| ← |
Ableitungen und Integrale
Aktuale Unendlichkeit ersetzt den Limes oder das Differential
Der Ausgangspunkt zur Entdeckung und Erforschung der Superial-Zahlen war, wie in der Einleitung schon beschrieben, mein Bedürfnis, mehr Klarheit davon zu bekommen, was Ableitungen1 und Integrale2 eigentlich sind. Ich wollte genauer Verstehen und explizit ausdrücken können, was implizit vor sich geht, wenn wir eine Funktion ableiten oder integrieren.
So entdeckte ich die Superial-Zahlen und mit ihnen eine Möglichkeit, bei der ihre normierte aktuale Unendlichkeit in der Entwicklung der Definition der Ableitung und der Integration den Limes3 oder das Differential4 ersetzt. Auf diese Weise können wir, anstatt den Limes-Operator oder den Differential-Operator zu benutzen, einfach wie gewohnt mit Zahlen rechnen.
Es geht also um Transparenz und Genauigkeit oder Detail, denen wir an dieser Stelle den Vorzug gegenüber der Kürze und der alten Gewohnheit von (kurzen) Schreibweisen geben werden. Wir wollen zunächst entdecken, ergründen und verstehen und eben nicht gleich verkürzen.
Der Mehrwert
Dieses Vorgehen hat den Vorteil, dass wir immer sehr genau sehen, was wir tun:
Die Frage nach der Funktion, die abgeleitet oder integriert sie selbst ergibt, die wir später stellen, eröffnet uns gleich ein neues Zahlenuniversum, dass sich an die Superial-Zahlen anlehnt, sie aber noch erweitert, also über sie hinausgeht, und uns die transzendente Zahl $ \e $ besser und detailliert verstehen lässt.
Darüber bekommen wir eine Idee, dass auch andere transzendente Zahlen diese Struktur haben könnten. Bei der Kreiszahl $ π $ liegt dies wegen ihres engen Zusammenhangs mit $ \e $ wirklich sehr nahe. Aber wir vermuten dies ganz allgemein, weil es beim Unterschied zwischen reell algebraischen5 und transzendenten Zahlen6 offenbar genau um die Grenze zwischen den Fraktalebenen der Superial-Zahlen geht; den Stellen des Stellenwertsystems der Superial-Zahlen.
ZFC-konforme Definition
Eine ZFC-konforme Definition der Eigenschaften unseres unendlichen Produkts der superialen Basis $ \s $ über $ p $-adische Bewertungen findet sich auf der Seite ›Die ZFC-Modellkonstruktion der Superial-Zahlen‹.
| → |
Die Ableitung |
 |
| ← |
Bei der Ableitung spielt ein Bruch die zentrale Rolle, bei dem sowohl Zähler als auch Nenner Differenzen sind, die, aus heute üblicher Perspektive, bei höherer Genauigkeit immer kleiner werden und im Positiven gegen Null streben.
Dies kann klassischer Weise durch einen Limes ausgedrückt werden:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { f'(x)\;\;\;=\;\;\;\lim\limits_{\Delta x \rightarrow +0}{ \frac{ f(x + \Delta x) - f(x) }{ \Delta x } } } \] | (SN.AbIn.1) |
Da sowohl Zähler als auch Nenner in der gleichen Größenordnung gegen Null streben, sorgt der Bruch dafür, dass unser Ergebnis im Endlichen verbleibt.
Mit Hilfe der aktual unendlichen Superial-Zahlen kommen wir in die Lage, das gegen Null strebende $ \Delta x $ durch eine normierte unendlich kleine Zahl $ 1 \s^{-1} = \; .\!\langle 1\rangle $ ersetzen zu können:
Die letzte Formel ist in der Stellenwertsystem-Schreibweise der Superial-Zahlen ausgedrückt.
Durch das Einsetzen einer normierten Unendlichkeit erkennen wir jetzt, dass das $ \Delta x $ gar nicht vom Wert von $ x $ abhängt, wie es schien, sondern das $ x $ in $ \Delta x $ kennzeichnet „nur“, dass nach $ x $ abgeleitet wird. In der superialen Ableitung sehen wir wonach abgeleitet wird daran, dass $ x $ unsere infinitesimale Einheit $ .\!\langle 1\rangle $ drauf summiert bekommt.
Vergleichen wir dies mit der in der Mathematik üblichen und entsprechenden kürzeren Differential-Schreibweise
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { f'(x)\;\;\;\widehat{=}\;\;\;\frac{ \mathrm{d} f(x) }{ \mathrm{d} x } \;\;, } \] | (SN.AbIn.5) |
dann sehen wir, dass einiges an struktureller Information verborgen bleibt, wenn wir nicht genau schauen, was hinter der Formulierung steckt. So glauben wir eben leicht, wie gesagt, der Nenner hätte etwas mit $ x $ zu tun, was von der zugrunde liegenden Rechnung her durch das Einsetzen einer normierten aktualen Unendlichkeit nicht der Fall ist; es in Wahrheit also wenigstens nicht sein muss.
Denn in aktualer Unendlichkeit ausgedrückt entspricht:
Die Division durch $ 1 \s^{-1} = \; .\!\langle 1\rangle $ holt uns schlicht die Differenz im Zähler aus dem unendlich Kleinen wieder ins Endliche. Und das können wir auch durch den entsprechenden unendlich großen Einheitsfaktor $ 1 \s = \langle 1\rangle _1 $ erreichen:
Die Definition der Ableitung muss folglich nicht zwingend als Division formuliert werden.
Durch die detaillierte Betrachtung mit aktual unendlichen Zahlen erschließt sich ein genaueres Verständnis.
Beispiele für Ableitungen
Um besser zu verstehen, was genau vor sich geht, wollen wir uns zwei Beispiele betrachten:
Für die Funktion $ f(x) = x^{2} $ ergibt sich:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}f'(x)\;\;\;=\;\;\;\frac{ \left( x + \s^{-1} \right)^{2} - x^{2} }{ \s^{-1} } } \] | (SN.AbIn.10) | ||
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}f'(x)\;\;\;=\;\;\;\frac{ \left( x^{2} + 2 x \cdot \s^{-1} + \s^{-2} \right) - x^{2} }{ \s^{-1} } } \] | (SN.AbIn.11) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}f'(x)\;\;\;=\;\;\;\frac{ 2 x \cdot \s^{-1} + \s^{-2} }{ \s^{-1} } } \] | (SN.AbIn.12) | ||
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}f'(x)\;\;\;=\;\;\;2 x + \s^{-1} } \] | (SN.AbIn.13) | ||
Wenn wir also $ \s^{-1} $ zu Null setzen, dann kommt das übliche Ergebnis $ f'(x) = 2 x $ heraus.
Für $ f(x) = x^{3} $ ergibt sich:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}f'(x)\;\;\;=\;\;\;\frac{ \left( x + \s^{-1} \right)^{3} - x^{3} }{ \s^{-1} } } \] | (SN.AbIn.14) | ||
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}f'(x)\;\;\;=\;\;\;\frac{ \left( x^{3} + 3 x^{2} \cdot \s^{-1} + 3 x \cdot \s^{-2} + \s^{-3} \right) - x^{3} }{ \s^{-1} } } \] | (SN.AbIn.15) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}f'(x)\;\;\;=\;\;\;\frac{ 3 x^{2} \cdot \s^{-1} + 3 x \cdot \s^{-2} + \s^{-3} }{ \s^{-1} } } \] | (SN.AbIn.16) | ||
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}f'(x)\;\;\;=\;\;\;3 x^{2} + 3 x \cdot \s^{-1} + \s^{-2} } \] | (SN.AbIn.17) | ||
Wenn wir also $ \s^{-1} $ zu Null setzen, dann kommt das übliche Ergebnis $ f'(x) = 3 x^{2} $ heraus.
Wir können hieran erkennen, dass die Vorgehensweise mit dem Limes Details der Vorgänge verbirgt.
Welche Funktion ist nach dieser Definition ihre eigene Ableitung?
Wir können tatsächlich recht einfach erkennen, welche Funktion ihrer eigenen Ableitung gleich ist. Die Superial-Zahlen führen uns hier zu einer erstaunlichen Entdeckung, auch in Bezug auf transzendente Zahlen.
Kommen wir nun im nächsten Abschnitt aber zur Umkehrung der Ableitung, der Integration.
| → |
| |
Die Integration |
|
| ← |
Die Integration spielt für die tiefere mathematische Erkenntnis durch die Superial-Zahlen, für das Verständnis, welche Eigenschaften die superiale Basis $ \s $ haben muss – wie sie strukturiert ist –, eine wichtige Rolle.
Der Grund dafür liegt darin, dass die Integration eine Summe über unendlich viele Summanden darstellt. Im Rahmen der Superial-Zahlen ist die Ableitung mit Formel SN.AbIn.4 durch unsere aktual unendliche superiale Basis $ \s $ in Form von $ \s^{-1} $ wohldefiniert. Da die Integration die Ableitung per Definition umkehrt, müssen dadurch auch die aktual unendlich kleinen Schritte ihrer Summe darauf basierend wohldefiniert, also auf eine Weise ganzzahlig zählbar sein.
Da $ \s^{-1} $ als eine aktual unendlich kleine Einheit, als normiertes Infinitesimal, verstanden wird, findet die Summation in diesen normierten einheitlich winzigen Schritten statt. Die Schritte der Summe werden also in Infinitesimal gezählt, was uns zum Zählen und so zu einem Verständnis von ganzen Zahlen innerhalb der Superial-Zahlen führt. Durch das Zählen von der Null an dann selbstverständlich auch zu natürlichen Zahlen innerhalb der Superial-Zahlen.
Hier erkennen wir, dass die Superial-Zahlen einen tiefen Bezug zur Zahlentheorie haben.
Ganze und natürliche Superial-Zahlen
Die Art von ganzen oder natürlichen Zahlen, mit denen wir es in diesem Fall zu tun haben, sind aktual unendlich kleine ganze oder natürliche Superial-Zahlen, wie folgt.
Seien die infinitesimalen natürlichen Superial-Zahlen die, die sich dadurch auszeichnen, dass sie von Null bis
zu einer endlichen Zahl $ x \in \mathbb{A}_{\S} $ gehen – $ \mathbb{A}_{\S} $ als Menge der
sinnvollen Koeffizienten der Superial-Zahlen –;
auszugsweise in einer Menge aufgelistet, wobei der Beginn und das Ende exakt stimmen.
Als normalisierte infinitesimale natürliche Superial-Zahlen:
Als faktorisierte infinitesimale natürliche Superial-Zahlen, die in infinit vielen Schritten die Infinitesimale bis zu endlichen algebraischen Zahlen zählen:
Was wir erreichen wollten.
Hieran ist bemerkenswert, dass jede endliche Zahl $ x $ im Verhältnis zur unendlich kleinen Einheit $ \s^{-1} $ eine ganze Zahl sein muss. Dies drücken wir vorstehend durch die Menge $ \mathbb{S}^{-1}_{\Z} $ aus, wie wir sie in ›Skalierung der Schichten einer Teilmenge der Superial-Zahlen‹ definiert haben.
Skalieren wir diese Erkenntnis auf die fraktale Ebene der endlichen ganzen Zahlen, indem wir die unendlich kleinen gezählten Einheiten durch Multiplikation mit $ \s $ ins Endliche holen, dann erhalten wir für die natürlichen Superial-Zahlen von der Null bis ohne $ x \cdot \s $ die Menge:
Schreiben wir diese Menge auszugsweise einmal explizit hin, wobei der Beginn und das Ende exakt stimmen, erhalten wir nun:
Wir können daran also erkennen, dass dies nur dann funktioniert, wenn alle $ a \cdot x \cdot \s $, mit $ x \in \mathbb{A}_{\S} \land a \in \lbrack 0, 1 \lbrack_{\mathbb{A}_{\S}} $, oder anders ausgedrückt alle $ a \cdot \s $, mit $ x \in \mathbb{A}_{\S} \land a \in \lbrack 0, x \lbrack_{\mathbb{A}_{\S}} $, immer ganze Zahlen sind.
