der Basis $ \langle 1\rangle .\!\langle 1\rangle $ erfüllt werden kann, denn der Parameter der Funktion soll sich um eine superial kleine Einheit erhöhen, wenn mit $ \langle 1\rangle .\!\langle 1\rangle $ multipliziert wird. Wir erraten also

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { f(x)\;\;\;=\;\;\;\langle 1\rangle .\!\langle 1\rangle ^{\langle x\rangle _{1}} } \]

(SN.EuZa.7)

und zeigen durch Einsetzen der letzten in die vorletzte Formel, dass unsere Vermutung

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}\langle 1\rangle .\!\langle 1\rangle ^{\langle x\rangle _{1}} \cdot \langle 1\rangle .\!\langle 1\rangle \;\;\;=\;\;\;\langle 1\rangle .\!\langle 1\rangle ^{\langle \langle x\rangle .\!\,\langle 1\rangle \rangle _{1}} } \]	(SN.EuZa.8)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\langle 1\rangle .\!\langle 1\rangle ^{\langle x\rangle _{1} + 1}\;\;\;=\;\;\;\langle 1\rangle .\!\langle 1\rangle ^{\langle \langle x\rangle .\!\,\langle 1\rangle \rangle _{1}} } \]	(SN.EuZa.9)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\langle 1\rangle .\!\langle 1\rangle ^{\langle x\rangle \langle 1\rangle\!.}\;\;\;=\;\;\;\langle 1\rangle .\!\langle 1\rangle ^{\langle x\rangle \langle 1\rangle .\!} } \]	(SN.EuZa.10)

richtig ist.

Bei näherer Betrachtung können wir nun aber auch leicht sehen, dass es noch weitere Funktionen ähnlicher Art gibt, die dies auch erfüllen, nämlich für alle $ y $:

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { f_{y}(x)\;\;\;=\;\;\;\langle 1\rangle .\!\langle 1\rangle ^{\langle x\rangle \langle y\rangle\!.} } \]

(SN.EuZa.11)

Daher legen wir zusätzlich fest, dass

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { f_{y}(0)\;\;\;=\;\;\;1 } \]	(SN.EuZa.12)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}y\;\;\;=\;\;\;0 } \]	(SN.EuZa.13)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}f(x)\;\;\;=\;\;\;\langle 1\rangle .\!\langle 1\rangle ^{\langle x\rangle _{1}} } \]	(SN.EuZa.14)

sein soll und legen uns damit auf die zuerst gefundene Funktion fest, so wie es auch sonst üblich ist.

Dieses Ergebnis ist in meinen Augen ein ganz bemerkenswertes: Denn wir erhalten eine weitere Definition der natürlichen Exponentialfunktion $ \e^x $.

Eine neue Definition der $ \e $-Funktion

Wir wissen aus der Mathematik der Differentialrechnung, dass die $ \e $-Funktion oder die Exponentialfunktion zur Basis $ \e $, der Eulerschen Zahl, ihre eigene Ableitung ist.

Mit diesem Wissen ist klar, dass wir eine neue Definition der $ \e $-Funktion gefunden haben, die sich aus der neuen Definition der Ableitung unmittelbar ergibt:

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \boxed{\;\; \e_{\s}^{x}\;\;\;=\;\;\;\langle 1\rangle .\!\langle 1\rangle ^{\langle x\rangle _{1}} \;\;} } \]

(SN.EuZa.15)

Ich nenne ihre Basis $ \e_\s $, weil ich hier ganz genau abgrenzen möchte. Denn die Basis hängt von der Definition der Ableitung ab, bei der wir $ \s $ benutzt haben. Würden wir beispielsweise $ \s^2 $ benutzen, wie , würde sich unsere Basis im Prinzip sehr ähnlich, aber doch anders ergeben.

