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Die eulersche Zahl e und ihre Exponentialfunktion
Eine neue Definition von e und ihrer Exponentialfunktion über aktual unendliche Zahlen
Die transzendente Zahl e stellt sich als Zahl heraus, die so aktual unendlich kleine Summanden hat, dass sie nicht einmal zu den Superial-Zahlen erster Ordnung gehört
| ▼ | Notizen (Beginn; nicht für inhaltliche Beurteilungen beachten) |
• Meine Herleitung der $ \e $-Funktion mit Hilfe von Superial-Zahlen stammt aus dem Jahr 2001: siehe Datei "superial zahlen (26).pdf".
Verbesserungen
• Erwähnen, dass $ \e_{\s} $ keine einfache Superial-Zahl ist, sondern zu einer Superial-Zahlen Art gehört, bei der unter anderem auch aktual unendlich kleine Potenzen der superialen Basis wie $ \s^{-\s} $ erlaubt sind.
| ▲ | Notizen (Ende; nicht für inhaltliche Beurteilungen beachten) |
Beschäftigen wir uns mit Ableitungen und Integralen, mit der Differenzialrechnung, dann kommt irgendwann die Frage ins Spiel:
Welche Funktion abgeleitet ergibt sich selbst?
Wir stoßen auf diese Weise auf die Zahl $ \e $ und ihre Exponentialfunktion.
Mit Hilfe unseres neuen Zahlensystems, der Zahlentheorie der Analysis, können wir tatsächlich recht einfach und konkret erkennen, welche Funktion ihrer eigenen Ableitung gleich ist. Die Superial-Zahlen führen uns hier zu einer erstaunlichen Entdeckung.
Die Definition unserer Ableitung finden wir in Formel SN.AbIn.4:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { f'(x)\;\;\;≔\;\;\;\frac{ f(\langle x\rangle .\!\langle 1\rangle ) - f(x) }{ .\!\langle 1\rangle } } \] | (SN.AbIn.4) |
Soll eine Funktion nun ihre eigene Ableitung sein, dann gilt:
Nach kurzer Überlegung können wir erraten, dass die Bedingung für unsere Funktion von einer Exponentialfunktion der Basis $ \langle 1\rangle .\!\langle 1\rangle $ erfüllt werden kann, denn der Parameter der Funktion soll sich um eine superial kleine Einheit erhöhen, wenn mit $ \langle 1\rangle .\!\langle 1\rangle $ multipliziert wird. Wir erraten also
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { f(x)\;\;\;=\;\;\;\langle 1\rangle .\!\langle 1\rangle ^{\langle x\rangle _{1}} } \] | (SN.EuZa.7) |
und zeigen durch Einsetzen der letzten in die vorletzte Formel, dass unsere Vermutung
richtig ist.
Bei näherer Betrachtung können wir nun aber auch leicht sehen, dass es noch weitere Funktionen ähnlicher Art gibt, die dies auch erfüllen, nämlich für alle $ y $:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { f_{y}(x)\;\;\;=\;\;\;\langle 1\rangle .\!\langle 1\rangle ^{\langle x\rangle \langle y\rangle\!.} } \] | (SN.EuZa.11) |
Daher legen wir zusätzlich fest, dass
sein soll und legen uns damit auf die zuerst gefundene Funktion fest, so wie es auch sonst üblich ist.
Dieses Ergebnis ist in meinen Augen ein ganz bemerkenswertes: Denn wir erhalten eine weitere Definition der natürlichen Exponentialfunktion $ \e^x $.
Eine neue Definition der $ \e $-Funktion
Wir wissen aus der Mathematik der Differentialrechnung, dass die $ \e $-Funktion oder die Exponentialfunktion zur Basis $ \e $, der Eulerschen Zahl1, ihre eigene Ableitung ist.2
Mit diesem Wissen ist klar, dass wir eine neue Definition der $ \e $-Funktion gefunden haben, die sich aus der neuen Definition der Ableitung unmittelbar ergibt:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \boxed{\;\; \e_{\s}^{x}\;\;\;=\;\;\;\langle 1\rangle .\!\langle 1\rangle ^{\langle x\rangle _{1}} \;\;} } \] | (SN.EuZa.15) |
Ich nenne ihre Basis $ \e_\s $, weil ich hier ganz genau abgrenzen möchte. Denn die Basis hängt von der Definition der Ableitung ab, bei der wir $ \s $ benutzt haben. Würden wir beispielsweise $ \s^2 $ benutzen, wie hier gezeigt, würde sich unsere Basis im Prinzip sehr ähnlich, aber doch anders ergeben.
Wenig verwunderlich ist diese Formel in Form der Limes-Definition bekannt:3
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| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \e\;\;\;≔\;\;\;\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}{ \left( 1 + \frac{ 1 }{ n } \right)^{n} } } \] | (SN.EuZa.16) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}\e^{x}\;\;\;=\;\;\;\left( \lim\limits_{n \rightarrow +\infty}{ \left( 1 + \frac{ 1 }{ n } \right)^{n} } \right)^{x} } \] | (SN.EuZa.17) | ||
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| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\e^{x}\;\;\;=\;\;\;\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}{ \left( 1 + \frac{ 1 }{ n } \right)^{x \cdot n} } } \] | (SN.EuZa.18) | ||
Diese im Unendlichen schwer durchschaubare Formulierung haben wir gerade vorstehend in einer Schreibweise mit fundamentalen Symbolen beschreiben. Und werden dies gleich nutzen, um die Zahl $ \e $ auch im unendlich Kleinen genau zu berechnen.
Drücken wir die $ \e $-Funktion explizit mit $ \s $ oder noch differenzierter mit $ \omega $ aus, erhalten wir:
Wir sehen, dass wir die $ \e $-Funktion ganz fundamental mit $ \omega $ durch die vollständige Induktion4 definieren können.