Daher beschäftigt sich die Theorie der Superial-Zahlen in ihrem Zentrum im Besonderen auch damit, aus welcher Menge $ \mathbb{A}_{\S} $ die Zahlen $ x $ unter diesem Aspekt sinnvollerweise kommen können, so, dass alle $ x \cdot \s $ immer aktual unendlich große ganze Zahlen sind; also mit den aus dieser Perspektive sinnvollen Koeffizienten von $ \s $.
Dabei ist es aufgrund der Definition von $ \s $ schnell zu sehen, dass alle rationalen Koeffizienten $ q \cdot \s $, mit $ q \in \mathbb{Q} $, ganze Zahlen sind. Hingegen mussten wir erst aufwendiger beweisen, dass ebenfalls alle ganzen Wurzeln der natürlichen Zahlen im Produkt mit $ \s $, wie $ \sqrt{2} \cdot \s $, sämtlich aktual unendlich große ganze Zahlen sind, wie wir im Beweis der Überrationalitätsvermutung sehen. Auf diesen Beweis aufbauend zeigen wir weiter, dass selbst alle durch Radikale7 – also durch Wurzeln und deren arithmetischen Verknüpfungen – darstellbaren reell algebraischen Zahlen8 sämtlich sinnvolle Koeffizienten von $ \s $ sind. Und schließlich ist es uns gelungen im Beweis der Algebraischen-Koeffizienten-Vermutung zu zeigen, dass sogar alle reell algebraischen Zahlen sinnvolle Koeffizienten darstellen.
Definition der Summe zur Integration auf Basis von Superial-Zahlen
Wollen wir uns der Integration im Rahmen der Superial-Zahlen nähern, dann stehen bestimmte aktual unendliche Summen und dafür wichtige Eigenschaften der Superial-Zahlen im Mittelpunkt. Dabei ist es praktisch, die Summen mit Hilfe von Intervall-Mengen zu definieren.
Zum einen ist es wichtig zu verstehen, dass ganze Superial-Zahlen $ \mathbb{S}_{\Z} $ endliche ganze sowie aktual unendlich große ganze Zahlen sind, die alle immer einen Vorgänger und Nachfolger haben. Zum anderen haben positive ganze Superial-Zahlen aber von der Null an auch genauso viele Vorgänger, wie ihr Wert groß ist. Zur Verdeutlichung hier einmal die alte Schreibweise mit angegeben:
Dies verhält sich also genau so, wie wir es von endlichen Zahlen kennen.
Dies ist aber anders, als bei anderen Zahlen, die alle Vorgänger und Nachfolger besitzen, wie die Biordinalzahlen. Bei ihnen gibt es viel mehr Vorgänger von der Null an, als der Wert einer aktual unendlich großen Biordinalzahl darstellt. Anders bei den Ordinalzahlen9. Der Wert einer aktual unendlich großen Zahl entspricht hier auch der Anzahl der Zahlen von der Null an bis zu ihr. Aber anders als bei den Biordinalzahlen und Superial-Zahlen haben bei den Ordinalzahlen nicht alle Zahlen einen Vorgänger und negative Zahlen gibt es gar nicht. Insofern sind ganze Superial-Zahlen etwas sehr besonderes.
Das dies wahr sein muss, zeigen wir im Abschnitt ›Die Ableitung ist die Umkehrung der Integration‹, den sonst könnte das Integral nicht die Umkehrung der Ableitung sein.
Summieren wir nun, wie wir es für das Integral benötigen, dann tun wir dies im Intervall einer endlichen, nicht unbedingt ganzen Zahl $ x $ jetzt in aktual unendlich kleinen Schritten der Größe $ \s^{-1} = \;.\!\left\langle 1 \right\rangle \; $:
Wie oben geschildert, funktioniert dies für alle rationalen $ x $ und für alle $ x $, die ganze Wurzel aus rationalen Zahlen sind, sowie deren Summen, Differenzen, Produkte, Brüche und Potenzen, wie auch für alle anderen reell algebraischen Zahlen10. Dann wären die einzigen $ x $, für die das innerhalb der Superial-Zahlen erster Stufe nicht funktioniert, transzendente Zahlen, auf die ich in der Superiale-Transzendenz-Vermutung eingehen möchte.
Definition des Integrals
Bei der Integration summieren wir nämlich all die unendlich vielen und superial kleinen Differenzen des Abstands $ \s^{-1} $ der Ableitung als superial kleine, feine oder schmale Streifen zu einer größeren Fläche auf. Diese Streifen müssen wir dann auf prozesshafte Weise geordnet durchzählen und dabei jeweils addieren.
Die Größe der Streifen entspricht den aktual unendlich kleinen Differenzen der Steigungsdreiecke der Ableitung $ f'(x) \cdot \s^{-1} $ oder $ .\!\langle f'(x)\rangle $ einer Funktion $ f(x) $ und hier noch einmal mit Formel SN.AbIn.3 in Stellenwertnotation gezeigt:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { f'(x)\;\;\;≔\;\;\;\frac{ f(\langle x\rangle .\!\langle 1\rangle ) - f(x) }{ .\!\langle 1\rangle } } \] | (SN.AbIn.4) | ||
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}f'(x)\;\;\;=\;\;\;\left\langle f(\langle x\rangle .\!\langle 1\rangle ) - f(x) \right\rangle _{1} } \] | (SN.AbIn.IN.8) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}f'(x)\;\;\;=\;\;\;\left\langle f(\langle x\rangle .\!\langle 1\rangle ) \right\rangle _{1} - \left\langle f(x) \right\rangle _{1} } \] | (SN.AbIn.IN.9) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\left\langle f(\langle x\rangle .\!\langle 1\rangle ) \right\rangle _{1}\;\;\;=\;\;\;f'(x) + \left\langle f(x) \right\rangle _{1} } \] | (SN.AbIn.IN.10) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\left\langle f(\langle x\rangle .\!\langle 1\rangle ) \right\rangle _{1}\;\;\;=\;\;\;\left\langle f(x) \right\rangle \left\langle f'(x) \right\rangle\!. } \] | (SN.AbIn.IN.11) | ||
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}f(\langle x\rangle .\!\langle 1\rangle )\;\;\;=\;\;\;\left\langle f(x) \right\rangle\!.\!\left\langle f'(x) \right\rangle } \] | (SN.AbIn.IN.12) | ||
Wollen wir wir eine Definition der Vollständigen Integration aufstellen, dann ist zu berücksichtigen, dass die Information über den absoluten Wert einer Funktion bei der Ableitung durch die Differenzierung verloren geht. Dies kommt weil alle einzelnen Differenzen sich immer nur relativ auf den vorhergehenden Wert der Funktion beziehen.
Integrieren wir also in einem Intervall, dann müssen wir die Differenzen, auch genannt Differenziale, auf den Wert der ursprünglichen Funktion $ f(a) $ am Intervallbeginn $ a $ aufsummieren:
Damit haben wir die vorherige Ableitung wieder rückgängig gemacht, weil wir eine schlüssige Definition der ganzen Superial-Zahlen $ \mathbb{S}_{\Z} $ beziehungsweise der superial kleinen ganzen Zahlen $ \mathbb{S}_{\Z}^{-1} $ entwickelt haben.
Im Falle, dass die Grenzen des Integrals in ihrer Größe vertauscht sind, also, wenn $ x < a $ gilt, negiert sich der Wert des Integrals.
Beispiel eines konkreten Integrals
Jetzt ein Beispiel, um anschaulich zu verstehen, was bei der Integration genau vor sich geht. Dieses finden wir in der expliziten Schreibweise mit $ \s $ auch im Abschnitt ›Konkretes Integral‹, hier nun allerdings vollständig in der neuen Stellenwertsystem-Schreibweise.
Wir nehmen das erste obige Ableitungsbeispiel $ f(x) = x^2 $ mit
dem Ableitungsergebnis $ f'(x) = \left\langle 2 x \right\rangle\!.\!\left\langle 1 \right\rangle $ und setzen dies in unsere Integralformel ein:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { f(x)\;\;\;=\;\;\;f(0) \; + \!\!\! \sum_{ \forall n \in [0, x[_{\mathbb{S}^{-1}_{\Z}} } \!\!\! .\!\left\langle \left\langle 2 x \right\rangle\!.\!\left\langle 1 \right\rangle \right\rangle } \] | (SN.AbIn.IN.17) | ||
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}f(x)\;\;\;=\;\;\;f(0) + \!\!\! \sum_{ \forall n \in [0, x[_{\mathbb{S}^{-1}_{\Z}} } \!\!\! .\!\left\langle 2 x \right\rangle \left\langle 1 \right\rangle } \] | (SN.AbIn.IN.18) | ||
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}f(x)\;\;\;=\;\;\;\left\langle f(0) \right\rangle\!.\!\left\langle 2 \cdot \!\!\!\!\!\! \sum_{ \forall n \in [0, x[_{\mathbb{S}^{-1}_{\Z}} } \!\!\!\! n \right\rangle \left\langle \sum_{ \forall n \in [0, x[_{\mathbb{S}^{-1}_{\Z}} } \!\!\!\! 1 \right\rangle } \] | (SN.AbIn.IN.19) | ||
Anschließend haben wir die innere und äußere Summe in zwei getrennte Summen umgeformt.
Die hintere Summe addiert die Eins $ x \cdot s $ mal, weil die Schrittgröße hierbei ja keine Rolle spielt, sondern nur die Schrittanzahl, und das ergibt natürlich auch $ x \cdot s $:
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}f(x)\;\;\;=\;\;\;\left\langle f(0) \right\rangle\!.\!\left\langle 2 \cdot \!\!\!\!\!\! \sum_{ \forall n \in [0, x[_{\mathbb{S}^{-1}_{\Z}} } \!\!\!\! n \right\rangle \left\langle x \s \right\rangle } \] | (SN.AbIn.IN.20) | ||
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}f(x)\;\;\;=\;\;\;\left\langle f(0) \right\rangle\!.\!\left\langle 2 \cdot \!\!\!\!\!\! \sum_{ \forall n \in [0, x[_{\mathbb{S}^{-1}_{\Z}} } \!\!\!\! n \; + \; x \right\rangle } \] | (SN.AbIn.IN.21) | ||
Die einzige noch nicht aufgelöste Summe der superial kleinen ganzen Zahlen der ersten $ x \cdot s $ Elemente dieser Menge, mit der Null, ergibt sich aus der angepassten Gaußschen Summenformel11, wie bei den Biordinalzahlen im Abschnitt ›Die Summe aller natürlichen Zahlen bis ins Aktual-Unendliche berechnen‹ nach Formel BO.Ein.NZ.14 angegeben, weil die Menge $ \mathbb{S}_{\N} $ nach Formel SN.Ei.S.V.7 zur Klasse12 $ \mathbb{K}_{\infty,g} $ der Gauß-Summen äquivalenten Klassen – so auch Mengen – gehört:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \mathbb{S}_{\N}\;\;\;\in\;\;\;\mathbb{K}_{\infty,g} } \] | (SN.Ei.S.V.7) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( \mathbb{M} \in \mathbb{K}_{\infty,g} \right) \left( \forall n \in \mathbb{M} \right) \left[\; \sum_{ \forall i \in [ 0, n [_{\mathbb{M}} } \!\!\!\! i\;\;\;=\;\;\;\frac{ n^{2} - n }{ 2 } \;\right] } \] | (BO.Ein.NZ.14) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}\left( \forall n \in \mathbb{S}_{\N} \right) \left[\; \sum_{ \forall i \in [ 0, n [_{\mathbb{S}_{\N}} } \!\!\!\! i\;\;\;=\;\;\;\frac{ n^{2} - n }{ 2 } \;\right] } \] | (SN.AbIn.IN.22) |
Diese Summe ist extra darauf angepasst, dass sie auch für aktual unendlich große Werte von $ n $, also für aktual unendlich große natürliche Zahlen, gilt.
Wir müssen nur berücksichtigen, dass die Werte der gesuchten Summe in superial kleinen Schritten daher kommen: Das bedeutet, dass wir es mit $ x \cdot s $ Elementen zu tun haben – anstatt mit $ x $ –, was in der oben stehenden Formel auf der Ergebnisseite als $ x \cdot s $ für $ n $ eingeht. Jedoch ist die Größe der einzelnen Summanden auf Ebene der ganzen Zahlen superial klein, sodass wir das Ergebnis um eine superiale Potenz $ s $ verringern müssen:
Diese Summe haben wir auch noch einmal im Einzelnen im Rahmen der Superial-Zahlen aus ihren Teilsummen im Abschnitt ›Direkte Herleitung der angepassten Gaußschen Summenformel‹ hergeleitet, um zu zeigen, und damit ganz sicher zu gehen, dass diese richtig ist.