Wenig verwunderlich ist diese Formel in Form der Limes-Definition bekannt:

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\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \e\;\;\;≔\;\;\;\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}{ \left( 1 + \frac{ 1 }{ n } \right)^{n} } } \]	(SN.EuZa.16)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}\e^{x}\;\;\;=\;\;\;\left( \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}{ \left( 1 + \frac{ 1 }{ n } \right)^{n} } \right)^{x} } \]	(SN.EuZa.17)
▲ ausblenden
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \e^{x}\;\;\;=\;\;\;\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}{ \left( 1 + \frac{ 1 }{ n } \right)^{x \cdot n} } } \]	\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\e^{x}\;\;\;=\;\;\;\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}{ \left( 1 + \frac{ 1 }{ n } \right)^{x \cdot n} } } \]	(SN.EuZa.18)

Diese im Unendlichen schwer durchschaubare Formulierung haben wir gerade vorstehend in einer Schreibweise mit fundamentalen Symbolen beschreiben. Und werden dies gleich nutzen, um die Zahl $ \e $ auch im unendlich Kleinen genau zu berechnen.

Drücken wir die $ \e $-Funktion explizit mit $ \s $ oder noch differenzierter mit $ \omega $ aus, erhalten wir:

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\e_{\s}^{x}\;\;\;=\;\;\;\left( 1 + \frac{ 1 }{ \s } \right)^{x \cdot \s} } \]	(SN.EuZa.19)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\e_{\s}^{x}\;\;\;=\;\;\;\left( 1 + \frac{ 1 }{ \omega^{\omega} } \right)^{x \cdot \omega^{\omega}} } \]	(SN.EuZa.20)

Wir sehen, dass wir die $ \e $-Funktion ganz fundamental mit $ \omega $ durch die vollständige Induktion definieren können.

Und im Hinblick auf den Beweis der Primzahlprodukt-Vermutung, der die vollständige Induktion auf Grundlage des unendlichen Produkts aller endlichen Primzahlen ausdrückt, führen wir die $ \e $-Funktion auf die Primzahlen zurück:

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \omega\;\;\;=\;\;\;\prod_{\forall p \in \mathbb{P}} p } \]	(SN.PP.172)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\omega\;\;\;=\;\;\;2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot \cdots } \]	(SN.PP.173)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}\e_{\s}^{x}\;\;\;=\;\;\;\\ \qquad \left( 1 + \frac{ 1 }{ (2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot \cdots)^{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot \cdots} } \right)^{x \cdot (2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot \cdots)^{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot \cdots}} } \]	(SN.EuZa.21)

Dies ist in meinen Augen etwas sehr besonderes, ganz konkret und hat damit eine andere Qualität als und ergänzt so die Limes-Definition, zusätzlich zum Perspektivwechsel, wie wir gleich sehen werden. Dadurch wird transparent, wie sich die $ \e $-Funktion und damit die Zahl $ \e $ im und aus dem Unendlichen ergibt.

Die $ \e $-Funktion und das Pascalsche Dreieck

Berechnen wir nun spaßeshalber die Funktionswerte im infinitesimalen Bereich, dann erkennen wir das Pascalsche Dreieck:

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \e_{s}^{.\!\,\langle x\rangle }\;\;\;=\;\;\;\langle 1\rangle .\!\langle 1\rangle ^{\langle .\!\,\langle x\rangle \rangle _{1}} } \]	(SN.EuZa.22)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\e_{s}^{.\!\,\langle x\rangle }\;\;\;=\;\;\;\langle 1\rangle .\!\langle 1\rangle ^{x} } \]	(SN.EuZa.23)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \e_{s}^{0}\;\;\;=\;\;\;1 } \]	(SN.EuZa.24)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \e_{s}^{.\!\,\langle 1\rangle }\;\;\;=\;\;\;\langle 1\rangle .\!\langle 1\rangle } \]	(SN.EuZa.25)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \e_{s}^{.\!\,\langle 2\rangle }\;\;\;=\;\;\;\langle 1\rangle .\!\langle 2\rangle \langle 1\rangle } \]	(SN.EuZa.26)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \e_{s}^{.\!\,\langle 3\rangle }\;\;\;=\;\;\;\langle 1\rangle .\!\langle 3\rangle \langle 3\rangle \langle 1\rangle } \]	(SN.EuZa.27)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \e_{s}^{.\!\,\langle 4\rangle }\;\;\;=\;\;\;\langle 1\rangle .\!\langle 4\rangle \langle 6\rangle \langle 4\rangle \langle 1\rangle } \]	(SN.EuZa.28)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \e_{s}^{.\!\,\langle 5\rangle }\;\;\;=\;\;\;\langle 1\rangle .\!\langle 5\rangle \langle 10\rangle \langle 10\rangle \langle 5\rangle \langle 1\rangle } \]	(SN.EuZa.29)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \e_{s}^{.\!\,\langle 6\rangle }\;\;\;=\;\;\;\langle 1\rangle .\!\langle 6\rangle \langle 15\rangle \langle 20\rangle \langle 15\rangle \langle 6\rangle \langle 1\rangle } \]	(SN.EuZa.30)

