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Die ZFC-Modellkonstruktion der Superial-Zahlen

Fundierung der Superial-Zahlen auf Basis des Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre-Systems mit Auswahlaxiom (ZFC)

Wir entwickeln die Superial-Zahlen von ihrer intuitiven Definition weiter, indem wir sie mit einer Modellkonstruktion untermauern, die mit der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit Auswahlaxiom (ZFC) kompatibel ist. Dabei hab ich mich von einer Konversation mit ChatGPT inspirieren lassen, in der ein Vorschlag entstand, wie eine sichere Fundierung der Superial-Zahlen aussehen kann.

Eine Unsicherheit besteht in der Definition unserer superialen Basis $ \s $ durch das unendlich große Produkt von Primzahlen

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \s\;\;\;≔\;\;\;\displaystyle \left( \prod_{\forall p \in \mathbb{P}} p \right)^{ω} } \]	(SN.Ein.26)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \displaystyle \prod_{\forall p \in \mathbb{P}} p^{ω}\;\;\;≔\;\;\;\displaystyle \left( \prod_{\forall p \in \mathbb{P}} p \right)^{ω} } \]	(SN.ZFC.1)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot \cdots \right)^{ω}\;\;\;≔\;\;\;\displaystyle \left( \prod_{\forall p \in \mathbb{P}} p \right)^{ω} } \]	(SN.ZFC.2)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 2^{ω} \cdot 3^{ω} \cdot 5^{ω} \cdot 7^{ω} \cdot 11^{ω} \cdot 13^{ω} \cdot 17^{ω} \cdot \cdots\;\;\;≔\;\;\;\displaystyle \left( \prod_{\forall p \in \mathbb{P}} p \right)^{ω} \;\; , } \]	(SN.ZFC.3)

denn in ZFC dürfen wir zwar mit unendlichen Mengen arbeiten, aber „$ \infty \times \infty $“ als gewöhnliches Ganzzahl-Produkt ist nicht definiert und es gibt weitere Probleme:

•	Es gibt in $ \mathbb{N} $ kein Element, dessen $ p $-adische Exponenten sämtlich $ ω $ sind.
•	Ein direkter Klassen-Term wie $ \left( \prod_{\forall p \in \mathbb{P}} p \right)^{ω} $ wäre eine eigentliche Klasse(Verweis), keine Menge, was ein Problem bei der Definition der Menge $ \mathbb{S} $ ist.
•	Wir erhalten so nur eine sichere Multiplikation, aber keine sichere Addition: Ohne sichere Addition aber kein Ring, erst recht kein Körper – Analysis oder Differentialrechnung wären unmöglich.
•	Ordnung nicht sicher linear: Die Superial-Analysis braucht eine totale Ordnung, damit wir so etwas wie „größte Stelle“ sagen können.
•	Eine unendlich große Primfaktorzerlegung verletzt den FTA-Rahmen(Verweis): Die „Fundamental­theorem-der-Arithmetik“-Maschinerie (FTA) garantiert Eindeutigkeit nur für endliche Zerlegungen. Für ring- oder feldartige Erweiterungen mit unendlichen Zerlegungen müssten wir völlig neue Axiome nachschieben.
•	ZFC-Feinheiten: Ein Element mit $ ω $-vielen endlichen Faktoren liegt außerhalb jeder der üblichen Zahlstrukturen $ \mathbb{N} $, $ \mathbb{Z} $, $ \mathbb{Q} $ – wir müssten die komplette Algebra darauf neu definieren.

Und diese Probleme und Unsicherheiten wollen wir nun lösen.

Die Hahn-Reihe als Ausweg

Darum ersetzen wir in unserer Hahn-Reihen-Version die „wirkliche“ Primfaktorzerlegung durch das formale Symbol $ \s ≔ \left( \prod_{\forall p \in \mathbb{P}} p \right)^{ω} $ — und kodieren die Aussage „$ \s $ hat bei jeder Primzahl $ p $ die Exponentenlänge $ ω $“ rein über $ p $-adische Bewertungen. Eine Superial-Konstruktion über eine Hahn-Reihe(Verweis) kann so „$ p $-Exponent = $ ω $“ jeder endlichen Primzahl stattdessen in der $ p $-adischen Bewertung