Das ist genau das gesuchte Ergebnis, was wir sofort durch Überprüfung sehen. Dies eingesetzt in Formel SN.AbIn.IN.21 ergibt
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}f(x)\;\;\;=\;\;\;\left\langle f(0) \right\rangle\!.\!\left\langle 2 \cdot \frac{ \left\langle x^{2} \right\rangle \left\langle -x \right\rangle\!. }{ 2 } \; + \; x \right\rangle } \] | (SN.AbIn.IN.25) | ||
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}f(x)\;\;\;=\;\;\;\left\langle f(0) \right\rangle\!.\!\left\langle \left\langle x^{2} \right\rangle \left\langle -x \right\rangle\!. \; + \; x \right\rangle } \] | (SN.AbIn.IN.26) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}f(x)\;\;\;=\;\;\;f(0) \; + \; x^{2} } \] | (SN.AbIn.IN.27) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}f(x)\;\;\;=\;\;\;0^{2} \; + \; x^{2} } \] | (SN.AbIn.IN.28) | ||
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}f(x)\;\;\;=\;\;\;x^{2} } \] | (SN.AbIn.IN.29) | ||
und ist auch das erwartete Ergebnis.
Wie wir sehen, ist es tatsächlich mit den Superial-Zahlen möglich, ein Integral eines Polynoms explizit auszurechnen. Dies ist recht einfach für das Integral eines Polynoms niedrigen Grades und im Detail entsprechend aufwendiger bei Polynomen höheren Grades. Zum einen wird dabei offensichtlich, was bei der Berechnung des Integrals genau vor sich geht. Zum anderen erkennen wir den tieferen Zusammenhang der Gaußschen Summenformel mit dem Integral und können vermuten, dass dieser auch für weitere verwandte Summenformeln besteht.
Wir haben also auch unser Ziele erreicht, die „Black-Box“ beim Ableiten und besonders beim Integrieren zu erhellen.
| → |
| |
Fundamentalsatz der Analysis |
|
| ← |
Um den ersten Teil des Fundamentalsatzes der Analysis13 zu beweisen, müssen wir nach dem Zeigen der Existenz der Stammfunktion, siehe ›Definition des Integrals‹ oben, zeigen, dass die Ableitung der stetigen Stammfunktion einer stetigen Ausgangsfunktion – ihres bestimmten Integrals – wieder die Ausgangsfunktion ergibt.
Die Ableitung ist die Umkehrung der Integration
Fundamentalsatz der Analysis (HDI, FTC) – erster Teil
Schauen wir uns an, ob wir das bestimmte Integral einer allgemeinen stetigen Ausgangsfunktion mit seiner Ableitung wieder zur Ausgangsfunktion zurückführen können. Dies entspricht dem ersten Teil des Fundamentalsatzes der Analysis.
An einem konkreten einfachen Beispiel haben wir dies schon gezeigt. Nun zeigen wir, dass dies ganz allgemein funktioniert.
Wir setzen also das Integral für die allgemeine Funktion $ f(x) $ in die Ableitung ein:
Wir sehen also, dass die Ableitung eines Integrals einer allgemeinen stetigen Funktion deren Integration umkehrt, also generell Rückgängig macht, was wir zeigen wollten.
Wir können den ersten Teil des Fundamentalsatzes der Analysis mit den Superial-Zahlen offensichtlich durch verhältnismäßig simples Rechnen geschlossen beweisen, selbst ohne den Mittelwertsatz der Integralrechnung14 zu benutzen. Dies kommt, weil wir die Infinitesimale in und um die Summen herum sowie die infinitesimalen Intervalle der Summen ganz genau überblicken und präzise im Griff haben.
So demonstrieren wir die Anschaulichkeit und den Nutzen der Superial-Zahlen.
Die Integration als Umkehrung der Ableitung
Ist nun auch das Integral einer Ableitung ihre Umkehrung?
Dies scheint sonnenklar und banal, weil wir das Integral in Formel SN.AbIn.IN.16 genau auf dieser Grundlage aus Formel SN.AbIn.IN.12 konstruiert haben. Unsere Frage ist also ohne große Umschweife zu bejahen.
Was wir zusätzlich zeigen können ist die Durchlässigkeit der Ableitungsdifferenz, indem wir auch nach Aufspaltung der Differenz in ihre Teilsummen, die nach dem Kürzen der Faktoren der Ableitung und des Integrals verbleiben, den Summanden $ f(\langle n\rangle .\!\langle 1\rangle ) $ der ersten Summe mit Hilfe von Formel SN.AbIn.IN.12 ersetzen können, die aus der Umformung der Ableitung folgt:
Durch das Einsetzen mit Hilfe von Formel SN.AbIn.IN.12 für $ f(\langle n\rangle .\!\langle 1\rangle ) $ können wir schreiben:
| ▼ | Kurzer Weg nur innerhalb der Summe: |
Die Formel SN.AbIn.IN.12 können wir natürlich auch gleich nur innerhalb der Summe für $ f(\langle n\rangle .\!\langle 1\rangle ) $ einsetzen:
Dies ist ein ganz einfacher Plausibilitätstest.
Dadurch wird das Integral der Ableitung wieder zum reinen Integral, was wir zeigen wollten. Womit wir wieder bei der Definition des Integrals in Formel SN.AbIn.IN.16 angekommen sind.
Dies ist also ein innerer Plausibilitätstest, dass das Integral und die Ableitung einander aufheben und dies auch für die Summe des Integrals durchlässig ist.
| → |
| |
Standartisierung von Ableitung und Integral |
|
| ← |
Im Folgenden geht es darum zu zeigen, dass und wie unsere Superial-Analysis mit der Standardanalysis, also unsere superiale Ableitung und Integration mit der Standard-Ableitung und der Standard-Integration, in Übereinstimmung zu bringen ist.
Um beide Varianten miteinander vergleichen zu können, bleiben wir für die Standard-Ableitung bei $ f'(⋅) $ und für die Superial-Ableitung nutzen wir den Operator $ \mathcal{D}_{\s} ⋅ \, $. Für das Standard-Integral wird weiter der Operator $ \int_{⋅}^{⋅} $ genutzt und für das Superial-Integral nutzen wir, wie gehabt, das Summenzeichen $ \sum_{⋅}^{⋅} $ und Formel den Operator $ \mathcal{S}_{\s}( ⋅ ) $
Auch nutzen wir für die superiale Differenzialrechnung die superiale Stellenwertsystem-Schreibweise, wo beispielsweise $ \s^{-1} = \; .\!\langle 1\rangle $ und $ x + \s^{−1} = \langle x\rangle .\!\langle 1\rangle $ ist.
Ableitung
Standardisierung stimmt mit Standardableitung überein
Definition (superiale Ableitung)
Für eine Funktion $ f $ definieren wir, entsprechend zu Formel SN.AbIn.4:
Satz (Ableitungs-Kompatibilität)
Ist $ f $ in einer Umgebung von $ x $ zweimal stetig differenzierbar, dann gilt:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \operatorname{std}\left( \mathcal{D}_{\s} f(x) \right)\;\;\;=\;\;\;f'(x) } \] | (SN.Std.2) |
Beweis.
Setze $ \delta ≔ \; .\!\langle 1\rangle \, $.
Taylor (2. Ordnung) liefert für ein $ \xi $ zwischen $ x $ und $ x + \delta $:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { f( x + \delta ) = f( x ) + f'( x ) \cdot \delta + \frac{ 1 }{ 2 } \cdot f''( \xi ) \cdot \delta^{2} } \] | (SN.Std.3) |
Subtrahieren und durch $ \delta $ teilen ergibt
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \mathcal{D}_{\s} f(x) = f'( x ) + \frac{ 1 }{ 2 } \cdot f''( \xi ) \cdot \delta } \] | (SN.Std.4) |
Der zweite Summand ist infinitesimal (da $ \delta = \; .\!\langle 1\rangle $ infinitesimal ist und $ f''( \xi ) $ endlich bleibt). Damit ist die Null-Schicht von $ \mathcal{D}_{\s} f(x) $ gleich $ f'( x ) $, also $ \operatorname{std}\left( \mathcal{D}_{\s} f(x) \right)\;\;\;=\;\;\;f'(x) $. $ \blacksquare $
Bemerkung: Die infinitesimalen Schichten von $ \mathcal{D}_{\s} f(x) $ sind Teil der superialen Feinstruktur. Die Standardisierung dient hier nur dem Vergleich mit der Standardanalysis.
Integral
Standardisierung einer $ .\!\langle 1\rangle $-Summe $ = $ Riemann-Integral
Voraussetzung (Gitterkompatible Endpunkte)
Seien $ a, b \in \mathbb{A}_{\R} $ mit $ b > a $ und
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { b − a\;\;\;\in\;\;\;\mathbb{S}_{\Z}^{-1} \;\; . } \] | (SN.Std.5) |
Da $ \mathbb{S}_{\Z}^{−1} = \left\{ z \cdot \s^{−1} ~\middle|~ z \in \mathbb{S}_{\Z} \right\} $ ist, existiert genau ein $ \mathbb{N} \in \mathbb{S}_{\Z} $ mit
Definition (superiale Riemann-Summe)
Für eine Funktion $ f $ definieren wir
Wie oben gesagt, ist hier $ \mathcal{S}_{\s}( ⋅ ) $ nur ein Symbolname für diese Summe, also keine Menge der Superial-Zahlen.
Satz (Integral-Kompatibilität)
Ist $ f $ stetig auf $ [ a, b ] $ (reell algebraisch), dann gilt:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \operatorname{std}\left( \mathcal{S}_{\s}( f; a, b ) \right)\;\;\;=\;\;\;\int_{a}^{b} f(t) \operatorname{d}\!t \;\; . } \] | (SN.Std.9) |
Beweis.
Die Punkte $ \langle a\rangle .\!\langle k\rangle $ bilden eine Zerlegung von $ [ a, b ] $ mit Maschenweite $ .\!\langle 1\rangle $ und $ \mathbb{N} $ Teilintervallen.
Da $ .\!\langle 1\rangle $ infinitesimal ist, ist die Maschenweite kleiner als jedes reell algebraische (reelle?) $ \epsilon > 0 $.
Für stetiges $ f $ konvergieren Riemann-Summen bei beliebig feiner Maschenweite gegen das Riemann-Integral; daher unterscheidet sich
$ \mathcal{S}_{\s}( f; a, b ) $ vom reell algebraischen (reellen?) Integral nur um einen infinitesimalen Anteil.
Folglich ist die Null-Schicht (Standardisierung) gleich dem Integral:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \operatorname{std}\left( \mathcal{S}_{\s}( f; a, b ) \right)\;\;\;=\;\;\;\int_{a}^{b} f(t) \operatorname{d}\!t \;\; . } \] | (SN.Std.10) |
$ \blacksquare $
Fundamentalsatz der Analysis
Brücke über das Fundamentalsatz-Paar (HDI, FTC) auf Null-Schicht
Definition (superiale Stammfunktion über $ \mathcal{S}_{\s} $)
Unter den Voraussetzungen des Abschnittes ›Integral‹ etwas weiter oben (also $ x − a \in \mathbb{S}_{\Z}^{−1} $) definieren wir für stetiges $ f $:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { F_{\s}(x)\;\;\;≔\;\;\;F_{\s}(a) + \mathcal{S}_{\s}( f; a, x ) } \] | (SN.Std.11) |
Satz (FTC-Brücke, standardisiert)
Dann gilt für alle solchen $ x $:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \operatorname{std}\left( F_{\s}(x) - F_{\s}(a) \right)\;\;\;=\;\;\;\int_{a}^{x} f(t) \operatorname{d}\!t } \] | (SN.Std.12) |
Insbesondere:
Beweis.
Aus der Definition folgt $ F_{\s}(x) - F_{\s}(a) = \mathcal{S}_{\s}( f; a, x ) $.