So bekommen wir einen vom Aussehen her vielleicht etwas unerwarteten Einblick in die infinitesimale Feinstruktur der $ \e $-Funktion und ihren Zusammenhang mit den Binomischen Formeln und dem Pascalschen Dreieck.

Die Koeffizienten des Pascalschen Dreiecks sind die Binomialkoeffizienten, die wir einmal beispielhaft einsetzen:

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \e_{s}^{0}\;\;\;=\;\;\;\left( \begin{array}{llll} 0 \\ 0 \end{array} \right) } \]	(SN.EuZa.31)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \e_{s}^{.\!\,\langle 1\rangle }\;\;\;=\;\;\;\left\langle \left( \begin{array}{llll} 1 \\ 0 \end{array} \right) \right\rangle .\!\, \left\langle \left( \begin{array}{llll} 1 \\ 1 \end{array} \right) \right\rangle } \]	(SN.EuZa.32)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \e_{s}^{.\!\,\langle 2\rangle }\;\;\;=\;\;\;\left\langle \left( \begin{array}{llll} 2 \\ 0 \end{array} \right) \right\rangle .\!\, \left\langle \left( \begin{array}{llll} 2 \\ 1 \end{array} \right) \right\rangle \left\langle \left( \begin{array}{llll} 2 \\ 2 \end{array} \right) \right\rangle } \]	(SN.EuZa.33)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \e_{s}^{.\!\,\langle 3\rangle }\;\;\;=\;\;\;\left\langle \left( \begin{array}{llll} 3 \\ 0 \end{array} \right) \right\rangle .\!\, \left\langle \left( \begin{array}{llll} 3 \\ 1 \end{array} \right) \right\rangle \left\langle \left( \begin{array}{llll} 3 \\ 2 \end{array} \right) \right\rangle \left\langle \left( \begin{array}{llll} 3 \\ 3 \end{array} \right) \right\rangle } \]	(SN.EuZa.34)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \e_{s}^{.\!\,\langle 4\rangle }\;\;\;=\;\;\;\left\langle \left( \begin{array}{llll} 4 \\ 0 \end{array} \right) \right\rangle .\!\, \left\langle \left( \begin{array}{llll} 4 \\ 1 \end{array} \right) \right\rangle \left\langle \left( \begin{array}{llll} 4 \\ 2 \end{array} \right) \right\rangle \left\langle \left( \begin{array}{llll} 4 \\ 3 \end{array} \right) \right\rangle \left\langle \left( \begin{array}{llll} 4 \\ 4 \end{array} \right) \right\rangle } \]	(SN.EuZa.35)

Wir können dies allgemeiner mit einer Formel für Binomialkoeffizienten mit dem über-Operator beschreiben:

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}\e_{s}^{.\!\,\langle n\rangle }\;\;\;=\;\;\;\sum_{ \forall k \in [0, n]_{\mathbb{N}} } \left( \begin{array}{llll} n \\ k \end{array} \right) \cdot s^{-k} } \]

(SN.EuZa.36)

Nachfolgend beleuchten wir die Berechnung der in einer Nebenrechnung.