Und im Hinblick auf den Beweis der Primzahlprodukt-Vermutung, der die vollständige Induktion auf Grundlage des unendlichen Produkts aller endlichen Primzahlen ausdrückt, führen wir die $ \e $-Funktion auf die Primzahlen zurück:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \omega\;\;\;=\;\;\;\prod_{\forall p \in \mathbb{P}} p } \] | (SN.PP.208) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\omega\;\;\;=\;\;\;2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot \cdots } \] | (SN.PP.209) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}\e_{\s}^{x}\;\;\;=\;\;\;\\ \qquad \left( 1 + \frac{ 1 }{ (2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot \cdots)^{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot \cdots} } \right)^{x \cdot (2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot \cdots)^{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot \cdots}} } \] | (SN.EuZa.21) |
Dies ist in meinen Augen etwas sehr besonderes, ganz konkret und hat damit eine andere Qualität als und ergänzt so die Limes-Definition, zusätzlich zum Perspektivwechsel, wie wir gleich sehen werden. Dadurch wird transparent, wie sich die $ \e $-Funktion und damit die Zahl $ \e $ im und aus dem Unendlichen ergibt.
Die $ \e $-Funktion und das Pascalsche Dreieck
Berechnen wir nun spaßeshalber die Funktionswerte im infinitesimalen Bereich, dann erkennen wir das Pascalsche Dreieck:
So bekommen wir einen vom Aussehen her vielleicht etwas unerwarteten Einblick in die infinitesimale Feinstruktur der $ \e $-Funktion und ihren Zusammenhang mit den Binomischen Formeln und dem Pascalschen Dreieck.
Die Koeffizienten des Pascalschen Dreiecks sind die Binomialkoeffizienten5, die wir einmal beispielhaft einsetzen:
Wir können dies allgemeiner mit einer Formel für Binomialkoeffizienten mit dem über-Operator6 beschreiben:
Nachfolgend beleuchten wir die Berechnung der Summen der einzelnen Spalten der Binomialkoeffizienten in einer Nebenrechnung.
| ▼ | Notizen (Beginn; nicht für inhaltliche Beurteilungen beachten) |
• Nachfolgenden Einschub Die Summen der einzelnen Spalten der Binomialkoeffizienten verschieben in den Abschnitt Nähere Untersuchung bestimmter Summen?
| ▲ | Notizen (Ende; nicht für inhaltliche Beurteilungen beachten) |
| ▼ | Die Summen der einzelnen Spalten der Binomialkoeffizienten: |
In dieser Rechnung wollen wir die Summen der Spalten der Binomialkoeffizienten des Pascalschen Dreiecks berechnen. Dazu schauen wir uns an, wie sich die Werte der Binomialkoeffizienten aus der vorherigen Spalte ergeben.
Als Ansatz formulieren wir die altbekannte Regel etwas um, wie sich ein Binomialkoeffizient aus der über ihm gelegenen Zeile als Summe ergibt:7
Diese Formel können wir durch Rekursion weiter entwickeln
und entdecken, dass wir dies so lange fortführen können, bis wir bei einer Zeile $ n $ landen, in der der letzte Summand zu Null wird und ab da verschwindet.
Der erste Summand der Null ist, liegt dann bei Zeile $ k - 1 $ und Spalte $ k $, wie wir sehen,
was wir beispielhaft überprüfen mit in der der letzte Summand zu Null wird und ab da verschwindet.
Der erste Summand der Null ist, liegt dann bei Zeile $ k - 1 $ und Spalte $ k $, wie wir sehen,
und daher bricht die Summe dann ab, sodass wir sie folgendermaßen ganz allgemein mit
ausdrücken können.
Die Summe der $ 0 $-ten Spalte ist schlichtweg:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}\left( \begin{array}{llll} n \\ 0 \end{array} \right)\;\;\;=\;\;\;1 } \] | (SN.EuZa.46) |
(Hier können wir Ähnlichkeiten mit dem $ -1 $-Operator der Operialtheorie erahnen.)
Dies ist die Konstante $ 1 $.
Die Summe der $ 1 $-ten Spalte ist dann das Zählen:
(Hier können wir Ähnlichkeiten mit dem $ 0 $-Operator, dem Zähloperator, der Operialtheorie sehen.)
Dies ist das Zählen bis zur Zeilennummer.
Die Summe der $ 2 $-ten Spalte entspricht also der Gaußschen Summenformel8 und diese können wir geschlossen ausdrücken mit:
Dies entspricht der modifizierten Gaußschen Summenformel, die wir schon aus Formel BO.Ein.NZ.6.
Die Summe der $ 3 $-ten Spalte entspricht also der Summe der ersten $ n - 1 $ Quadratzahlen und diese können wir geschlossen ausdrücken mit:
Die Summe der ersten $ x $ Quadratzahlen können wir folgendermaßen ausdrücken:9
Hierin können wir nun $ x $ durch $ n - 1 $ ersetzen, um das Ergebnis weiter zu nutzen:
Das Ergebnis setzen wir in unsere vorherige Gesamtsumme für die Reihe der Quadratzahlen ein und für die Reihe der natürlichen Zahlen die Gaußsche Summe:
Die Berechnung weiterer Anteile erspare ich mir für den Moment.
Aber wir können erahnen und logischerweise sogar absolut sicher sein, dass sich für den Summanden mit der höchsten Potenz nach und nach die Glieder der Taylorreihe ergeben, die summiert zur Eulerschen Zahl $ \e $ führen.
Wie berechnet sich daraus $ \e_\s $
| ▼ | Notizen (Beginn; nicht für inhaltliche Beurteilungen beachten) |
• Können wir hieraus über die Definition des Über-Operators der Binomialkoeffizienten durch Fakultäten etwas über die Fakultät von $ \s $ lernen?
• Das kann so nicht stimmen, oder? Wir können genau sagen, wieviele Summanden die Summe oder Reihe hat, die den endlichen Anteil von $ \e_\s $ darstellt. Es sind genau $ \frac{1}{2} \s + 1 $, weil $ \s $ eine gerade Zahl ist und damit der größte Wert im Pascalschen Dreieck bei dieser Potenz liegt. Danach werden die Werte im Pascalschen Dreieck kleiner, so, dass ihre inneren Potenzen nicht mehr bis zum Endlichen reichen, denke ich.
| ▲ | Notizen (Ende; nicht für inhaltliche Beurteilungen beachten) |
Beim Übergang zum endlichen Exponenten Eins finden offensichtlich Überträge auf höhere Stellen des superialen Stellenwertsystems statt:
| ▼ | Beispielrechnung zur Ableitung mit $ s^2 $: |
Exemplarisch möchte ich einmal die $ \e $-Funktion anhand einer etwas variierten Ableitung definieren, um zu sehen, wie sich dies eventuell auf die Basis der sich so ergebenden $ \e $-Funktion auswirkt.
