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Superiale-Transzendenz-Vermutung (STV) (Beweis)
Wir vermuten, dass alle transzendenten Zahlen superial kleine Summanden besitzen und damit im aktual unendlich kleinen keine rein endlichen Zahlen sind
Die Trennlinie zwischen den reell algebraischen Zahlen und den transzendenten Zahlen entspricht im Grunde der Trennlinie zwischen den Fraktalebenen der Superial-Zahlen
| ▼ | Notizen (Beginn, nicht für inhaltliche Beurteilungen beachten) |
Erklärungs-Video
• DiBeos: Warum sind transzendente Zahlen so interessant?.
| ▲ | Notizen (Ende, nicht für inhaltliche Beurteilungen beachten) |
Die Superial-Zahlen sind eine Lupe in die Details der reellen Zahlen, in die reell algebraischen wie auch in die transzendenten Zahlen.
Die reell algebraischen Zahlen sind von ihrer Struktur her recht gut bekannt. So konnten wir bereits zeigen, dass sie alle sinnvolle Koeffizienten des Stellenwertsystems der Superial-Zahlen sind. Ganz anders die transzendenten Zahlen. Über sie ist im wesentlichen nur bekannt, dass sie alle Zahlen sind, die nicht zu den algebraischen gehören. Ein zwar klares, aber auch recht allgemeines Kriterium, dass nicht viel über ihre Struktur aussagt.
Sollte die Vermutung stimmen, dass alle transzendenten Zahlen superial kleine Summanden enthalten, der sich dieses Kapitel widmet, dann wären die reell algebraischen Zahlen die vollständigen sinnvollen Koeffizienten des Stellenwertsystems der Superial-Zahlen.
Die transzendente eulersche Zahl $ \e $
Eine transzendente Zahl durch die Lupe der Superial-Zahlen
Die Superial-Zahlen wurden ja aus der Idee geboren mit ihren aktual unendlichen und infinitesimalen Größen Ableitungen und Integrale zu Formulieren, anstatt mit dem Limes zu rechnen. Dies ist uns gelungen, wodurch die Superial-Zahlen auch als Zahlentheorie der Analyses verstanden werden können.
Eine Fragestellung, die sich daraus ergibt ist: Welche Funktion ist ihre eigene Ableitung oder ihre eigenes Integral?
Dies lässt sich aufgrund unseres entwickelten Formalismus berechnen, wie wir mit Formel SN.EuZa.15 sehen:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \e_{\s}^{x}\;\;\;=\;\;\;\langle 1\rangle .\!\langle 1\rangle ^{\langle x\rangle _{1}} } \] | (SN.EuZa.15) |
Hier ist die eulersche Zahl $ \e_{\s} $ mit der superialen Basis $ \s $ indexiert, um zu kennzeichnen, dass der Formalismus zu ihrer Berechnung auf Superial-Zahlen basiert.
Die eulersche Zahl ist nun bekanntermaßen eine transzendente Zahl.1 Nähern wir sie nicht mit dem Limes an, sondern definieren und berechnen wir sie mit den aktual unendlichen Superial-Zahlen, indem wir $ \e_{\s} $ berechnen, dann erhalten wir:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \e_{\s}\;\;\;=\;\;\;\e_{\s}^{1}\;\;\;=\;\;\;\langle 1\rangle .\!\langle 1\rangle ^{\langle 1\rangle _{1}} } \] | (SN.EuZa.78) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\e_{\s}\;\;\;=\;\;\;\left\langle 1 + 1 + \frac{ 1^{2} }{ 2 } + \frac{ 1^{3} }{ 6 } + \cdots \right\rangle .\! \\ \qquad\qquad\qquad\qquad \left\langle - \frac{ 1 }{ 2 } - \frac{ 3 \cdot 1^{2} }{ 6 } + \cdots \right\rangle \left\langle \frac{ 2 }{ 6 } + \cdots \right\rangle \cdots \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\; \cdots \left\langle \cdots + \frac{ 1^{3} }{ 6 } \right\rangle \left\langle \cdots - \frac{ 3 \cdot 1^{2} }{ 6 } \right\rangle \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\quad\; \left\langle \cdots + \frac{ 2 }{ 6 } + \frac{ 1^{2} }{ 2 } \right\rangle \left\langle - \frac{ 1 }{ 2 } \right\rangle \left\langle 1 \right\rangle \left\langle 0 \right\rangle \left\langle 1 \right\rangle _{-\s} } \] | (SN.EuZa.81) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\e_{\s}\;\;\;=\;\;\;\left\langle \sum_{ \forall k \in \mathbb{N} } \frac{ 1^{k} }{ k! } \right\rangle .