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( \forall q \in \mathbb{P} \right) \left[\; v_{q}\left( \displaystyle \left( \prod_{\forall p \in \mathbb{P}} p \right)^{ω} \right)\;\;\;≔\;\;\;ω \;\right] } \]	(SN.ZFC.4)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \displaystyle \left( \prod_{\forall p \in \mathbb{P}} p \right)^{ω} :> 0 } \]	(SN.ZFC.5)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \s\;\;\;≔\;\;\;\displaystyle \left( \prod_{\forall p \in \mathbb{P}} p \right)^{ω} } \]	(SN.Ein.26)

kapseln. Denn auf diese Weise ist $ \s $ und das für es stehende unendliche Produkt $ \left( \prod_{\forall p \in \mathbb{P}} p \right)^{ω} $ einfach ein neues formales Zeichen, mit wohldefinierten Eigenschaften. Dadurch ergibt sich die Definition der Menge der Superial-Zahlen $ \mathbb{S} $ zu

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \mathbb{S}\;\;\;≔\;\;\;\mathbb{A}_{\R}((\s^{\Gamma})) } \]	(SN.ZFC.6)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Gamma\;\;\;≔\;\;\;\mathbb{Z} } \]	(SN.ZFC.7)
\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}\mathbb{S}\;\;\;=\;\;\;\mathbb{A}_{\R}((\s^{\mathbb{Z}})) \;\; , } \]	(SN.ZFC.8)

wenn $ \mathbb{A}_{\R} $ das Koeffizientenfeld der reell algebraischen Zahlen und $ \Gamma $ die Wertgruppe (geordnete abelsche Gruppe mit üblicher Ordnung) unserer Hahn-Reihe ist.

Ausformuliert erhalten wir so:

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \mathbb{S}\;\;\;=\;\;\;\left\{\; f = \sum_{k \in \mathbb{Z}}\!a_k \cdot \s^{k}\;~\middle|~\;a_k \in \mathbb{A}_{\R},\; \underbrace{ \operatorname{supp} f ≔ \left\{ k ~\middle|~ a_k \neq 0 \right\} }_{\text{ist wohlgeordnet}} \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\, \;\land\; \underbrace{\exists n \in \mathbb{Z}:\; \operatorname{supp} f \subseteq ( -\infty, n ]}_{\text{oben endlich}} \;\right\} } \]

(SN.ZFC.9)

Mathematisch steckt die Unendlichkeit jetzt in zwei ZFC-konformen Stellen:

•	$ \mathrm{supp} f $ — wohlgeordnete Menge von endlichen Exponenten
•	Bewertungs­wert $ ω $ — das Ordinal $ ω $ ist ein Mengen-Element in ZFC

Beides sind fertige, aktual unendliche Mengen – aber eben keine „Zahl mit unendlich vielen Primfaktoren“. Damit können wir die Algebra sauber definieren, ohne etwas zu fordern, was ZFC nicht als Element kennt.

Primfaktorzerlegung von $ \s $

Wir stellen fest, dass $ ω $ und $ p^{ω} $ keine Elemente des Rings der Superial-Zahlen sind. Dies scheint im Allgemeinen kein Problem zu sein.

So steht nun auch fest, dass $ \s $ durch jede endliche Potenz jeder Primzahl

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( \forall p \in \mathbb{P} \right) \left( \forall n \in \mathbb{N} \right) \left[\; p^{n} \mid \s \;\right] } \]

(SN.ZFC.10)

teilbar ist, wobei jeder der Exponenten $ n $ sowie jede dieser endlichen Potenzen $ p^{n} $ ein Element des Superial-Rings sind. Im Besonderen ist die exakte Teilbarkeit

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( \forall p \in \mathbb{P} \right) \left[\; p^{ω} \parallel \s \;\right] } \]

(SN.ZFC.11)

gegeben, wobei, wie gesagt, weder $ ω $ noch $ p^{ω} $ Elemente des Superial-Rings sind.

Tiefere Betrachtung der Potenzen von $ \s $

Jeder einzelne Summand der Hahn-Reihe, sein reell algebraischer Koeffizient einer endlichen ganzen Potenz der superialen Basis $ \s $, haben die wohldefinierte $ p $-adische Bewertungen

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( \forall a_{k} \in \mathbb{A}_{\R} \right) \left( \forall p \in \mathbb{P} \right) \left[\; v_{p}\left( a_{k} \cdot \s^{k} \right)\;\;\;=\;\;\;k \cdot ω + v_{p}\left( a_{k} \right) \;\right] \;\; , } \]