Die Definition unserer ursprünglichen Ableitung finden wir in Formel SN.AbIn.4
und ändern die dortige Differenz von $ s $ auf $ s^2 $:
Soll eine Funktion nun ihre eigene Ableitung sein, dann gilt:
Nach kurzer Überlegung können wir erraten, dass die Bedingung für unsere Funktion von einer Exponentialfunktion der Basis $ \langle 1\rangle .\!\langle 0\rangle \langle 1\rangle $ erfüllt werden kann, denn der Parameter der Funktion soll sich um eine superial kleine Einheit erhöhen, wenn mit $ \langle 1\rangle .\!\langle 0\rangle \langle 1\rangle $ multipliziert wird. Wir erraten also
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { f(x)\;\;\;=\;\;\;\langle 1\rangle .\!\langle 0\rangle \langle 1\rangle ^{\langle x\rangle _{2}} } \] | (SN.EuZa.89) |
und zeigen durch Einsetzen der letzten in die vorletzte Formel, dass unsere Vermutung
richtig ist.
Bei näherer Betrachtung können wir nun aber auch leicht sehen, dass es noch weitere Funktionen ähnlicher Art gibt, die dies auch erfüllen, nämlich für alle $ y $:
Daher legen wir zusätzlich fest, dass
sein soll und legen uns damit auf die zuerst gefundene Funktion fest, so wie es auch sonst üblich ist.
Auf die Weise ergibt sich für die $ \e $-Funktion:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \e_{s^{2}}^{x}\;\;\;=\;\;\;\langle 1\rangle .\!\langle 0\rangle \langle 1\rangle ^{\langle x\rangle _{2}} } \] | (SN.EuZa.97) |
Nun stellt sich die Frage, ob die Basis unserer sich hierdurch ergebenden $ \e $-Funktion auch $ \e_s $ ist, oder ein davon abweichendes $ \e_2 $.
Berechnen wir nun spaßeshalber die Funktionswerte im infinitesimalen Bereich, dann erkennen wir das Pascalsche Dreieck:
So bekommen wir einen vom Aussehen her vielleicht etwas unerwarteten Einblick in die infinitesimale Feinstruktur der $ \e $-Funktion und ihren Zusammenhang mit den Binomischen Formeln und dem Pascalschen Dreieck.
Beim Übergang zum endlichen Exponenten Eins finden offensichtlich Überträge auf höhere Stellen des superialen Stellenwertsystems statt:
Wir können hier erkennen, dass wir, trotz der feineren Auflösung der Ableitung keinen Informationsgewinn erzielen. In den ungeraden Potenzen von $ \s $ reißen einfach Lücken auf, die nichts zusätzliches enthalten. Daran können wir erkennen, dass die superiale Einheit $ \s $ gerade die optimale Auflösung für Differentiation in diesem Kontext ist.
Hier können wir nun erkennen und logischerweise sogar absolut sicher sein, dass sich im Endlichen die Taylorreihe10 zur Eulerschen Zahl $ \e $ ergibt.
Wir sehen nun auch, dass die Eulersche Zahl $ \e $ aktual unendlich viele aktual unendlich kleine Anteile hat, die nicht Null sind und damit eben nicht verschwinden. Denn es ist schlichtweg unmöglich die Ableitung mit einer Differenz zu definieren, die wirklich Null ist! Denn die Differenz muss positiv und kann nicht Null sein, damit sie Sinn macht und nicht undefiniert wird.
Was passiert, wenn wir die Differenz kleiner machen, sehen wir in der nachfolgenden Beispielrechnung zur Ableitung mit $ \s^2 $ anstatt mit $ \s $, wie oben definiert. Die aktual unendliche Anzahl an aktual unendlich kleinen Summanden bleibt gleich, auch, wenn die Werte der Summanden kleiner werden.
Strukturell gewinnen wir nichts, wenn wir die Differenz kleiner machen. Es ergeben sich nur Lücken, deren Werte Null sind. Die Summanden ungleich Null bleiben, solange unsere Differenz größer als Null ist. Und das muss sie ja. Das ist Fakt.
Nur durch eine Differenz, die unendlich klein ist, können wir erreichen, dass die Potenzanteile der Differenz in sich nicht überlappende unendliche Größenskalen zerfallen und so das richtige Ergebnis der Rechnung im Endlichen erreicht wird.
Der Ansatz mit dem Limes hat den Charm, dass wir uns scheinbar nicht oder wenig mit den unendlich kleinen Details der Rechnung auseinander setzen müssen.
Aber ich glaube, der Limes-Ansatz hat auf der einen Seite seine Berechtigung, weil er Vorteile in sich trägt, und ist auf der anderen Seite auch ein Trugschluss. Denn gerade diese Details sind sehr interessant sowie erkenntnisreich und lassen erahnen und auch sichtbar werden, was vor sich geht; wie das Räderwerk des Endlichen mit dem unendlich Kleinen und dem unendlich Großen ineinander greift.
Ohne die Erkenntnis dieses Räderwerks wäre ich wohl nie auf die Primzahlprodukt-Vermutung gestoßen und schließlich auf ihren Beweis gekommen, der uns neue tiefe arithmetische Einblicke ins Unendliche, in die vollständige Induktion, die Primzahlen und die Primzahlverteilung, gewährt.