Wie berechnet sich daraus $ \e_\s $

Beim Übergang zum endlichen Exponenten Eins finden offensichtlich Überträge auf höhere Stellen des superialen Stellenwertsystems statt:

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \e_{\s}\;\;\;=\;\;\;\e_{\s}^{1}\;\;\;=\;\;\;\e_{\s}^{.\!\,\langle \s\rangle }\;\;\;=\;\;\;\langle 1\rangle .\!\langle 1\rangle ^{\s} } \]	(SN.EuZa.78)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\e_{\s}\;\;\;=\;\;\;\left\langle \left( \begin{array}{llll} \s \\ 0 \end{array} \right) \right\rangle .\!\,\left\langle \left( \begin{array}{llll} \s \\ 1 \end{array} \right) \right\rangle \left\langle \left( \begin{array}{llll} \s \\ 2 \end{array} \right) \right\rangle \left\langle \left( \begin{array}{llll} \s \\ 3 \end{array} \right) \right\rangle \cdots \\ \qquad\qquad\qquad\qquad \cdots \left\langle \left( \begin{array}{llll} \s \\ \s - 2 \end{array} \right) \right\rangle \left\langle \left( \begin{array}{llll} \s \\ \s - 1 \end{array} \right) \right\rangle \left\langle \left( \begin{array}{llll} \s \\ \s \end{array} \right) \right\rangle _{-\s} } \]	(SN.EuZa.79)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\e_{\s}\;\;\;=\;\;\;\left\langle 1 \right\rangle .\!\,\left\langle \s \right\rangle \left\langle \frac{ \s^{2} - \s }{ 2 } \right\rangle \left\langle \frac{ \s^{3} - 3 \s^{2} + 2 \s }{ 6 } \right\rangle \cdots \\ \qquad\qquad\qquad\qquad \cdots \left\langle \frac{ \s^{3} - 3 \s^{2} + 2 \s }{ 6 } \right\rangle \left\langle \frac{ \s^{2} - \s }{ 2 } \right\rangle \left\langle \s \right\rangle \left\langle 1 \right\rangle _{-\s} } \]	(SN.EuZa.80)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\e_{\s}\;\;\;=\;\;\;\left\langle 1 + 1 + \frac{ 1^{2} }{ 2 } + \frac{ 1^{3} }{ 6 } + \cdots \right\rangle .\! \\ \qquad\qquad\qquad\qquad \left\langle - \frac{ 1 }{ 2 } - \frac{ 3 \cdot 1^{2} }{ 6 } + \cdots \right\rangle \left\langle \frac{ 2 }{ 6 } + \cdots \right\rangle \cdots \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\; \cdots \left\langle \cdots + \frac{ 1^{3} }{ 6 } \right\rangle \left\langle \cdots - \frac{ 3 \cdot 1^{2} }{ 6 } \right\rangle \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\quad\; \left\langle \cdots + \frac{ 2 }{ 6 } + \frac{ 1^{2} }{ 2 } \right\rangle \left\langle - \frac{ 1 }{ 2 } \right\rangle \left\langle 1 \right\rangle \left\langle 0 \right\rangle \left\langle 1 \right\rangle _{-\s} } \]	(SN.EuZa.81)

Hier können wir nun erkennen und logischerweise sogar absolut sicher sein, dass sich im Endlichen die Taylorreihe zur Eulerschen Zahl $ \e $ ergibt.

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\e_{\s}\;\;\;=\;\;\;\left\langle \sum_{ \forall k \in \mathbb{N} } \frac{ 1^{k} }{ k! } \right\rangle .\! \\ \qquad\qquad\qquad\qquad \left\langle - \frac{ 1 }{ 2 } - \frac{ 3 \cdot 1^{2} }{ 6 } + \cdots \right\rangle \left\langle \frac{ 2 }{ 6 } + \cdots \right\rangle \cdots \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\; \cdots \left\langle \cdots + \frac{ 1^{3} }{ 6 } \right\rangle \left\langle \cdots - \frac{ 3 \cdot 1^{2} }{ 6 } \right\rangle \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\quad\; \left\langle \cdots + \frac{ 2 }{ 6 } + \frac{ 1^{2} }{ 2 } \right\rangle \left\langle - \frac{ 1 }{ 2 } \right\rangle \left\langle 1 \right\rangle \left\langle 0 \right\rangle \left\langle 1 \right\rangle _{-\s} } \]

(SN.EuZa.111)

Wir sehen nun auch, dass die Eulersche Zahl $ \e $ aktual unendlich viele aktual unendlich kleine Anteile hat, die nicht Null sind und damit eben nicht verschwinden. Denn es ist schlichtweg unmöglich die Ableitung mit einer Differenz zu definieren, die wirklich Null ist! Denn die Differenz muss positiv und kann nicht Null sein, damit sie Sinn macht und nicht undefiniert wird.