\! \\ \qquad\qquad\qquad\qquad \left\langle - \frac{ 1 }{ 2 } - \frac{ 3 \cdot 1^{2} }{ 6 } + \cdots \right\rangle \left\langle \frac{ 2 }{ 6 } + \cdots \right\rangle \cdots \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\; \cdots \left\langle \cdots + \frac{ 1^{3} }{ 6 } \right\rangle \left\langle \cdots - \frac{ 3 \cdot 1^{2} }{ 6 } \right\rangle \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\quad\; \left\langle \cdots + \frac{ 2 }{ 6 } + \frac{ 1^{2} }{ 2 } \right\rangle \left\langle - \frac{ 1 }{ 2 } \right\rangle \left\langle 1 \right\rangle \left\langle 0 \right\rangle \left\langle 1 \right\rangle _{-\s} } \] | (SN.EuZa.111) |
Wir können hier sehen, dass wir im endlichen Anteil der superialen Stellenwert-Zahl die bekannte Definition der eulerschen Zahl finden:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \e\;\;\;=\;\;\;\sum_{ \forall k \in \mathbb{N} } \frac{ 1^{k} }{ k! }\;\;\;=\;\;\;\sum_{ \forall k \in \mathbb{N} } \frac{ 1 }{ k! } } \] | (SN.STV.1)2 |
Darüber hinaus sehen wir oben in Formel SN.EuZa.111 Stellen, die genau bis zum superial kleinen Summanden der Stelle $ -\s $ hinunter reichen. Deshalb ist die eulersche Zahl sogar eine Zahl die nicht zu den auf dieser Seite beschriebenen Superial-Zahlen gehört, sondern eine Erweiterung dieser darstellt, die auch superiale Exponenten der superialen Basis $ \s $ zulassen, hier $ \s^{-\s} $.
Unsere Vermutung, dass transzendente Zahlen immer superial kleine Summanden besitzen
Zum einen haben wir gezeigt, dass alle reell algebraischen Zahlen sinnvolle Koeffizienten der Superial-Zahlen sind. Zum anderen sehen wir hier an $ \e_{\s} $, einer der relativ wenigen bekannten transzendenten Zahlen, dass sie sehr viele superial kleine Summanden enthält.
So liegt die Vermutung in der Luft, dass alle transzendenten Zahlen superial kleine Summanden enthalten, sollten die reell algebraischen Zahlen wirklich die vollständigen Koeffizienten der Superial-Zahlen sein. Denn die reell algebraischen Zahlen sind dann alle Zahlen unter den reellen Zahlen, die keine superial kleinen Summanden enthalten. Und da alle Zahlen auf dem reellen Zahlenstrahl, die nicht reell algebraisch sind, per Definition transzendent sind, müssen alle transzendenten Zahlen superial kleine Summanden enthalten.
Wir sehen …
Die Vermutung, dass die reell algebraischen Zahlen die vollständigen Koeffizienten der Superial-Zahlen sind
Wie kommen wir zu dem Wissen, dass die reell algebraischen Zahlen die vollständigen Koeffizienten der Superial-Zahlen sind?
Wir müssen zeigen, dass die reell algebraischen Zahlen nicht nur eine Teilmenge von oder gleich den sinnvollen Koeffizienten sind. Sondern auch, dass die sinnvollen Koeffizienten eine Teilmenge von oder gleich den reell algebraischen Zahlen sind. Dann folgt zusammen die Gleichheit:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \mathbb{A}_{\R}\;\;\;\subseteq\;\;\;\mathbb{A}_{\S} } \] | (SN.AKV.20) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \mathbb{A}_{\S}\;\;\;\overset{?}{\subseteq}\;\;\;\mathbb{A}_{\R} } \] | (SN.STV.2) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}\mathbb{A}_{\S}\;\;\;\overset{?}{=}\;\;\;\mathbb{A}_{\R} } \] | (SN.STV.3) |
Beweis der Superialen-Transzendenz-Vermutung (STV) über das superiale Kronecker-Kriterium (SKK)
Über das superiale Kronecker-Kriterium nehmen wir nachfolgend den Beweis der Superialen-Transzendenz-Vermutung in Angriff.