In meinen Augen offenbart dieses Räderwerk, dass die Eulersche Zahl $ \e $ keine rein endliche Zahl sein kann. Sie ist nicht einmal eine Superial-Zahl der hier entwickelten 1. Ordnung, also ein Element von $ \mathbb{S} $, weil sie Summanden mit aktual unendlich kleiner Potenz von $ \s $ in sich trägt. Sie gehört vielmehr zu Superial-Zahlen höherer Ordnung, in denen auch aktual unendlich kleine Potenzen der superialen Basis wie $ \s^{-\s} $ erlaubt sind — sichtbar in Formel SN.EuZa.81. Es ist schlichtweg unmöglich, sie so zu definieren, dass sie die Ableitungsbedingung erfüllt, und keine unendlich kleinen Summanden enthält. Desto kleiner wir die Differenz, die ihr zu Grunde liegt, machen, umso höher wird irgendwann die unendliche Ordnung, die wir benötigen, die Eulersche Zahl zu definieren, ohne, dass wir einen Informationsgewinn haben.
Rein endlich werden kann das Ergebnis, bei genauer Betrachtung, hingegen nicht. Der Limes macht es uns halt einfacher, die tieferen Details nicht zu sehen.
Die „transzendente“ Zahl $ \e $ gehört dementsprechend nicht zu den rein endlichen Zahlen. Sie ist keine irrationale Zahl in dem Sinne, dass sie nicht durch einen Bruch darstellbar ist, aber ausschließlich endliche Summanden enthält.
Ich rege also an, dass wir den Begriff der Transzendenz, und sicherheitshalber auch den der Irrationalität, wobei ich auf die Überrationalitätsvermutung hinweisen möchte, in diesem Sinne tiefer überdenken.
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Die $ \e $-Funktion aus dem Integral |
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Eine Funktion, die Integriert sich selbst ergibt
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| ▼ | Notizen (Beginn; nicht für inhaltliche Beurteilungen beachten) |
• Wie ich gerade wiederentdeckt habe (07.11.2024), hatte ich diese Analyse und Rechnungen zur $ \e $-Funktion in der Integration mit Hilfe von Superial-Zahlen nicht nur gestern erneut gemacht, sondern spätestens schon mal am 03.11.2001 und vermutlich noch früher, was ich in älteren Dateien noch überprüfen kann: siehe Datei "superial zahlen (26).pdf", S. 18.
– Am 15.07.2001 existierte es schon in: "superial zahlen (23).pdf", S. 17.
– Ältere Dateien sind im uralten QuarkXPress-Format und für mich im Moment leider nicht zu öffnen, da damals nicht als PDF gespeichert.
⋅ Konvertierungsmöglichkeiten hier: https://forum.affinity.serif.com/index.php?/topic/141257-open-quarkxpress-files-in-publisher/
⋅ Oder ich muss einen alten Mac aktivieren …
| ▲ | Notizen (Ende; nicht für inhaltliche Beurteilungen beachten) |
Soll eine Funktion nun ihr eigenes Integral sein, dann gilt:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { f(x)\;\;\;≔\;\;\;f(a) + \!\!\! \sum_{ \forall k \in [a, x[_{\mathbb{S}^{-1}_{\Z}} } \!\!\! .\!\left\langle f'(k) \right\rangle } \] | (SN.AbIn.IN.19) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { f'(x)\;\;\;=\;\;\;f(x) } \] | (SN.EuIn.1) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}f(x)\;\;\;=\;\;\;f(a) + \!\!\! \sum_{ \forall k \in [a, x[_{\mathbb{S}^{-1}_{\Z}} } \!\!\! .\!\left\langle f(k) \right\rangle } \] | (SN.EuIn.2) |
Aus dem vorigen Kapitel kennen wir $ \e_{\s}^{x} $ als diejenige Funktion, die ihrer eigenen Ableitung gleich ist. Wir setzen sie als Kandidaten $ f(x) = \e_{\s}^{x} $ ein:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \e_{\s}^{x}\;\;\;=\;\;\;\left\langle 1 \right\rangle .\!\left\langle 1 \right\rangle ^{\left\langle x \right\rangle _{1}} } \] | (SN.EuZa.15) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { f(x)\;\;\;=\;\;\;\e_{\s}^{x} } \] | (SN.EuIn.3) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}\e_{\s}^{x}\;\;\;=\;\;\;\e_{\s}^{a} + \!\!\! \sum_{ \forall k \in [a, x[_{\mathbb{S}^{-1}_{\Z}} } \!\!\! .\!\left\langle \e_{\s}^{k} \right\rangle } \] | (SN.EuIn.4) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\e_{\s}^{x}\;\;\;=\;\;\;\e_{\s}^{a} + \!\!\! \sum_{ \forall k \in [a, x[_{\mathbb{S}^{-1}_{\Z}} } \!\!\! \frac{ \e_{\s}^{k} }{ \s } } \] | (SN.EuIn.5) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { f(x)\;\;\;=\;\;\;\left( 1 + \frac{ 1 }{ \s } \right)^{x \s}\;\;\;=\;\;\;\left\langle 1 \right\rangle .\!\left\langle 1 \right\rangle ^{\left\langle x \right\rangle _{1}} } \] | (SN.EuIn.6) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}\left( 1 + \frac{ 1 }{ \s } \right)^{x \s}\;\;\;=\;\;\;\left( 1 + \frac{ 1 }{ \s } \right)^{a \s} + \!\!\! \sum_{ \forall k \in [a, x[_{\mathbb{S}^{-1}_{\Z}} } \!\!\! .\!\left\langle \left( 1 + \frac{ 1 }{ \s } \right)^{k \s} \right\rangle } \] | (SN.EuIn.7) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\left( 1 + \frac{ 1 }{ \s } \right)^{x \s}\;\;\;=\;\;\;\\ \qquad\qquad\qquad\quad\;\; \left( 1 + \frac{ 1 }{ \s } \right)^{a \s} + \!\!\! \sum_{ \forall k \in [a, x[_{\mathbb{S}^{-1}_{\Z}} } \!\!\! \left( \left( 1 + \frac{ 1 }{ \s } \right)^{k \s} \cdot \frac{ 1 }{ \s } \right) } \] | (SN.EuIn.8) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\left( 1 + \frac{ 1 }{ \s } \right)^{x \s}\;\;\;=\;\;\;\left( 1 + \frac{ 1 }{ \s } \right)^{a \s} + \!\!\! \sum_{ \forall k \in [a, x[_{\mathbb{S}^{-1}_{\Z}} } \!\!\! \frac{ \left( 1 + \frac{ 1 }{ \s } \right)^{k \s} }{ \s } } \] | (SN.EuIn.9) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\left\langle 1 \right\rangle .\!\left\langle 1 \right\rangle ^{\left\langle x \right\rangle _{1}}\;\;\;=\;\;\;\left\langle 1 \right\rangle .\!\left\langle 1 \right\rangle ^{\left\langle a \right\rangle _{1}} + \!\!\! \sum_{ \forall k \in [a, x[_{\mathbb{S}^{-1}_{\Z}} } \!\!\! .\!\left\langle \left\langle 1 \right\rangle .\!\left\langle 1 \right\rangle ^{\left\langle k \right\rangle _{1}} \right\rangle } \] | (SN.EuIn.10) |