Anwenden von Formel SN.Std.9 liefert sofort
$ \blacksquare $
Bemerkung: Diese Aussagen betreffen nur die Standardisierung (Null-Schicht). Die superialen Korrekturanteile von $ F_{\s} $ bleiben vollständig erhalten und können separat ausgewertet werden.
| → |
| |
Diskussion der Infinitesimalrechnung |
|
| ← |
Wir betrachten die besonderen Eigenschaften der Infinitesimalrechnung mit Superial-Zahlen und gleichen diese mit der Standardanalysis sowie der Nichtstandardanalysis ab.
Inhalt
| → |
|
| → |
|
| → |
Wohldefinierte Arithmetik des Unendlichen
Das Aufkommen der Infinitesimalrechnung am Ende des 17. Jahrhunderts löst eine Krise in der Mathematik aus.15 Diese Krise hat mit der Frage zu tun, wie mit infinitesimalen Größen oder mit endlichen Werten, die sich diesen nähern, umzugehen ist. Denn Berechnung einer Ableitung wird umso genauer, je kleiner Nenner und Zähler im Quotienten
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { f'(x)\;\;\;=\;\;\;\lim\limits_{\Delta x \rightarrow +0} \frac{ f(x + \Delta x) - f(x) }{ \Delta x } } \] | (SN.AbIn.1) |
werden. Dies hängt hier ausschließlich von der Größe von $ \Delta x $ ab, wodurch der Bedarf entsteht es möglichst ganz extrem klein zu machen.
Eine Beispielrechnung mit $ \Delta x $ für die Funktion $ f(x) = x^{2} $ im Rahmen der Standardanalysis ergibt sich dann zu:
Dieses Vorgehen der Standardanalysis wirft Fragen auf:16
| • |
Für das Endergebnis von der vorletzten zur letzten Gleichung wird das $ \Delta x $ schließlich weggelassen, weil gesagt wird, dass $ \Delta x $ im Grunde den Wert Null hat. Aber der Limes bedeutet doch gerade, das $ \Delta x $ niemals Null ist. Dann dürfen wir es doch nicht einfach weglassen, oder? |
| • |
Warum die $ +0 $ im Limes? Gilt nicht $ +0 = 0 $? |
| • |
Und wenn wir $ \Delta x $ dann in der Summe weglassen, weil es quasi Null ist, warum können wir dann in der Zeile davor durch $ \Delta x $ teilen, wenn teilen durch Null doch nicht definiert ist? |
Bezüglich der ersten Frage bemühen wir quasi den Gedanken der Rundung, wenn $ \Delta x $ doch nun so klein ist. Dieses Vorgehen hat aber eher einen pragmatischen Charakter, wie in der Physik oder Mechanik üblich, und nicht den Charakter möglichst maximaler mathematischer Genauigkeit, ist mein Eindruck. Ich verstehe aber, dass sich dieses Vorgehen mangels des Wissens um sinnvoll erscheinende Alternativen und Gründe, anders zu handeln, durchgesetzt hat. Warum etwas stehen lassen, wenn es doch vernachlässigbar erscheint, durch die Nutzung des Limes nicht genormt ist, damit eher stört und zum Verstecken einlädt.
Aber genau diese Ungenauigkeit und Ungenormtheit hat mich schon immer gestört, weil ich das Gefühl hatte, hier wird etwas wichtiges übersehen und beseitigt.
Das Weglassen des schrumpfenden Summanden erfüllt allerdings auch einen wichtigen Zweck. Es reinigt das Ergebnis für unser Auge und unser Bewusstsein von quasi verunreinigenden endlichen Anteilen, was bei den Superial-Zahlen, wie wir gleich sehen, durch eine infinitesimale Summenaufspaltung geleistet wird.
Zur zweiten Frage können wir sagen, dass diese Notation ausdrücken soll, dass $ \Delta x $ sich nur vom Positiven her der Null nähert. Ansonsten wäre selbst das Vorzeichen des weggelassenen Summanden unklar, also positiv oder negativ, was die Ungenormtheit noch verstärken würde.
Bezüglich der dritten Frage, der vermeintlichen Division durch Null, sind wir (nur) etwas gnädiger. Nenner und Zähler werden bei schrumpfendem $ \Delta x $ ungefähr gleichermaßen kleiner, was sich in einem Quotienten dann bis zu einem gewissen Grad wieder aufhebt, aber halt ein immer genaueres Ergebnis liefert. Daher haben wir eben keine Division durch Null.
Superiale Arithmetik des Unendlichen
Über die Superial-Zahlen erhalten wir eine wohldefinierte Arithmetik des Unendlichen, was diese Probleme eliminiert. Mit Hilfe unserer neuen ›Zahlentheorie der Analysis‹ separieren wir die endlichen – in der Realität wichtigen – Summanden durch eine infinitesimale Summenaufspaltung von den unendlich kleinen.
Dies zeigen wir hier noch einmal durch die Wiederholung des der vorherigen Rechnung entsprechenden und schon oben gerechneten Beispiels, in dem wir den Limes $ \Delta x \rightarrow +0 $ durch unsere wirklich infinitesimale Einheit $ \s^{-1} = \; .\!\left\langle 1 \right\rangle $ ersetzen, wenn wir die Ableitung der Funktion $ f(x) = x^{2} $ berechnen:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { f'(x)\;\;\;=\;\;\;\frac{ \left( x + \s^{-1} \right)^{2} - x^{2} }{ \s^{-1} } } \] | (SN.AbIn.10) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}f'(x)\;\;\;=\;\;\;\frac{ \left( x^{2} + 2 x \cdot \s^{-1} + \s^{-2} \right) - x^{2} }{ \s^{-1} } } \] | (SN.AbIn.11) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}f'(x)\;\;\;=\;\;\;\frac{ 2 x \cdot \s^{-1} + \s^{-2} }{ \s^{-1} } } \] | (SN.AbIn.12) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}f'(x)\;\;\;=\;\;\;2 x + \s^{-1} } \] | (SN.AbIn.13) |
Noch einmal in Stellenwert-Schreibweise:
Hier wird die mathematische Genauigkeit erhalten und daher der infinitesimale Summand nicht weggelassen. Wo er beim Übergang in die reale Praxis ja eh jederzeit entfernt werden kann.
Die infinitesimale Einheit ist durch ihre Definition über das Primzahl-Flächenprodukt wohldefiniert und genormt. Und es ist völlig klar, welches Vorzeichen die Infinitesimale haben.
Auch das Spannungsfeld zwischen dem Weglassen des Summanden und der vermeintlichen Division durch Null in der Standardanalysis hat sich erledigt. Es gibt gar keine Division durch Null.
Bisher hat niemand die Arithmetik von $ \infty $ verstanden?
In seinem Buch ›Die Entdeckung des Unendlichen‹ bemerkt David Foster Wallace:
» Angesichts unserer bisher dargelegten Geschichte lässt sich wohl am einfachsten sagen, die meisten der hier unterstellten Probleme [siehe oben] seien eigentlich durch die Unfähigkeit der Mathematik entstanden, mit unendlichen Größen umzugehen – die reale Schwierigkeit besteht wie bei Zenons Dichotomie und Galileis Paradoxon darin, dass bisher noch niemand die Arithmetik von $ \infty $ verstanden habe. Diese Aussage wäre nicht völlig falsch, aber für unsere Zwecke wäre sie zumindest um die Hälfte verkürzt.[Fußnote zur Nonstandard Analysis (Nichtstandardanalysis)] « 17
In seiner Fußnote weist David Foster Wallace dann auf die Nichtstandardanalysis18 als nichttriviale Möglichkeit hin, mit Hilfe von Hyperreellen Zahlen19 eine Arithmetik des Unendlichen zu beschreiben. Er nennt die Nichtstandardanalysis allerdings »[…] schwer Mengentheoretisch und auf Cantor bezogen, dazu umstritten und verwegen fachmathematisch […]«20.
Nach meiner Recherche meint er das „umstritten“ vermutlich nicht als „mathematisch fragwürdig/inkonsistent“, sondern eher im Sinne von „philosophisch, didaktisch und geschmacklich umkämpft“. „Umstritten“ ist demnach eher als Hinweis darauf zu verstehen, dass die Nichtstandardanalysis nichts für Menschen ohne tiefe mathematische Kenntnis ist.
Also ist sie nichts für Erstsemester-Studenten und schon gar nichts für Schüler. Sie erhellt für Normalsterbliche die Arithmetik des Unendlichen und deren tiefere Zusammenhänge nur nicht so einfach.
Superial-Zahlen erweitern die gewohnte endliche Arithmetik intuitiv weitgehend ins Aktual-Unendliche und sind didaktisch wertvoll
Die Superial-Zahlen sind dort so aufgestellt, dass sie sowohl die Arithmetik des Unendlichen sehr verständlich erklären, als auch didaktisch für Einsteiger in die Infinitesimalrechnung gut brauchbar sind. Etwas Komplexer wird es bezüglich der Superial-Zahlen erst bei transzendenten Zahlen, wie beispielsweise der eulerschen Zahl $ \e $ oder bei $ π $, die mindestens eine, aber vermutlich meist unendlich viele infinitesimale Schichten besitzen, was noch genauer zu erforschen ist. Hierzu ist eine einfache Erweiterung des Stellenwertsystems auf Superial-Zahlen zweiter Ordnung $ {^{*}\mathbb{S}} = {^{2}\mathbb{S}} $, mit Potenzen von ganzen Superial-Zahlen $ \mathbb{S}_{\Z} $, erforderlich.
Besonderheit der Infinitesimalrechnung mit Superial-Zahlen
Ganze infinitesimale Schritte durch die superiale Zahlentheorie
Die Standardanalysis der modernen Mathematik arbeitet mit Grenzwerten21. Diese haben die Eigenschaft, dass sie im Grunde keinen festen Wert haben. Es ist nur sicher, dass Grenzwerte über den Limes niemals wirklich infinitesimal sind, denn sie erreichen den Grenzwert nie wirklich, sondern sind ihm beliebig, jedoch immer nur endlich nahe.
David Foster Wallace beschreibt es wie folgt, wobei er hier von Zeit und nicht von Raum beziehungsweise Geometrie spricht, aber dies ist letztlich unerheblich, die Argumente sind die gleichen:
» Wenn es $ 0 $ Intervalle gibt, dann folgen $ t_{1} $ und $ t_{2} $ eindeutig nicht einander, weil sie dann exakt denselben Moment bezeichnen. Ist zwischen ihnen aber irgendein zeitliches Intervall vorhanden, dann gibt es stets weitere, winzigere Momente zwischen $ t_{1} $ und $ t_{2} $ – weil jedes finite zeitliche Intervall genau wie jeder Abstand auf der Zahlengeraden immer weiter unterteilt werden kann. Soll heißen, nach $ t_{1} $ gibt es nie ein unmittelbar folgendes $ t_{2} $. Solange infinitesimale Größen unerwünscht sind, muss es zwischen $ t_{1} $ und $ t_{2} $ immer eine unendliche Zahl von Momenten geben. « 22
Das bedeutet, dass es keine festen Zählschritte für die Ableitung und das Integral gibt. Es wird allerdings ein
als sogenannte 1-Form23 genutzt, die aber keine Einheit im Sinne der Definition einer unendlich kleinen Zahl Eins, sondern eine Kurznotation ist.
Genau dies ist bei den Superial-Zahlen anders: Über das superiale Stellenwertsystem auf Basis unseres durch Primzahlen klar definierten $ \s $ erhalten wir mit $ 1 \s^{-1} $ eine wirklich infinitesimale Eins. In diesem Stellenwertsystem, das also infinitesimale Größen erlaubt, können wir nach Bedarf sowohl infinitesimale Zahlenmengen definieren, in denen es zwischen zwei unterschiedlichen Zahlen unendlich viele weitere gibt, oder welche, wo infinitesimale ganze Zahlen direkt aufeinander folgen.