Was passiert, wenn wir die Differenz kleiner machen, sehen wir in der nachfolgenden mit $ \s^2 $ anstatt mit $ \s $, wie oben definiert. Die aktual unendliche Anzahl an aktual unendlich kleinen Summanden bleibt gleich, auch, wenn die Werte der Summanden kleiner werden.

Strukturell gewinnen wir nichts, wenn wir die Differenz kleiner machen. Es ergeben sich nur Lücken, deren Werte Null sind. Die Summanden ungleich Null bleiben, solange unsere Differenz größer als Null ist. Und das muss sie ja. Das ist Fakt.

Nur durch eine Differenz, die unendlich klein ist, können wir erreichen, dass die Potenzanteile der Differenz in sich nicht überlappende unendliche Größenskalen zerfallen und so das richtige Ergebnis der Rechnung im Endlichen erreicht wird.

Der Ansatz mit dem Limes hat den Charm, dass wir uns scheinbar nicht oder wenig mit den unendlich kleinen Details der Rechnung auseinander setzen müssen.

Aber ich glaube, der Limes-Ansatz hat auf der einen Seite seine Berechtigung, weil er Vorteile in sich trägt, und ist auf der anderen Seite auch ein Trugschluss. Denn gerade diese Details sind sehr interessant sowie erkenntnisreich und lassen erahnen und auch sichtbar werden, was vor sich geht; wie das Räderwerk des Endlichen mit dem unendlich Kleinen und dem unendlich Großen ineinander greift.

Ohne die Erkenntnis dieses Räderwerks wäre ich wohl nie auf die Primzahlprodukt-Vermutung gestoßen und schließlich auf ihren Beweis gekommen, der uns neue tiefe arithmetische Einblicke ins Unendliche, in die vollständige Induktion, die Primzahlen und die Primzahlverteilung, gewährt.

In meinen Augen offenbart dieses Räderwerk, dass die Eulersche Zahl $ \e $ keine rein endliche Zahl sein kann. Sie ist nicht einmal eine Superial-Zahl der hier entwickelten 1. Ordnung, also ein Element von $ \mathbb{S} $, weil sie Summanden mit aktual unendlich kleiner Potenz von $ \s $ in sich trägt. Es ist schlichtweg unmöglich, sie so zu definieren, dass sie die Ableitungsbedingung erfüllt, und keine unendlich kleinen Summanden enthält. Desto kleiner wir die Differenz, die ihr zu Grunde liegt, machen, umso höher wird irgendwann die unendliche Ordnung, die wir benötigen, die Eulersche Zahl zu definieren, ohne, dass wir einen Informationsgewinn haben.

Rein endlich werden kann das Ergebnis, bei genauer Betrachtung, hingegen nicht. Der Limes macht es uns halt einfacher, die tieferen Details nicht zu sehen.

Die „transzendente“ Zahl $ \e $ gehört dementsprechend nicht zu den rein endlichen Zahlen. Sie ist keine irrationale Zahl in dem Sinne, dass sie nicht durch einen Bruch darstellbar ist, aber ausschließlich endliche Summanden enthält.

Ich rege also an, dass wir den Begriff der Transzendenz, und sicherheitshalber auch den der Irrationalität, wobei ich auf die Überrationalitätsvermutung hinweisen möchte, in diesem Sinne tiefer überdenken.

→

Die $ \e $-Funktion aus dem Integral
Die $ \e $-Funktion aus dem Integral

Die Transzendenz der eulerschen Zahl $ \e $
Die Transzendenz der eulerschen Zahl $ \e $

Die Quadratur des Kreises – von der eulerschen Zahl $ \e $ zur Kreiszahl $ π $
Die Quadratur des Kreises – von der eulerschen Zahl $ \e $ zur Kreiszahl $ π $

Fußnoten
Fußnoten

Stand 14. Dezember 2024, 13:00 CET.

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