Schauen wir uns dies doch einmal im ganz weit rein gezoomten Exponenten an. So, wie wir oben gesehen haben, dass die $ \e $-Funktion bei aktual unendlich kleinem Exponenten ein Pascalsches Dreieck bildet beziehungsweise superialen Binomialkoeffizienten entspringt:
Nun können wir Beispielhaft überprüfen, ob dies stimmt. Dazu fangen wir einfach mit den ersten natürlichen Zahlen in $ n \in \mathbb{N} $ an:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { n\;\;\;=\;\;\;0 } \] | (SN.EuIn.16) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}\left\langle 1 \right\rangle .\!\left\langle 1 \right\rangle ^{0}\;\;\;=\;\;\;1 + \!\!\! \sum_{ \forall k \in [0, 0[_{\mathbb{N}} } \!\!\! .\!\left\langle \left\langle 1 \right\rangle .\!\left\langle 1 \right\rangle ^{ k} \right\rangle } \] | (SN.EuIn.17) | ||
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| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}1\;\;\;=\;\;\;1 + 0 } \] | (SN.EuIn.18) | ||
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| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}1\;\;\;=\;\;\;1 } \] | (SN.EuIn.19) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { n\;\;\;=\;\;\;1 } \] | (SN.EuIn.20) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}\left\langle 1 \right\rangle .\!\left\langle 1 \right\rangle ^{1}\;\;\;=\;\;\;1 + \!\!\! \sum_{ \forall k \in [0, 1[_{\mathbb{N}} } \!\!\! .\!\left\langle \left\langle 1 \right\rangle .\!\left\langle 1 \right\rangle ^{ k} \right\rangle } \] | (SN.EuIn.21) | ||
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| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\left\langle 1 \right\rangle .\!\left\langle 1 \right\rangle \;\;\;=\;\;\;1 \, + \, .\!\left\langle \left\langle 1 \right\rangle .\!\left\langle 1 \right\rangle ^{ 0} \right\rangle } \] | (SN.EuIn.22) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\left\langle 1 \right\rangle .\!\left\langle 1 \right\rangle \;\;\;=\;\;\;1 \, + \, .\!\left\langle 1 \right\rangle } \] | (SN.EuIn.23) | ||
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| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\left\langle 1 \right\rangle .\!\left\langle 1 \right\rangle \;\;\;=\;\;\;\left\langle 1 \right\rangle\!.\!\left\langle 1 \right\rangle } \] | (SN.EuIn.24) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { n\;\;\;=\;\;\;2 } \] | (SN.EuIn.25) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}\left\langle 1 \right\rangle .\!\left\langle 1 \right\rangle ^{2}\;\;\;=\;\;\;1 + \!\!\! \sum_{ \forall k \in [0, 2[_{\mathbb{N}} } \!\!\! .\!\left\langle \left\langle 1 \right\rangle .\!\left\langle 1 \right\rangle ^{ k} \right\rangle } \] | (SN.EuIn.26) | ||
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| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\left\langle 1 \right\rangle .\!\left\langle 2 \right\rangle \left\langle 1 \right\rangle \;\;\;=\;\;\;1 \, + \, .\!\left\langle \left\langle 1 \right\rangle .\!\left\langle 1 \right\rangle ^{ 0} \right\rangle \, + \, .\!\left\langle \left\langle 1 \right\rangle .\!\left\langle 1 \right\rangle ^{ 1} \right\rangle } \] | (SN.EuIn.27) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\left\langle 1 \right\rangle .\!\left\langle 2 \right\rangle \left\langle 1 \right\rangle \;\;\;=\;\;\;1 \, + \, .\!\left\langle 1 \right\rangle \, + \, .\!\left\langle \left\langle 1 \right\rangle .\!\left\langle 1 \right\rangle \right\rangle } \] | (SN.EuIn.28) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\left\langle 1 \right\rangle .\!\left\langle 2 \right\rangle \left\langle 1 \right\rangle \;\;\;=\;\;\;\left\langle 1 \right\rangle\!.\!\left\langle 1 \right\rangle \, + \, .\!\left\langle 1 \right\rangle \left\langle 1 \right\rangle } \] | (SN.EuIn.29) | ||
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| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\left\langle 1 \right\rangle .\!\left\langle 2 \right\rangle \left\langle 1 \right\rangle \;\;\;=\;\;\;\left\langle 1 \right\rangle\!.\!\left\langle 2 \right\rangle \left\langle 1 \right\rangle } \] | (SN.EuIn.30) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { n\;\;\;=\;\;\;3 } \] | (SN.EuIn.31) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}\left\langle 1 \right\rangle .\!\left\langle 1 \right\rangle ^{3}\;\;\;=\;\;\;1 + \!\!\! \sum_{ \forall k \in [0, 3[_{\mathbb{N}} } \!\!\! .\!\left\langle \left\langle 1 \right\rangle .\!\left\langle 1 \right\rangle ^{ k} \right\rangle } \] | (SN.EuIn.32) | ||