Über die Menge der ganzen Superial-Zahlen $ \mathbb{S}_{\Z} $ lässt sich auch die Menge der superial kleinen ganzen beziehungsweise infinitesimalen ganzen Zahlen $ \mathbb{S}_{\Z}^{-1} $ definieren. In dieser Menge gilt nicht, was David Foster Wallace über die Intervalle des Standardanalysis sagt: Hier gibt es nicht zwischen allen Zahlen eine weitere Zahl, nämlich dann nicht, wenn im unendlich kleinen die ganzen Summanden zweier Zahlen direkt aufeinander folgen, wie zum Beispiel $ \left\langle 1,\!3 \right\rangle\!.\!\left\langle 57 \right\rangle $ und $ \left\langle 1,\!3 \right\rangle\!.\!\left\langle 58 \right\rangle \, $. Es gibt also unmittelbar folgende Zahlen, wenn wir infinitesimale ganze Superial-Zahlen betrachten, die ja in unserer hier definierten ›Zahlentheorie der Analysis‹ für Ableitungen und Integrale genutzt werden.
All dies wird über die ganz besonderen Zusammenhänge zwischen ganzen und reell algebraischen Koeffizienten im Stellenwertsystem der Superial-Zahlen möglich und vereinfacht das theoretische Verständnis und teilweise auch die praktische Handhabung von Ableitungen und Integralen. Wir können aufgrund dieser wohldefinierten Arithmetik des Unendlichen wirklich ganz normal Rechnen.
Der metaphysische Moment der Bewegung
Das Pfeilparadoxon Zenons aus naturphilosophischer Perspektive und in superialer Interpretation
Bei Zenons Pfeilparadoxon handelt es sich um eine metaphysische und naturphilosophische Betrachtung zum Szenario eines Pfeilflugs vom Abschuss mit dem Bogen bis ins Ziel.24 Dabei stellen sich metaphysische Fragen:
Zenons Beschreibung geht davon aus, dass der Pfeil zu jedem Zeitpunkt seines Pfluges, in der jeweiligen Momentaufnahme, in Ruhe sei; also keinen Weg zurücklegen würde. Es ergibt sich das philosophische Problem, wie sich sehr viele einzeln betrachtete Zeitpunkte der Ruhe zu einem Flug zusammenfügen können. Lückenlos lässt sich so etwas nicht machen, wie wir schon zu Beginn der Seite ›Die arithmetische Struktur der Geometrie‹ festgestellt haben, denn die Zeitpunkte lassen sich nicht nacheinander kompakt aufreihen, wenn sie keine zeitliche Ausdehnung haben. Wir können sie nur auf Abstand setzen, womit der Moment quasi eine Ausdehnung erhält und dann aus seinem Anfangs- und Endzeitpunkt besteht, also eine Änderung enthält. Jeder dieser Momente trägt damit die Bewegung – den Prozess – in sich.
Mathematik beginnt dort,
wo wir das Eine vom Anderen unterscheiden können.
Ab da zählt alles.
Bei der Ableitung und dem Integral geht es, wie gesagt, um die Veränderung. Eine Veränderung durch eine Bewegung können wir nur feststellen, und auch nur berechnen, wenn wir zwei unterschiedliche Zeitpunkte unterscheiden – das Eine vom Anderen unterscheiden – können.
Die Vorstellung des Zenon im Pfeilparadoxon führt letztlich auch zu den Paradoxa, die wir schon oben in ›Besonderheit der Infinitesimalrechnung mit Superial-Zahlen‹ beschrieben haben. Wie dort auch dargelegt und ebenso in ›Wohldefinierte Arithmetik des Unendlichen‹ am Beispiel im Detail vorgerechnet, treten diese Paradoxa mit Hilfe von Superial-Zahlen nicht auf. Dies kommt, weil uns die Superial-Zahlen eine Arithmetik des Unendlichen schenken. Und zwar in der Form, dass uns infinitesimale ganze Zahlen zur Verfügung stehen, mit denen wir die Flugzeit und die Flugbahn des Pfeils in einheitliche aktual unendlich kleine Schritte teilen können. Dabei bleibt die Bahn im Endlichen, bei ihrer Beschreibung durch die Superial-Zahlen, Dicht. Es gibt also zwischen je zwei Zeitpunkten der Flugbahn, die sich in ihren endlichen Werten unterscheiden, unendlich viele endliche Werte, weil die endlichen Anteile der Zeit – und auch der Orte – mit reell algebraischen Zahlen25 beschrieben werden.
Zwischen den Zeitpunkten Sekunde $ \left\langle 5,\!273 \right\rangle\!.\!\left\langle 100 \right\rangle $ und Sekunde $ \left\langle 5,\!292 \right\rangle\!.\!\left\langle 9 \right\rangle $ liegt zum Beispiel die Sekunde $ \left\langle 5,\!281 \right\rangle\!.\!\left\langle -2 \right\rangle $:
Ist der endliche Zeitpunkt der gleiche, dann unterscheiden sich die Zeitpunkte nur noch in ihren unendlich kleinen, wo wir es nun mit infinitesimalen ganzen Zahlen zu tun haben. Ein Beispiel für zwei solche Superial-Zahlen könnte Sekunde $ \left\langle 5,\!273 \right\rangle\!.\!\left\langle -3 \right\rangle $ und Sekunde $ \left\langle 5,\!273 \right\rangle\!.\!\left\langle 2 \right\rangle $ sein:
Hier zwischen gibt es dann nur noch die direkt aufeinanderfolgenden Momente:
Und zwischen zwei benachbarten davon, wie $ \left\langle 5,\!273 \right\rangle\!.\!\left\langle -1 \right\rangle $ und $ \left\langle 5,\!273 \right\rangle\!.\!\left\langle 0 \right\rangle $, gibt es nach dieser Definition keinen weiteren Moment, denn sie sind nur einen infinitesimalen Zählschritt auseinander:
Der metaphysische Moment des Pfeilflugs entspricht also dem Abstand zweier benachbarten infinitesimalen ganzen Superial-Zahlen aus der Menge $ \mathbb{S}_{\Z}^{-1} $, also dem Abstand $ 1 \s^{-1} $.
Der Moment als infinitesimaler Prozess
Eine metaphysisch naturphilosophische Interpretation
Wir können die infinitesimale Schicht, die unter der endlichen reell algebraischen Schicht liegt, aus mindestens zwei Blickwinkeln betrachten.
Infinitesimale Umgebung
Auf der einen Seite können wir den endlichen Moment im Rahmen der Superial-Zahlen als von Infinitesimalen umgeben verstehen; standardmäßig von ganzzahligen Infinitesimalen:
| ▼ | Algebraische infinitesimale Umgebung: |
Und bei Bedarf auch von reell algebraischen Infinitesimalen, wenn sie dicht liegen sollen:
Dadurch können wir uns dem endlichen Zeitpunkt aus dem infinitesimal Negativen nähern und, nachdem wir ihn erreicht haben, von ihm ins infinitesimal Positive wieder verlassen.
|
Die Abbildung 1 gibt einen Eindruck davon, wie Schichten des Stellenwertsystems der Superial-Zahlen linear ineinander verschachtelt sind. So beschreibt die erste infinitesimale Schicht $ \s^{-1} $ die Umgebungen der endlichen Zahlen der Schicht $ \s^{0} $.
Prozesshafte infinitesimale Zählschritte
Die ganzen Infinitesimale um die und damit zwischen den endlichen Zahlen enthalten als Zähleinheiten den Prozess des Zählens und repräsentieren oder realisieren so den dynamischen Moment der Zeit oder der Bewegung.
|
Aus prozesshafter Perspektive sehen wir die infinitesimalen ganzen Zahlen der Umgebung jeder endlichen reell algebraischen Zahl in Zählrichtung ausgerichtet, wie wir in Abbildung 2 anhand der endlichen ganzen Zahlen und der an ihnen hängenden Sägezahn-Intervalle erkennen. Dies gilt ebenso für infinitesimale ganze Zahlen und infinitesimale reell algebraische Zahlen. Jedes infinitesimale Sägezahn-Intervall stellt also mit seinem Anfangs- und Endzeitpunkt einen ausgedehnten Moment des Pfeilflugs dar.
Detailliert wird dies im Abschnitt ›Erklärung der Anzahl der reell algebraischen Zahlen durch ihren ontologischen Ursprung in der Struktur der Biordinalzahlen‹ dargelegt. Den tiefergehenden Ursprung des prozesshaften Fundaments der Arithmetik der Geometrie haben wir schon im Abschnitt ›Der ontologische Unterschied zwischen dem Abstand von und der Anzahl an Punkten‹ herausgefunden, der sich in einer fundamentalen Asymmetrie der Geometrie und des Zählens offenbart.
Ein gutes naturphilosophisches Verständnis der Metaphysik der Bewegung in der Mathematik
Wie die Mathematik des Pfeilflugs funktioniert
In ihrer Breite erlaubt uns unsere Forschung nicht nur eine praktische und intuitive Arithmetik des Unendlichen, sondern auch gute interessante Grundlagen für unser naturphilosophisches Verständnis der Metaphysik. Wir bekommen eine Ahnung davon, warum die Infinitesimalrechnung genau am Übergang zwischen Mathematik und Physik liegt sowie warum und wie sie im Detail funktioniert; dass diese Mathematik die Dynamik in ihren Fundamenten trägt.
Jeder Moment des Pfeilflugs im Pfeilparadoxon Zenons trägt demnach nicht nur einen Zeitpunkt in sich. Ein Moment ist mit seinen infinitesimalen Fundamenten in den Kontext des Zählens eingebettet. Bei der Infinitesimalrechnung können wir diesen metaphysischen Kontext nicht einfach ignorieren, denn wir nutzen ihn, um die dynamischen, prozesshaften Verhältnisse von Veränderungen zu berechnen. So wird es zwingend, diesen Kontext zu ergründen und besser zu verstehen.
Ein tieferes Naturverständnis
Weiten wir unseren Fokus aus, auf die größere naturphilosophische Perspektive, in die die Wissenschaft der Physik und des Lebens integriert sein sollen, so können wir den oft im Verborgenen wirkenden metaphysischen Kontext der infiniten und infinitesimalen Zahlen, in die unsere endliche Realität eingebettet ist, ähnlich verstehen, wie andere Kontexte der Wissenschaft:
Physik findet immer im Kontext von Raum und Zeit sowie des Vakuums statt, die auch alle Wechselwirkungen vermitteln. Hierin ist alles eingebettet, was unsere Realität ausmacht. Darüber hinaus existiert in der auf diesen Seiten entwickelten neuen Physik der fraktalen Quanten-Fluss-Theorie zusätzlich noch die Einbettung unseres Kosmos in das innere eines Schwarzen Lochs einer höheren physikalischen Fraktalebene. Diese übergeordnete Ebene entspricht dann eher der infiniten oder unendlich großen Ebene der Zahlen.
In der Wissenschaft vom Leben, besonders in der Psychologie und der Psychosomatik und damit auch der Medizin, entspricht der Kontext, in dem das bewusste Leben eingebettet ist, dem Unterbewussten oder Unbewussten sowie dem Unbekannten. Das auf diesen Seiten entwickelte Modell der Psychosomatik beziehungsweise des zentralen Lebensprozesses, dem Care-Prozess oder Achtsamkeitsprozess, basiert unter anderem auf einem Informationsaustausch zwischen dem Bewusstsein und dem Unterbewusstsein. Hier spielt der Austausch zwischen dem bewussten Leben und seinem Kontext eine zentrale Rolle.
Bezüglich der Mathematik gibt es noch ein Forschungsthema auf dieser Seite bei dem auch ein Kontext auftaucht, der in naturphilosophischer und metaphysischer Hinsicht interessant ist. In der Operialtheorie erkennen wir je nach Operator unterschiedliche neutrale Einbettungen von momentanen Werten:
| • |
Beim Zähloperator, die ›Einbettung in neutrale Elemente‹: |
| • |
Bei der Addition, die ›Einbettung in neutrale Elemente‹: |
| • |
Bei der Multiplikation, die ›Einbettung in neutrale Elemente‹: |
| • |
Bei der Potenz, die ›Einbettung in neutrale Elemente‹: |
| • |
Beim Sprungoperator, die ›Einbettung in neutrale Elemente‹: |
| • |
Beim Konstanzoperator, die ›Einbettung in neutrale Elemente‹: |
Was all dies tiefer zu bedeuten hat, sollte weiter philosophiert werden. Es zeigt aber, dass die systematische Ausarbeitung der Entstehung unserer arithmetischen Operatoren Aufschluss über den Kontext gibt, in dem die Arithmetik stattfindet, dadurch, dass wir die Verborgenen Strukturen herausarbeiten, die offenbar ihre Grundlage darstellen.