(SN.ZFC.12)

so, dass sich bei Potenzen $ k \ge 1 $ nur rein positive Potenzen der Primzahlen ergeben:

\[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}\left( \forall p \in \mathbb{P} \right) \left( \forall k \in \mathrm{supp} f \right) \\ \qquad\;\; \left[\; v_{p}\left( a_{k} \right) \in \mathbb{Q}\;\;\;\Rightarrow\;\;\;\\ \qquad\quad\, \left( k - 1 \right) \cdot ω\;\;\;<\;\;\;k \cdot ω + v_{p}\left( a_{k} \right)\;\;\;<\;\;\;\left( k + 1 \right) \cdot ω \;\right] } \]

(SN.ZFC.13)

So können wir leicht erkennen, dass alle Hahn-Reihen-Summanden in ihrer Größenordnung immer separiert bleiben, auch egal ob $ v_{p}\left( a_{k} \right) $ positiv oder negativ ist, weil von $ k \cdot ω $ dominiert.

Auch ist auffällig, dass hier Summen oder Differenzen wie $ k \cdot ω \pm \frac{ z }{ n } $ als Ausdrücke entstehen, die wir bisher nicht kennen, aber nun einfach nach den Grundregeln der uns bekannten Algebra nutzen. Unter Kenntnis der Dominanz von $ k \cdot ω $.

Primfaktorzerlegung der natürlichen Superial-Zahlen $ \mathbb{S}_{\N} $

(In Arbeit …)

Durch die Hahn-Reihe erhalten wir alle nötigen Eigenschaften

Unser Ziel einer ZFC-konformen Definition der Superial-Zahlen haben wir somit erreicht. Durch die Hahn-Reihen-Definition erhalten wir nun:

•	Addition: koeffizientenweise.
•	Multiplikation: Cauchy-Produkt(Verweis) $ \displaystyle (f\!\ast\!g)(n) \;= \sum_{i + j = n} \! a_i \cdot b_j $ (die Summe ist endlich, weil eine wohltgeordnete Menge keine unendliche absteigende Kette besitzt).
•	Lexikographische Ordnung:(Verweis) $ 0 < f < g $ gilt, wenn an der größten Potenz $ k $ mit $ a_k \neq b_k $ der Koeffizienten­vergleich $ a_k < b_k $ in $ \mathbb{A}_{\R} $ zutrifft. Damit ist $ s > n $ für jedes endliche $ n \in \mathbb{N} $ und $ \s^{-1} $ infinitesimal klein.
•	Feld­axiome: Die übliche Hahn-Reihen-Argumentation zeigt, dass $ \mathbb{S} $ ein geordneter Körper ist.
•	Division: Polynomdivision(Verweis).
•	Hebung vieler wichtiger Teilmengen der reell algebraischen Zahlen: ganze Superial-Zahlen, natürliche Superial-Zahlen, gerade und ungerade Superial-Zahlen sowie superiale Primzahlen.(genauer klären)
•	Primfaktorzerlegung: $ \s $ und alle anderen natürlichen Superial-Zahlen können in Primfaktoren zerlegt werden.(genauer klären)

Das sind alle grundlegenden Eigenschaften, die wir für den Ansatz einer Superial-Analysis brauchen.

Zusammenfassung und Übertragung der geklärten Eigenschaften

Zusammenfassend können wir sagen:

•	$ \s ≔ \left( \prod_{\forall p \in \mathbb{P}} p \right)^{ω} $ wird nur symbolisch eingeführt,
•	„unendlich viele Faktoren“ werden über Bewertungen beziehungsweise Supports ausgedrückt, in einer streng mengentheoretischen Form,
•	sodass alle Beteiligten Mengen bleiben,
•	wodurch wir vollständige ZFC-Konformität erhalten.

Darüber ist es uns tatsächlich gelungen $ \mathbb{S} $ als Menge zu definieren. Und wir kommen jetzt in die komfortable Lage, diese Eigenschaften übertragen zu können.

„$ \s ≔ \left( \prod_{\forall p \in \mathbb{P}} p \right)^{ω} $“ ist als bildhafte Intuition prima, aber alleine formal nicht genau genug. Die Hahn-Reihen-Definition gibt dieselbe $ p $-adische Wirkung wieder, liefert aber gleichzeitig Addition, Subtraktion, Ordnung – kurz: den vollständigen Zahlkörper $ \mathbb{S} $, den die Superial-Analysis braucht.

Weil wir das unendliche Produkt $ \left( \prod_{\forall p \in \mathbb{P}} p \right)^{ω} $ jetzt ZFC-konform definiert haben, wird das, was uns intuitiv offensichtlich erschien, nun formal sicher auf alle zuvor auf dieser Basis in dieser Arbeit gemachten Definitionen übertragen.

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Stand 20. November 2025, 23:00 CET.

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