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| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\left\langle 1 \right\rangle .\!\left\langle 1 \right\rangle ^{3}\;\;\;=\;\;\;1 \, + \, .\!\left\langle \left\langle 1 \right\rangle .\!\left\langle 1 \right\rangle ^{ 0} \right\rangle \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\quad\;\;\, + \, .\!\left\langle \left\langle 1 \right\rangle .\!\left\langle 1 \right\rangle ^{ 1} \right\rangle \, + \, .\!\left\langle \left\langle 1 \right\rangle .\!\left\langle 1 \right\rangle ^{ 2} \right\rangle } \] | (SN.EuIn.33) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\left\langle 1 \right\rangle .\!\left\langle 3 \right\rangle \left\langle 3 \right\rangle \left\langle 1 \right\rangle \;\;\;=\;\;\;1 \, + \, .\!\left\langle 2 \right\rangle \left\langle 1 \right\rangle \, + \, .\!\left\langle \left\langle 1 \right\rangle .\!\left\langle 2 \right\rangle \left\langle 1 \right\rangle \right\rangle } \] | (SN.EuIn.34) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\left\langle 1 \right\rangle .\!\left\langle 3 \right\rangle \left\langle 3 \right\rangle \left\langle 1 \right\rangle \;\;\;=\;\;\;\left\langle 1 \right\rangle\!.\!\left\langle 2 \right\rangle \left\langle 1 \right\rangle \, + \, . \left\langle 1 \right\rangle \left\langle 2 \right\rangle \left\langle 1 \right\rangle } \] | (SN.EuIn.35) | ||
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\left\langle 1 \right\rangle .\!\left\langle 3 \right\rangle \left\langle 3 \right\rangle \left\langle 1 \right\rangle \;\;\;=\;\;\;\left\langle 1 \right\rangle\!.\!\left\langle 3 \right\rangle \left\langle 3 \right\rangle \left\langle 1 \right\rangle } \] | (SN.EuIn.36) | ||
Die Summe des Integrals erzeugt genau das Ergebnis, welches wir für die $ \e_{\s} $-Funktion aus dem Abschnitt ›Die e-Funktion und das Pascalsche Dreieck‹ bereits kennen. Den allgemeinen Beweis führen wir im folgenden Abschnitt.
Allgemeiner Beweis
Zu zeigen ist für beliebiges $ x $, dass $ \e_{\s}^{x} $ die Integralbedingung erfüllt.
Wir setzen $ a = 0 $ und nutzen die Definition aus Formel
SN.EuZa.19:
Wir setzen $ k = j \cdot \s^{-1} $, sodass $ j $ von $ 0 $ bis $ x \cdot \s - 1 $ läuft. Wegen $ \e_{\s}^{x} = \left( 1 + \s^{-1} \right)^{x \cdot \s} $ gilt $ \e_{\s}^{j \cdot \s^{-1}} = \left( 1 + \s^{-1} \right)^{j \cdot \s^{-1} \cdot \s} = \left( 1 + \s^{-1} \right)^{j} $:
Die geometrische Reihe werten wir durch Teleskopsumme11 aus:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( r - 1 \right) \cdot \sum_{ j = 0 }^{ n-1 } r^{j}\;\;\;=\;\;\;r \cdot \sum_{ j = 0 }^{ n-1 } r^{j} - \sum_{ j = 0 }^{ n-1 } r^{j} } \] | (SN.EuIn.39) | ||
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| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\left( r - 1 \right) \cdot \sum_{ j = 0 }^{ n-1 } r^{j}\;\;\;=\;\;\;\sum_{ j = 0 }^{ n-1 } r^{j+1} - \sum_{ j = 0 }^{ n-1 } r^{j} } \] | (SN.EuIn.40) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\left( r - 1 \right) \cdot \sum_{ j = 0 }^{ n-1 } r^{j}\;\;\;=\;\;\;\sum_{ j = 1 }^{ n } r^{j} - \sum_{ j = 0 }^{ n-1 } r^{j} } \] | (SN.EuIn.41) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\left( r - 1 \right) \cdot \sum_{ j = 0 }^{ n-1 } r^{j}\;\;\;=\;\;\;\left( r^{1} + r^{2} + \cdots + r^{n} \right) \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\; - \left( r^{0} + r^{1} + \cdots + r^{n-1} \right) } \] | (SN.EuIn.42) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\left( r - 1 \right) \cdot \sum_{ j = 0 }^{ n-1 } r^{j}\;\;\;=\;\;\;r^{n} - r^{0} } \] | (SN.EuIn.43) | ||
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| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\left( r - 1 \right) \cdot \sum_{ j = 0 }^{ n-1 } r^{j}\;\;\;=\;\;\;r^{n} - 1 } \] | (SN.EuIn.44) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\sum_{ j = 0 }^{ n-1 } r^{j}\;\;\;=\;\;\;\frac{ r^{n} - 1 }{ r - 1 } \;\;. } \] | (SN.EuIn.45) | ||
Mit $ r = 1 + \s^{-1} $, $ n = x \cdot \s $ und $ r - 1 = \s^{-1} $:
Eingesetzt in die Integralbedingung:
Damit ist gezeigt, dass die $ \e_{\s} $-Funktion ihr eigenes Integral ist.
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Die Transzendenz der eulerschen Zahl $ \e $ |
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Transzendenz von $ \e $
• Was zur Transzendenz von $ \e $ im Text sagen.
• Mit welchen Rechenoperationen kann man die Zahl $ \e $ zu Null machen? Mit diesem Thema beschäftigt sich die Algebra, wie wir auch einem Video von Numberphile entnehmen können: Transcendental Numbers - Numberphile
– Mit unserer Definition von $ \e $ als $ \e_{\s}^{x} = \left( 1 + \frac{ 1 }{ \s } \right)^{x \cdot \s} $ in Formel SN.EuZa.19 erhalten wir für $ \e_{\s} $ den Ausdruck $ \e_{\s} = \left( 1 + \frac{ 1 }{ \s } \right)^{\s} $. Über diesen sehen wir leicht, wie wir $ \e $ zu Null machen können. Laut Video soll so etwas bisher nicht bekannt sein.