Wir entdecken so immer wieder unsere unabsichtlichen stillschweigenden Annahmen und Voraussetzungen, damit all dies so funktioniert, wie wir es sinnvoller Weise gewohnt sind und beobachten.
| → |
| |
Nähere Untersuchung bestimmter Summen |
|
| ← |
Im Folgenden beschäftigen wir uns etwas näher mit – unendlichen – Summen, die zum Beispiel auch bei der Berechnung von Integralen auftauchen. Im Fall, dass ihre Ergebnisse schon bekannt sind untersuchen wir, ob wir sie auch noch anders ausdrücken können.
Inhalt
| → |
Summen zur Integration von $ \langle 2 x\rangle .\!\langle 1\rangle $ |
| → |
Summen zur Integration von $ \langle 2 x\rangle .\!\langle 1\rangle $
Wir kennen nun schon das Ergebnis der Summe SN.AbIn.IN.24, aller superial kleinen ganzen Superial-Zahlen von Null bis ausschließlich $ x $, die bei der Integration von $ f'(x) =\langle 2 x \rangle .\!\langle 1 \rangle $ (Stellenwertsystem-Schreibweise) auftritt. Allerdings wissen wir nicht genau, wie sich diese Summe durch direkte Berechnung der Teilsummen, also ohne das Benutzen der angepassten Gaußschen Summenformel26, berechnet, die wir aus der Theorie der Biordinalzahlen, wie im Abschnitt ›Die Summe aller natürlichen Zahlen bis ins Aktual-Unendliche berechnen‹ nach Formel BO.Ein.NZ.14 angegeben, bereits kennen. Dies gilt so, weil die Menge $ \mathbb{S}_{\N} $ nach Formel SN.Ei.S.V.7 zur Klasse $ \mathbb{K}_{\infty,g} $ der Gauß-Summen äquivalenten Klassen – so auch Mengen – gehört.
Diese Summe sieht nun in zwei Teilen wie folgt aus:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \sum_{ \forall n \in [0, x[_{\mathbb{S}^{-1}_{\Z}} } \!\!\!\! n\;\;\;=\;\;\;\frac{ x^{2} \cdot s - x }{ 2 } } \] | (SN.AbIn.IN.24) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\sum_{ \forall n \in [0, x[_{\mathbb{S}^{-1}_{\Z}} } \!\!\!\! n\;\;\;=\;\;\;\frac{ x^{2} \cdot \s }{ 2 } - \frac{ x }{ 2 } } \] | (SN.AbIn.NU.1) |
Zur Beschreibung der Summe wird eine Intervall-Menge genutzt, die auf ganzen Superial-Zahlen beruht, welche eine superiale Potenzebene ins superial kleine skaliert sind.
Die direkte Berechnung der beiden rechten Teilsummen aus der linken Summe wollen wir nun angehen.
Direkte Herleitung der angepassten Gaußschen Summenformel
In Formel SN.AbIn.IN.1 haben wir die Elemente, die wir aufsummieren wollen, auszugsweise aufgelistet, wobei der Beginn und das Ende exakt stimmen.
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { [0, x[_{\mathbb{S}^{-1}_{\Z}}\;\;\;=\;\;\;\\ \quad \left\{\; \quad\, 0 \s^{-1}, 1 \s^{-1}, 2 \s^{-1}, \cdots \\ \quad\quad\; \quad \vdots \\ \quad \quad \cdots \frac{1}{2} x - 2 \s^{-1},\; \frac{1}{2} x - \s^{-1},\; \frac{1}{2} x,\; \frac{1}{2} x + \s^{-1},\; \frac{1}{2} x + 2 \s^{-1}, \cdots \\ \quad\quad\; \quad \vdots \\ \quad \quad \cdots \frac{2}{3} x - 2 \s^{-1},\; \frac{2}{3} x - \s^{-1},\; \frac{2}{3} x,\; \frac{2}{3} x + \s^{-1},\; \frac{2}{3} x + 2 \s^{-1}, \cdots \\ \quad\quad\; \quad \vdots \\ \quad \quad \cdots \, x - 3 \s^{-1}, x - 2 \s^{-1}, x - \s^{-1} \quad \right\} } \] | (SN.AbIn.IN.1) |
Die prinzipielle Summe, die diesen superial kleinen ganzen Zahlen zugrunde liegt, besteht ebenfalls aus zwei Summanden:
Für die genaue Menge können wir, angelehnt an die später gefundene Formel SN.Ei.S.L.1, folgende Beschreibung geben – wie immer mit $ x \in \mathbb{A}_{\S} $:
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { [ 0, \s [_{\mathbb{S}_{\N}}\;\;\;=\;\;\;\\ \quad \left\{\; u\;~\middle|~\;\left( \forall a \in [ 0, 1 ]_{\mathbb{A}_{\S}} \right) \left( \forall n \in \mathbb{N} \right) \left( \forall z \in \mathbb{Z} \right) \left( \forall z^{-} \in \mathbb{Z}^{-} \right) \\ \qquad\qquad\quad \left[\; u\;\;\;=\;\;\;\begin{cases} n & \text{ falls } a = 0 \\ a \cdot \s + z & \text{ falls } 0 < a < 1 \\ \s + z^{-} & \text{ falls } a = 1 \end{cases} \;\right] \;\right\} } \] | (SN.Ei.S.L.1) | ||
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { [ 0, x [_{\mathbb{S}^{-1}_{\Z}}\;\;\;=\;\;\;\\ \quad \left\{\; u\;~\middle|~\;\left( \forall a \in [ 0, x ]_{\mathbb{A}_{\S}} \right) \left( \forall n \in \mathbb{N} \right) \left( \forall z \in \mathbb{Z} \right) \left( \forall z^{-} \in \mathbb{Z}^{-} \right) \\ \qquad\qquad\quad \left[\; u\;\;\;=\;\;\;\begin{cases} n \cdot \s^{-1} & \text{ falls } a = 0 \\ a + z \cdot \s^{-1} & \text{ falls } 0 < a < x \\ x + z^{-} \cdot \s^{-1} & \text{ falls } a = x \end{cases} \;\right] \;\right\} } \] | (SN.AbIn.NU.3) | ||
Wir nehmen einmal an, dass die beiden Summanden der zu summierenden Superial-Zahlen jeweils den beiden einzelnen Teilsummen des bekannten Ergebnisses der zu berechnenden Summe SN.AbIn.NU.1 entsprechen. Also summieren wir doch einmal zuerst die zweite Teilsumme unserer Superial-Zahlen und daran anschließend die erste Teilsumme.
Die Summe des zweiten Summanden unserer Superial-Zahlen
Für alle Koeffizienten $ a $ des ersten Summanden, von Null bis einschließlich $ x $, läuft der zweite Summand $ z $ komplett im Negativen und im Positiven durch, bis auf den Beginn und das Ende, siehe Intervall-Menge SN.AbIn.IN.1, wo $ a $ als $ a \cdot x $ benannt ist. Am Beginn laufen nur die natürlichen Koeffizienten $ n $ des zweiten Summanden durch, mit der Null, und am Ende laufen nur die rein negativen Koeffizienten $ z^- $ durch.
Die Anzahl der superial kleinen ganzen Zahlen von Null bis einschließlich $ x $ ist $ x \cdot \s + 1 $. Da allerdings für Null und $ x $ jeweils nur ein halber Durchlauf, also gemeinsam dann ein ganzer Durchlauf, des zweiten Summanden stattfindet, ist die Anzahl der ganzen Durchläufe insgesamt somit nur $ x \cdot \s $, also einer weniger.
In jedem Durchlauf werden einmal alle superial kleinen ganzen Zahlen addiert. Von den Biordinalzahlen her wissen wir den Wert der Summe aller endlichen ganzen Zahlen aus Formel BO.Ein.FA.12:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \sum_{ \forall z \in \mathbb{Z}} z\;\;\;=\;\;\;-ω } \] | (BO.Ein.FA.12) |
Die Summe, die wir suchen, ist aber nicht die aller endlichen ganzen Zahlen, sondern die aller superial kleinen ganzen Zahlen:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\sum_{ \forall z \in \mathbb{Z}} z \cdot \s^{-1}\;\;\;=\;\;\;\frac{ -ω }{ \s } } \] | (SN.AbIn.NU.4) |
Dabei steht das Symbol $ ω $ für die Anzahl der endlichen natürlichen Zahlen, mit der Null, in der Menge $ \mathbb{N} $; dies entspricht der Anzahl der Schritte der vollständigen Induktion27.
An dieser Stelle ist es vermutlich für den ein oder anderen erstaunlich, dass ganz unabhängig von den hier entwickelten Superial-Zahlen in der Theorie der Biordinalzahlen deutlich wird, dass genauso viele endliche und rein negative ganze Zahlen existieren, wie es endliche natürliche Zahlen gibt, also endliche positive ganze Zahlen, mit der Null. Demnach finden wir, bei genauer Untersuchung, eine fundamentale Asymmetrie zwischen der ontologischen Struktur der endlichen ganzen Zahlen und der Verteilung ihrer Werte. Dadurch ergibt schlussendlich die Summe aller endlichen ganzen Zahlen die aktual unendlich große und negative Zahl $ -ω $ und nicht Null, wie wir naiv annehmen könnten.
Auf der anderen Seite ist die Anzahl der reell algebraischen Koeffizienten von Null bis ausschließlich Eins, nach Formel SN.Ei.S.L.12:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \# [ 0, 1 [_{\mathbb{A}_{\S}}\;\;\;=\;\;\;\frac{ \s }{ 2 ω } } \] | (SN.Ei.S.L.12) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\# [ 0, x [_{\mathbb{A}_{\S}}\;\;\;=\;\;\;\frac{ x \cdot \s }{ 2 ω } } \] | (SN.AbIn.NU.5) |
Anschließend haben wir die Formel für die Koeffizienten von Null bis ausschließlich $ x $ äquivalent mit $ x $ erweitert.
So oft addiert sich jetzt das superial kleine $ \frac{ -ω }{ \s } $ von davor auf, wird folglich damit multipliziert:
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}\# [ 0, x \, [_{\mathbb{A}_{\S}} \; \cdot \sum_{ \forall z \in \mathbb{Z} } z \cdot \s^{-1}\;\;\;=\;\;\;\frac{ x \cdot \s }{ 2 ω } \cdot \sum_{ \forall z \in \mathbb{Z} } z \cdot \s^{-1} } \] | (SN.AbIn.NU.6) | ||
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\# [ 0, x \, [_{\mathbb{A}_{\S}} \; \cdot \sum_{ \forall z \in \mathbb{Z} } z \cdot \s^{-1}\;\;\;=\;\;\;\frac{ x \cdot \s }{ 2 ω } \cdot \frac{ -ω }{ \s } } \] | (SN.AbIn.NU.7) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\# [ 0, x \, [_{\mathbb{A}_{\S}} \; \cdot \sum_{ \forall z \in \mathbb{Z} } z \cdot \s^{-1}\;\;\;=\;\;\;- \frac{ x }{ 2 } } \] | (SN.AbIn.NU.8) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\# [ 0, x \, [_{\mathbb{A}_{\S}} \, \cdot \; \frac{ -ω }{ \s }\;\;\;=\;\;\;- \frac{ x }{ 2 } } \] | (SN.AbIn.NU.9) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\boxed{ \;\; -\, \# [ 0, x \, [_{\mathbb{A}_{\S}} \, \cdot \; \frac{ ω }{ \s }\;\;\;=\;\;\;- \frac{ x }{ 2 } \;\; } } \] | (SN.AbIn.NU.10) | ||
Dies entspricht tatsächlich, wie gedacht, der zweiten Teilsumme unserer bekannten Summe SN.AbIn.NU.1.
Und es zeigt, dass die in der Theorie der Biordinalzahlen gefundene fundamentale Asymmetrie zwischen der strukturellen Ontologie und den Werten der endlichen ganzen Zahlen, aufgrund derer sich die Summe aller endlichen ganzen Zahlen zu $ -ω $ und die Anzahl aller endlicher ganzen Zahlen zu $ 2 ω $ ergibt, wirklich korrekt ist. Denn diese Asymmetrie ist ein essentieller und so auch plausibler Bestandteil der Integralrechnung, wie wir sehen.