⋅ Allerdings bleibt es dabei, dass $ \e $ transzendent ist, weil es nicht durch algebraische Operationen zu Null gemacht werden kann, ohne aktual unendliche Symbole zu nutzen, und weil es nicht einmal zu den Superial-Zahlen erster Ordnung gehört, wegen seiner Summanden bis herunter zu $ \s^{-\s} $, siehe Formel SN.EuZa.81. Dies vielleicht auf der Seite Eigenschaften zeigen.
| ▲ | Notizen (Ende; nicht für inhaltliche Beurteilungen beachten) |
Eine zentrale Frage der Mathematik ist, ob eine Zahl algebraisch oder transzendent ist.
Die Regel besagt, eine Zahl ist dann algebraisch, wenn sie sich durch endlich viele kombinierte mathematische Operationen der Operatoren Plus „$ + $“, Minus „$ - $“, Mal „$ \cdot $“, Geteilt „$ \div $“ und Hoch „$ ↑ $“, ausschließlich mit Hilfe von endlichen ganzen Zahlen auf der rechten Seite, zu Null machen lässt.
Mit der eulerschen Zahl $ \e $ geht dies nicht, wie wir gleich sehen werden, und daher ist sie transzendent.
$ \e_{\s} $ ist transzendent
Formulieren wir die eulersche Zahl, wie oben gezeigt, als $ \e_{\s} $, dann ist ihre Transzendenz recht einfach zu zeigen.
Sei der Wert der eulerschen Zahl nach der mit Hilfe der Superial-Zahlen gewonnenen Definition aus Formel SN.EuZa.19
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \e_{\s}^{x}\;\;\;=\;\;\;\left( 1 + \frac{ 1 }{ \s } \right)^{x \cdot \s} } \] | (SN.EuZa.19) | ||
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| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\e_{\s}^{1}\;\;\;=\;\;\;\left( 1 + \frac{ 1 }{ \s } \right)^{1 \cdot \s} } \] | (SN.EuTr.1) | ||
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| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\e_{\s}\;\;\;=\;\;\;\left( 1 + \frac{ 1 }{ \s } \right)^{\s} \;\;, } \] | (SN.EuTr.2) | ||
so können wir diesen nach den Regeln offensichtlich nur zu Null machen, wenn wir die $ \s $-te Wurzel ziehen, was nicht erlaubt ist. Denn die $ \s $-te Wurzel bedeutet $ \e_{\s} $ hoch $ \frac{ 1 }{ \s } $ nehmen
mit einer gebrochenen Zahl im Exponenten, die auch noch unendlich klein ist. Was wir zeigen wollten.
Die eulersche Zahl $ \e_{\s} $ ist transzendent, weil sie nicht mit den Regeln für algebraische Zahlen auf Null reduziert werden kann.
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Die Quadratur des Kreises – von der eulerschen Zahl e zur Kreiszahl π |
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Die Quadratur des Kreises – von der eulerschen Zahl $ \e $ zur Kreiszahl $ π $ |
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Wo $ π $ noch vorkommt
• $ π $ ergibt sich über Integration aus dem Pascalschen Dreieck sehr ähnlich wie die Berechnung von $ \e^{\i \cdot π \cdot x} $ im Zusammenhang mit Sinus und Cosinus: Siehe Manon Bischoff – Sir Isaac Newton fand Pi im pascalschen Dreieck.
| ▲ | Notizen (Ende; nicht für inhaltliche Beurteilungen beachten) |
Wir haben $ \e_{\s}^{x} $ bisher für reelle Exponenten betrachtet. Was ergibt sich für rein imaginäre Exponenten $ \i \cdot x $? Die Antwort führt uns – ganz wie in der klassischen Analysis – zur Eulerschen Formel und von dort zu den Funktionen $ \mathrm{cos}_{\s} $ und $ \mathrm{sin}_{\s} $ sowie zur Kreiszahl $ π $:
Die Eulersche Formel ordnet jedem reellen $ x $ eine komplexe Zahl auf dem superialen Einheitskreis zu – $ \mathrm{cos}_{\s}(x) $ als Realteil, $ \mathrm{sin}_{\s}(x) $ als Imaginärteil. Für einen einzelnen infinitesimalen Rotationsschritt gilt eine besonders einfache Form:
Um den Ausdruck $ \left( 1 + \s^{-1} \right)^{\i \cdot x} $ auszuwerten, wenden wir den verallgemeinerten binomischen Satz an, der die klassische Binomialentwicklung auf beliebige komplexe Exponenten $ \alpha $ ausdehnt:
Wir wenden den Satz an mit $ x = 1 $, $ y = \s^{-1} $ und dem imaginären Exponenten $ \alpha = \i \cdot x $:
Der verallgemeinerte Binomialkoeffizient enthält im Zähler das Produkt $ \prod_{ j = 0 }^{ k-1 } \left( \alpha - j \right) $. Für $ \alpha = \i \cdot x $ berechnen wir dieses Produkt für die ersten Werte von $ k $:
Für imaginäre Exponenten $ n \cdot \i $ terminiert die Reihe nicht: Die verallgemeinerten Binomialkoeffizienten $ \binom{n\i}{k} $ sind komplex. Der allgemeine Koeffizient für $ k = 2 $ lautet $ \binom{n\i}{2} = \frac{n\i \cdot (n\i-1)}{2} = -\frac{n(n+\i)}{2} $:
Die vollständige Darstellung von $ \e_{\s}^{\i \cdot x} $ als Stellenwertzahl ergibt sich aus der Anwendung der Binomialentwicklung auf $ \left( 1 + \s^{-1} \right)^{\i \cdot x \cdot \s} $. Der erste Stellenwert enthält die klassische Taylorreihe, die weiteren tragen die aktual-infinitesimalen superialen Korrekturen:
Der erste Stellenwert von $ \e_{\s}^{\i \cdot x} $ ist die klassische Taylorreihe $ \sum_{k \in \mathbb{N}} \frac{ \left( \i \cdot x \right)^{k} }{ k! } = \cos(x) + \i \sin(x) $. Die weiteren Stellenwerte tragen die aktual-infinitesimalen Korrekturen, die in der klassischen Analysis durch den Limes unsichtbar werden. Für $ x = π_{\s} $ ergibt sich die Eulersche Identität — und damit der Zusammenhang mit der Kreiszahl:
Zusammenhang mit $ π_{\s} $
Die superiale Kreiszahl $ π_{\s} $ ist der halbe Umfang des superialen Einheitskreises – die Bogenlänge vom Punkt $ 1 $ zum Punkt $ -1 $.
Ansatz 1: Bogensumme. Der Halbkreis wird in $ \s $ gleichlange Schritte unterteilt, deren Koordinaten aufgrund der Theorie der Kreisteilungspolynome12 alle reell algebraische Zahlen sind. Die Kreispunkte $ \e_{\s}^{\i \cdot k \cdot π_{\s} \cdot \s^{-1}} $ (für $ k = 0, 1, \ldots, \s $) liegen auf dem Einheitskreis. Da $ \left| \e_{\s}^{\i \cdot \varphi} \right| = 1 $ für alle reellen $ \varphi $, haben alle Abstände aufeinanderfolgender Punkte dieselbe Länge:
Die Summe dieser $ \s $ Abstände ergibt die Bogenlänge des Halbkreises:
Beide Seiten enthalten $ π_{\s} $ – die Gleichung ist implizit. Eine explizite Berechnung folgt über Ansatz 2.
Variante: Bogensumme mit superialen Einheitsschritten. Statt $ \s $ gleichlanger Schritte können $ \s \cdot π_{\s} $ Schritte der kleinstmöglichen Schrittweite $ \s^{-1} $ im Exponenten gewählt werden – dieselben Schrittweiten wie im imaginären Pascal-Dreieck:
Jeder superiale Einheitsschritt im imaginären Exponenten entspricht einer Kreissehne der Länge $ \s^{-1} $.
Ansatz 2: Superiale Eulersche Identität. Alternativ bestimmt sich $ π_{\s} $ als der reelle Wert, für den gilt:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \e_{\s}^{ \i \cdot π_{\s} }\;\;\;=\;\;\;-1 } \] | (SN.EuZa.QK.43) |
Der erste Stellenwert von $ \e_{\s}^{\i \cdot π_{\s}} $ ist $ \e^{\i \cdot π} $ – er liefert die klassische Näherung $ π_{\s} \approx π $. Die weiteren Stellenwerte tragen die aktual-infinitesimalen Korrekturen und geben $ π_{\s} $ seinen genauen superialen Wert.
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Fußnoten |
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| 1. | ↑ |
Vgl. Euler, Einleitung in die Analysis des Unendlichen. Vgl. Hilbert, »Ueber die Transcendenz der Zahlen e und π« (Beweis der Transzendenz von $ \e $). Sekundärliteratur: Vgl. Bischoff, Wie wurde die eulersche Zahl entdeckt?. Internet: Vgl. Wikipedia, Eulersche Zahl. |
| 2. | ↑ |
Vgl. Euler, Einleitung in die Analysis des Unendlichen (Grundlegung der Exponentialfunktion und der Eulerschen Zahl $ \e $; Limes-Definition $ \e = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} $). Internet: Vgl. Wikipedia, Exponentialfunktion. |
| 3. | ↑ |
Vgl. Euler, Einleitung in die Analysis des Unendlichen (Grundlegung der Exponentialfunktion und der Eulerschen Zahl $ \e $; Limes-Definition $ \e = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} $). Internet: Vgl. Wikipedia, Exponentialfunktion. |
| 4. | ↑ |
Vgl. Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen?, § 6. Der Satz der vollständigen Induktion, Satz 80, S. 25–27. Internet: Vgl. Wikipedia, Vollständige Induktion, Das Axiom der vollständigen Induktion. Vgl. Wikipedia, Unendlichkeitsaxiom, Formulierung; Bedeutung für die Mathematik, Natürliche Zahlen. |
| 5. | ↑ |
Vgl. Pascal, Traité du triangle arithmétique (Pascalsches Dreieck und Rekursionsregel der Binomialkoeffizienten). Internet: Vgl. Wikipedia, Binomialkoeffizient. |
| 6. | ↑ |
Vgl. Pascal, Traité du triangle arithmétique (Pascalsches Dreieck und Rekursionsregel der Binomialkoeffizienten). Internet: Vgl. Wikipedia, Binomialkoeffizient. |
| 7. | ↑ |
Vgl. Pascal, Traité du triangle arithmétique (Pascalsches Dreieck und Rekursionsregel der Binomialkoeffizienten). Internet: Vgl. Wikipedia, Binomialkoeffizient. |
| 8. | ↑ |
Vgl. Gauss, Untersuchungen über höhere Arithmetik. Internet: Vgl. Wikipedia, Gaußsche Summenformel. |
| 9. | ↑ |
Vgl. Euler, Einleitung in die Analysis des Unendlichen (Summation von Potenzen natürlicher Zahlen; enthält die Formel für die Summe der ersten $ n $ Quadratzahlen). Internet: Vgl. Wikipedia, Quadratische Pyramidalzahl. Vgl. Wikipedia, Gaußsche Summenformel, Verwandte Summen. |
| 10. | ↑ |
Vgl. Taylor, Methodus incrementorum (Grundlegung der nach Taylor benannten Reihenentwicklung von Funktionen als Potenzreihe). Vgl. Cauchy, Algebraische Analysis (erste rigorose Konvergenztheorie der Taylorreihe). Internet: Vgl. Wikipedia, Taylorreihe. |
| 11. | ↑ |
Vgl. Euler, Einleitung in die Analysis des Unendlichen (systematische Verwendung von Teleskopsummen zur Auswertung von Reihen). Internet: Vgl. Wikipedia, Teleskopsumme. |
| 12. | ↑ |
Vgl. Gauss, Untersuchungen über höhere Arithmetik, Siebenter Abschnitt (De aequationibus circuli), S. 397–448 (Kreisteilungspolynome und ihre Irreduzibilität). Internet: Vgl. Wikipedia, Kreisteilungspolynom. |
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Stand 04. Juli 2026, 19:00 CET.
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