Die Summe des ersten Summanden unserer Superial-Zahlen
Die erste Teilsumme unserer superial kleinen ganzen Superial-Zahlen SN.AbIn.IN.1 soll nach unserer Vermutung dem ersten Summanden des uns bekannten Ergebnisses der zu berechnenden Summe SN.AbIn.NU.1 ergeben.
Die erste Teilsumme unserer zu summierenden Zahlen enthält alle reell algebraischen Zahlen von Null bis einschließlich $ x $. Diese Summe muss allerdings für jede superial kleine Zahl gebildet werden, die in unserer Menge SN.AbIn.IN.1 enthalten ist.
Für die Zahl Null in der ersten Teilsumme gibt es nur die natürlichen Zahlen, mit der Null, als superial kleine Schritte in der zweiten Teilsumme:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( \sum_{ \forall a \in [ 0 ]_{\mathbb{A}_{\S}}} \!\! a \right) \cdot ω\;\;\;=\;\;\;0 \cdot ω\;\;\;=\;\;\;0 } \] | (SN.AbIn.NU.11) |
Für die sinnvollen Koeffizienten der Superial-Zahlen $ a $ mit $ 0 < a < x $ in der ersten Teilsumme gibt es wirklich alle superial kleinen ganzzahligen Schritte in der zweiten Teilsumme. Da wir die Summe dieser reell algebraischen Zahlen noch nicht kennen, wollen wir sie berechnen und setzen sie gleich unserer neuen Variable $ y $:
Dabei ist es gleich, ob die Null in der Indexmenge der Summe dabei ist oder fehlt. Die Summe ist also äquivalent, wenn wir die Null durchs Umdrehen der vorderen Intervall-Klammer in die Summe mit hinein nehmen:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\sum_{ \forall a \in [ 0, x [_{\mathbb{A}_{\S}}} \!\! a\;\;\;=\;\;\;y } \] | (SN.AbIn.NU.14) |
Für die Zahl $ x $ in der ersten Teilsumme gibt es nur alle rein negativen ganzen Zahlen als superial kleine Schritte in der zweiten Teilsumme:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( \sum_{ \forall a \in [ x ]_{\mathbb{A}_{\S}}} \!\! a \right) \cdot ω\;\;\;=\;\;\;x \cdot ω } \] | (SN.AbIn.NU.15) |
Alle drei Teile gemeinsam ergeben also den ersten uns bekannten Summanden aus Formel SN.AbIn.NU.1, den wir nun direkt berechnen:
Sei also die Summe der drei Teile der erste Summand unserer Superial-Zahlen und dieser gleich der ersten Teilsumme,
die uns schon bekannt ist:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}\left( \sum_{ \forall a \in [ 0 ]_{\mathbb{A}_{\S}}} \!\! a \right) \cdot ω \\ \qquad\quad\quad + \left( \sum_{ \forall a \in ] 0, x [_{\mathbb{A}_{\S}}} \!\! a \right) \cdot 2 \cdot ω \\ \qquad\quad\quad\quad\quad + \left( \sum_{ \forall a \in [ x ]_{\mathbb{A}_{\S}}} \!\! a \right) \cdot ω\;\;\;=\;\;\;\frac{ x^{2} \cdot \s }{ 2 } } \] | (SN.AbIn.NU.16) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}0 \cdot ω + y \cdot 2 \cdot ω + x \cdot ω\;\;\;=\;\;\;\frac{ x^{2} \cdot \s }{ 2 } } \] | (SN.AbIn.NU.17) | ||
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}y \cdot 2 \cdot ω + x \cdot ω\;\;\;=\;\;\;\frac{ x^{2} \cdot \s }{ 2 } } \] | (SN.AbIn.NU.18) | ||
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\left( y \cdot 2 + x \right) \cdot ω\;\;\;=\;\;\;\frac{ x^{2} \cdot \s }{ 2 } } \] | (SN.AbIn.NU.19) | ||
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}y \cdot 2 + x\;\;\;=\;\;\;\frac{ x^{2} \cdot \s }{ 2 \cdot ω } } \] | (SN.AbIn.NU.20) | ||
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}y \cdot 2 + x\;\;\;=\;\;\;\frac{ x \cdot \s }{ 2 \cdot ω } \cdot x } \] | (SN.AbIn.NU.21) | ||
Der erste Faktor des rechten Produkts ist uns schon oben aus Formel SN.AbIn.NU.5 bekannt und wir können ihn ersetzen:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}y \cdot 2 + x\;\;\;=\;\;\;\# [ 0, x [_{\mathbb{A}_{\S}} \; \cdot \; x } \] | (SN.AbIn.NU.22) |
Wir erweitern beide Seiten mit $ ω $ und vertauschen links und rechts:
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\left( y \cdot 2 + x \right) \cdot ω\;\;\;=\;\;\;\# [ 0, x [_{\mathbb{A}_{\S}} \; \cdot \; x \cdot ω } \] | (SN.AbIn.NU.23) | ||
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\# [ 0, x [_{\mathbb{A}_{\S}} \; \cdot \; x \cdot ω\;\;\;=\;\;\;\left( y \cdot 2 + x \right) \cdot ω } \] | (SN.AbIn.NU.24) | ||
Aus Formel SN.AbIn.NU.19 kennen wir unsere rechte Seite hier und setzen diese ein:
Wodurch sich unsere neue Formel ergibt.
So erhalten wir einen neuen Ausdruck für unseren schon bekannten Summanden.
Die Summe beider Summanden unserer Superial-Zahlen
Jetzt können wir die Summe aller superial kleinen Zahlen von Null bis ausschließlich $ x $ anders ausdrücken:
Wir ersetzen in der uns bekannten Formel SN.AbIn.NU.1
die beiden Summanden auf der rechten Seite durch die neuen Ausdrücke SN.AbIn.NU.10
und SN.AbIn.NU.25,
die wir durch die jeweils einzelne Summation der beiden Teilsummen unserer superial kleinen Zahlen erhalten haben
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \sum_{ \forall n \in [0, x[_{\mathbb{S}^{-1}_{\Z}} } \!\!\!\! n\;\;\;=\;\;\;\frac{ x^{2} \cdot \s }{ 2 } - \frac{ x }{ 2 } } \] | (SN.AbIn.NU.1) | ||
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\sum_{ \forall n \in [0, x[_{\mathbb{S}^{-1}_{\Z}} } \!\!\!\! n\;\;\;=\;\;\;\# [ 0, x [_{\mathbb{A}_{\S}} \; \cdot \; x \cdot ω - \frac{ x }{ 2 } } \] | (SN.AbIn.NU.26) | ||
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\sum_{ \forall n \in [0, x[_{\mathbb{S}^{-1}_{\Z}} } \!\!\!\! n\;\;\;=\;\;\;\# [ 0, x [_{\mathbb{A}_{\S}} \, \cdot \; x \cdot ω \; - \; \# [ 0, x \, [_{\mathbb{A}_{\S}} \, \cdot \; \frac{ ω }{ \s } } \] | (SN.AbIn.NU.27) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\boxed{ \;\; \sum_{ \forall n \in [0, x[_{\mathbb{S}^{-1}_{\Z}} } \!\!\!\! n\;\;\;=\;\;\;\# [ 0, x [_{\mathbb{A}_{\S}} \, \cdot \; ω \cdot \left( x - \frac{ 1 }{ \s } \right) \;\; } } \] | (SN.AbIn.NU.28) | ||
und erhalten eine ganz andere Darstellung, die recht kurz dadurch möglich wird, weil beide Summanden einen gemeinsamen Faktor enthalten, den wir hier ausklammern konnten.
Die Summe unserer superial kleinen Zahlen findet also einen neuen Ausdruck, der in wesentlichen Teilen auf der Anzahl von Elementen in Mengen beruht.
Eine interessante Zugabe zur ersten Summe
Die Formel SN.AbIn.NU.19 können wir auch noch anders schreiben, wenn wir unseren Substituenten $ y $ wieder durch die ihm gleiche Summe ersetzen. Wir möchten dabei aus den drei Summanden oben zwei sehr anschauliche Summanden machen:
Nehmen wir also Formel SN.AbIn.NU.19
und ersetzen unseren Substituenten:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( y \cdot 2 + x \right) \cdot ω\;\;\;=\;\;\;\frac{ x^{2} \cdot \s }{ 2 } } \] | (SN.AbIn.NU.19) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( y + y + x \right) \cdot ω\;\;\;=\;\;\;\frac{ x^{2} \cdot \s }{ 2 } } \] | (SN.AbIn.NU.29) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\left( \sum_{ \forall a \in [ 0, x [_{\mathbb{A}_{\S}}} \!\! a \;\; + \! \sum_{ \forall a \in [ 0, x [_{\mathbb{A}_{\S}}} \!\! a \;+\; x \right) \cdot ω\;\;\;=\;\;\;\frac{ x^{2} \cdot \s }{ 2 } } \] | (SN.AbIn.NU.30) |
Hier beachten wir, dass die Intervall-Mengen-Klammern in beiden Summen gleich ausgerichtet sind. Durch eine unterschiedliche Ausrichtung der Klammern können wir die geklammerte Summe umschreiben, weil wir auf der Seite der Null die Klammer einfach ohne Folgen umdrehen und weil wir durch das Umdrehen der Klammer auf der Seite des $ x $ den nachfolgenden Summanden $ x $ einfach in die Summe integrieren können:
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\left( \sum_{ \forall a \in [ 0, x [_{\mathbb{A}_{\S}}} \!\! a \;\; + \! \sum_{ \forall a \in [ 0, x ]_{\mathbb{A}_{\S}}} \!\! a \right) \cdot ω\;\;\;=\;\;\;\frac{ x^{2} \cdot \s }{ 2 } } \] | (SN.AbIn.NU.31) | ||
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\boxed{ \;\; \left( \sum_{ \forall a \in [ 0, x [_{\mathbb{A}_{\S}}} \!\! a \;\; + \! \sum_{ \forall a \in ] 0, x ]_{\mathbb{A}_{\S}}} \!\! a \right) \cdot ω\;\;\;=\;\;\;\frac{ x^{2} \cdot \s }{ 2 } \;\; } } \] | (SN.AbIn.NU.32) | ||
Wodurch wir den neuen Ausdruck erhalten haben.
Den neuen Ausdruck für den ersten Summanden des uns bekannten Ergebnisses der superial kleinen ganzen Zahlen, von Null bis ausschließlich $ x $, können wir so interpretieren:
Die erste Summe in der Klammer steht für alle superial kleinen ganzen Zahlen, deren ganzer Zahlenanteil Null oder positiv sind. Die zweite Summe in der Klammer steht für alle superial kleinen ganzen Zahlen, deren ganzer Zahlenanteil rein negativ sind. Jede dieser beiden Summen von reell algebraischen Zahlen gibt es daher $ ω $ mal, da es sowohl alle Null oder positiven ganzen Zahlen in der Anzahl $ ω $ gibt, als dies auch für alle rein negativen der Fall ist.
Unsere bekannte Gesamtsumme wird dann zu:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \sum_{ \forall n \in [0, x[_{\mathbb{S}^{-1}_{\Z}} } \!\!\!\! n\;\;\;=\;\;\;\frac{ x^{2} \cdot \s }{ 2 } - \frac{ x }{ 2 } } \] | (SN.AbIn.NU.1) | ||
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\sum_{ \forall n \in [0, x[_{\mathbb{S}^{-1}_{\Z}} } \!\!\!\! n\;\;\;=\;\;\;\left( \sum_{ \forall a \in [ 0, x [_{\mathbb{A}_{\S}}} \!\! a \;\; + \! \sum_{ \forall a \in ] 0, x ]_{\mathbb{A}_{\S}}} \!\! a \right) \cdot ω - \frac{ x }{ 2 } } \] | (SN.AbIn.NU.33) | ||
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\sum_{ \forall n \in [0, x[_{\mathbb{S}^{-1}_{\Z}} } \!\!\!\! n\;\;\;=\;\;\;\left( \sum_{ \forall a \in [ 0, x [_{\mathbb{A}_{\S}}} \!\! a \;\; + \! \sum_{ \forall a \in ] 0, x ]_{\mathbb{A}_{\S}}} \!\! a \right) \cdot ω \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad - \; \# [ 0, x \, [_{\mathbb{A}_{\S}} \, \cdot \, ω \cdot \s^{-1} } \] | (SN.AbIn.NU.34) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\boxed{ \;\; \sum_{ \forall n \in [0, x[_{\mathbb{S}^{-1}_{\Z}} } \!\!\!\! n\;\;\;=\;\;\;\left( \sum_{ \forall a \in [ 0, x [_{\mathbb{A}_{\S}}} \!\! a \;\; + \! \sum_{ \forall a \in ] 0, x ]_{\mathbb{A}_{\S}}} \!\! a \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\; - \; \# [ 0, x \, [_{\mathbb{A}_{\S}} \; \cdot \; \s^{-1} \right) \cdot ω \;\; } } \] | (SN.AbIn.NU.35) | ||
Ist in jedem Fall interessant, dass $ ω $ in allen Summanden vorhanden ist und generell ausgeklammert werden kann. Diese Summe lässt sich noch auf weitere Arten umformen.
Summe aller Koeffizienten von Null bis ausschließlich $ x $
Interessant ist auch die Berechnung der Summe der endlichen Koeffizienten der Superial-Zahlen von Null bis ausschließlich der Zahl $ x $:
Sei Formel SN.AbIn.NU.19
gegeben, und wir formen um und ersetzen dann auch wieder den Substituenten $ y $
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( y \cdot 2 + x \right) \cdot ω\;\;\;=\;\;\;\frac{ x^{2} \cdot \s }{ 2 } } \] | (SN.AbIn.NU.19) | ||
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}y \cdot 2 + x\;\;\;=\;\;\;\frac{ x^{2} \cdot \s }{ 2 \cdot ω } } \] | (SN.AbIn.NU.36) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}y \cdot 2\;\;\;=\;\;\;\frac{ x^{2} \cdot \s }{ 2 \cdot ω } - x } \] | (SN.AbIn.NU.37) | ||
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}y\;\;\;=\;\;\;\frac{ x^{2} \cdot \s }{ 4 \cdot ω } - \frac{ x }{ 2 } } \] | (SN.AbIn.NU.38) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\boxed{ \;\; \sum_{ \forall a \in [ 0, x [_{\mathbb{A}_{\S}}} \!\! a\;\;\;=\;\;\;\frac{ x^{2} \cdot \s }{ 4 \cdot ω } - \frac{ x }{ 2 } \;\; } \;\; , } \] | (SN.AbIn.NU.39) | ||
so erhalten wir einen Ausdruck für die gesuchte Summe.
Wenn es sich bei den sinnvollen Koeffizienten der Superial-Zahlen wirklich um alle reell algebraischen Zahlen handeln sollte, wie wir vermuten, dann habe ich einen Ausdruck für deren Summe bisher noch nicht gesehen und konnte bis heute auch noch nichts vergleichbares finden.
Unsere Biordinalzahlen und Superial-Zahlen sind etwas ganz besonderes, weil sie uns in die Lage versetzen, eine Idee davon zu bekommen, wie wir solche Summen ausdrücken können.
Erstaunlich, wie ähnlich diese Summe der Summe aller superial kleinen Zahlen von Null bis ausschließlich $ x $ ist:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \sum_{ \forall n \in [0, x[_{\mathbb{S}^{-1}_{\Z}} } \!\!\!\! n\;\;\;=\;\;\;\frac{ x^{2} \cdot \s }{ 2 } - \frac{ x }{ 2 } } \] | (SN.AbIn.NU.1) |
Hieran können wir erkennen, wie tief verwoben die ganzen und natürlichen Zahlen mit den algebraischen Zahlen offenbar sind.
Die Zahlentheorie erhellt sich auf diese Weise insgesamt und verschafft uns tiefe Einblicke in die Welt der Mathematik. Sehr erfreulich, auf diese Weise immer besser zu verstehen was die Geometrie mit der Arithmetik und der Zahlentheorie verbindet.
| ▼ | Ein weiterer Ansatz diese Summe zu berechnen: |
Ein weiterer Ansatz diese Summe zu berechnen
(In Arbeit …)
Im Grunde genommen haben wir damit schon den Beweis für die Richtigkeit dieser Gleichung erbracht. Aber vielleicht können wir ja noch besser verstehen, warum dies so ist?
Wie oben schon erwähnt, wissen wir mit Hilfe der Biordinalzahlen aus dem späteren Abschnitt ›Was lernen wir über die Größe von $ ω $ und die Struktur von $ \s $ anhand der Frage der Vorgänger?‹ die Anzahl der reell algebraischen Zahlen zwischen Null und ausschließlich der Eins aus Formel SN.Ei.S.L.1. Diese haben wir in Formel SN.AbIn.NU.5 auf ihre Anzahl zwischen Null und ausschließlich $ x $ erweitert.
Die Anzahl der reell algebraischen Zahlen zwischen Null und ausschließlich $ x $ beläuft sich demnach auf $ \frac{ x \cdot \s }{ 2 \cdot ω } \; . $ Ihre Größenordnung $ \s $ zeigt uns, dass wir auch ein Ergebnis in der Größenordnung $ \s $ erwarten sollten, wenn wir so viele endliche Zahlen summieren. Das passt schon mal zu unserer gesuchten Summe.
Da es sich bei den reell algebraischen Zahlen um die Koeffizienten endlicher Größe von superial kleinen ganzen Zahlen handelt, müssen sie alle den gleichen Abstand zueinander haben, der sich aus ihrer Dichte $ \rho_Q $ berechnet:
Bei der gesuchten Summe handelt es sich um die Summe von positiven Werten, mit der Null, die sich auf einer Hauptdiagonalen verteilen, wie es auch bei den natürlichen Zahlen der Fall ist. Naiv gesprochen, können wir auch die Summe der natürlichen nehmen und diese auf die entsprechende Dichte skalieren.
Die Summe der endlichen und aktual unendlichen natürlichen Zahlen der ersten $ n $ Elemente einer solchen Menge, mit der Null, ergibt sich aus der angepassten Gaußschen Summenformel28, wie bei den Biordinalzahlen im Abschnitt ›Es gibt mehr ganze Zahlen von Null bis zu ω, als der Wert von ω ausdrückt‹ nach Formel BO.Ein.NZ.14 angegeben.
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \sum_{ \forall i \in [ 0, n [_{\mathbb{N}_{\infty}} } i\;\;\;=\;\;\;\frac{ n^{2} - n }{ 2 } } \] | (BO.Ein.NZ.14) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}\sum_{ \forall i \in [ 0, \frac{ x \cdot \s }{ 2 \cdot ω } [_{\mathbb{N}_{\infty}} } \!\!\!\! i\;\;\;=\;\;\;\frac{ \left( \frac{ x \cdot \s }{ 2 \cdot ω } \right)^{2} - \frac{ x \cdot \s }{ 2 \cdot ω } }{ 2 } } \] | (SN.AbIn.NU.43) |
Und das Ergebnis ist jetzt um $ \frac{ \s }{ 2 \cdot ω } $ zu weit
(In Arbeit …)
| → |
| |
Besondere Ableitungen und Integrale |
|
| ← |
Es gibt besondere Gleichungen in Bezug auf Ableitungen und Integrale, die sich zu untersuchen lohnen.
Inhalt
| → |
Traum der Sophomores
| ▼ | Notizen (Beginn, nicht für inhaltliche Beurteilungen beachten) |
• Der Beweis der Gleichheit ist auch auf Wikipedia, Traum der Sophomores, zu finden.
| ▲ | Notizen (Ende, nicht für inhaltliche Beurteilungen beachten) |
Der ›Traum der Sophomores‹ ist eine Gleichung, die ein besonderes Integral mit einer im Grunde gleich lautenden Summe gleich setzt.29 Nur die Bereiche der Addition und deren Feinheit sind unterschiedlich. Diese Gleichung gibt es in zwei Varianten:
(In Arbeit …)
| → |
| |
Fußnoten |
|
| 1. | ↑ |
(Primärliteratur einfügen!) Internet: Vgl. Wikipedia, Differentialrechnung. |
| 2. | ↑ |
(Primärliteratur einfügen!) Internet: Vgl. Wikipedia, Integralrechnung. |
| 3. | ↑ |
(Primärliteratur einfügen!) Internet: Vgl. Wikipedia, Grenzwert. |
| 4. | ↑ |
(Primärliteratur einfügen!) Internet: Vgl. Wikipedia, Differential. |
| 5. | ↑ |
(Primärliteratur einfügen!) Internet: Vgl. Wikipedia, Algebraische Zahl. |
| 6. | ↑ |
(Primärliteratur einfügen!) Internet: Vgl. Wikipedia, Transzendente Zahl. |
| 7. | ↑ |
(Primärliteratur einfügen!) Internet: Vgl. Wikipedia, Radikal (Mathematik), Auflösung eines Polynoms durch Radikale. |
| 8. | ↑ |
(Primärliteratur einfügen!) Internet: Vgl. Wikipedia, Algebraische Zahl. |
| 9. | ↑ |
(Primärliteratur einfügen!) Internet: Vgl. Wikipedia, Ordinalzahl. |
| 10. | ↑ |
(Primärliteratur einfügen!) Internet: Vgl. Wikipedia, Algebraische Zahl. |
| 11. | ↑ |
(Primärliteratur einfügen!) Internet: Vgl. Wikipedia, Gaußsche Summenformel. |
| 12. | ↑ |
(Primärliteratur einfügen!) Internet: Vgl. Wikipedia, Klasse (Mengenlehre), Echte Klassen. |
| 13. | ↑ |
(Primärliteratur einfügen!) Internet: Vgl. Wikipedia, Fundamentalsatz der Analysis, Der Satz, Erster Teil; Beweis, Erster Teil. |
| 14. | ↑ |
(Primärliteratur einfügen!) Internet: Vgl. Wikipedia, Mittelwertsatz der Integralrechnung. |
| 15. | ↑ | Vgl. Wallace, Die Entdeckung des Unendlichen, § 4 a., S. 162-176, hier S. 162. |
| 16. | ↑ | Vgl. Wallace, Die Entdeckung des Unendlichen, § 4 a., S. 162-176, hier S. 170-172. |
| 17. | ↑ | Wallace, Die Entdeckung des Unendlichen, § 4 a., S. 162-176, hier S. 176. |
| 18. | ↑ |
(Primärliteratur einfügen!) Internet: Vgl. Wikipedia, Nichtstandardanalysis. |
| 19. | ↑ |
(Primärliteratur einfügen!) Internet: Vgl. Wikipedia, Hyperreelle Zahl. |
| 20. | ↑ | Wallace, Die Entdeckung des Unendlichen, § 4 a., S. 162-176, hier S. 176. |
| 21. | ↑ |
(Primärliteratur einfügen!) Internet: Vgl. Wikipedia, Grenzwert. |
| 22. | ↑ | Wallace, Die Entdeckung des Unendlichen, § 4 b., S. 177-189, hier S. 187. |
| 23. | ↑ |
(Primärliteratur einfügen!) Internet: Vgl. Wikipedia, Pfaffsche Form. |
| 24. | ↑ | Vgl. Wallace, Die Entdeckung des Unendlichen, § 4 b., S. 177-189. |
| 25. | ↑ |
(Primärliteratur einfügen!) Internet: Vgl. Wikipedia, Algebraische Zahl. |
| 26. | ↑ |
(Primärliteratur einfügen!) Internet: Vgl. Wikipedia, Gaußsche Summenformel. |
| 27. | ↑ |
(Primärliteratur einfügen!) Internet: Vgl. Wikipedia, Vollständige Induktion, Das Axiom der vollständigen Induktion. Vgl. Wikipedia, Unendlichkeitsaxiom, Formulierung; Bedeutung für die Mathematik, Natürliche Zahlen. |
| 28. | ↑ |
(Primärliteratur einfügen!) Internet: Vgl. Wikipedia, Gaußsche Summenformel. |
| 29. | ↑ |
(Primärliteratur einfügen!) Sekundärliteratur: Vgl. Freistetter, Wenn Mathematik zu schön ist, um wahr zu sein. Internet: Vgl. Wikipedia, Traum der Sophomores. |
| |
Stand 23. April 2026, 21:00 CET.
-
Permanente Links:
(Klicke auf die Archivlogos
zum Abruf und Ansehen
der Archive dieser Seite.) -
-
archive.todaywebpage capture