STV in Kürze
Beweisidee
Sei $ \alpha \in \mathbb{A}_{\S} $ und $ T = \alpha \cdot \s \in \mathbb{S}_{\Z, \left\{ 1 \right\}} $. Für $ P \in \mathbb{Z}[x] $ setze $ \Phi_{P}(\alpha) = P(\alpha)\s^{\operatorname{deg} P} = \sum_{i=0}^{d} c_{i} \cdot \, T^{i} \cdot \s^{d−i} $. Dann gilt für jede endliche Primzahl $ p $: weil $ p | T $ und $ p | \s $, hat jeder Summand mindestens $ d p $-Faktoren, also $ v_{p}(\Phi_{P}(\alpha)) \ge d $ (uniformer $ p $-adischer Schub).
Mit dem Dirichlet–Siegel-Lemma konstruiert man induktiv monische Polynome $ P_{k} $ mit $ \operatorname{deg} P_{k} \ge k $, $ \left| P_{k}(\alpha) \right| \le 2^{−k} $ und Kongruenz-Kohärenz $ P_{k + 1} \equiv P_{k}(\operatorname{mod} M_{k}) $ bei wachsendem $ M_{k+1} \ge 2 M_{k} $ (Minimalrepräsentanten). Aus der Kohärenz stabilisieren die Koeffizienten, also konvergiert $ P_{k} $ zu einem monischen $ P \in \mathbb{Z}[x] \setminus \{ 0 \} $. Da zugleich $ P_{k}(\alpha) \rightarrow 0 $, folgt $ P(\alpha) = 0 $; also ist $ \alpha $ algebraisch und damit $ \mathbb{A}_{\S} \subseteq \mathbb{A}_{\R} \Rightarrow \mathbb{A}_{\S} = \mathbb{A}_{\R} $.
Ziel (STV)
Wir zeigen die Gegenrichtung zur AKV:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \boxed{\;\; \mathbb{A}_{\S}\;\;\;\subseteq\;\;\;\mathbb{A}_{\R} \;\;} } \] | (SN.STV.4) |
Zusammen mit der bereits bewiesenen AKV-Richtung $ \mathbb{A}_{\R} \subseteq \mathbb{A}_{\S} $ folgt dann:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \boxed{\;\; \mathbb{A}_{\S}\;\;\;=\;\;\;\mathbb{A}_{\R} \;\;} } \] | (SN.STV.5) |
Stehende Annahmen (SA) und Notation
Mit
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \mathbb{S}_{\Z}\;\;\;=\;\;\;V_{s} \cap \bigcap_{p} V_{p} } \] | (SN.STV.6) |
erhalten wir den Quotientenkörper:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \mathbb{S}_{\Q}\;\;\;≔\;\;\;\operatorname{Frac}\left( \mathbb{S}_{\Z} \right) } \] | (SN.STV.7) |
Definiere die sinnvollen Koeffizienten als ganze Superial-Zahlen rein mit belegter Eins-Schicht:
Für ein Polynom
setze
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Phi_{P}(\alpha)\;\;\;≔\;\;\;P(\alpha) \cdot \s^{d}\;\;\;\in\;\;\;\mathbb{S} \;\; . } \] | (SN.STV.10) |
Fixiere nun $ \alpha \in \mathbb{A}_{\S} $ und setze
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { T\;\;\;≔\;\;\;\alpha \cdot \s\;\;\;\in\;\;\;\mathbb{S}_{\Z, \left\{ 1 \right\}} \;\; . } \] | (SN.STV.11) |
Dann kann man $ \Phi_{P}(\alpha) $ umschreiben zu:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Phi_{P}(\alpha)\;\;\;=\;\;\;\sum_{i = 0}^{d} c_{i} \cdot T^{i} \cdot \s^{d - i} } \] | (SN.STV.12) |
Lemma 1 — Uniformer $ p $-adischer „Schub“ aus $ \s $
Lemma (Uniforme $ p $-Adik)
Sei $ \alpha \in \mathbb{A}_{\S} $ und $ P \in \mathbb{Z}[x] $ mit $ \operatorname{deg} P = d $. Dann gilt für jede endliche Primzahl $ p $:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { v_{p}(\Phi_{P}(\alpha))\;\;\;\ge\;\;\;d } \] | (SN.STV.13) |
Insbesondere $ \Phi_{P}(\alpha) \in p^{d} \mathbb{S}_{\Z} $ und damit $ \Phi_{P}(\alpha) \in \bigcap_{p} p^{d} \mathbb{S}_{\Z} $.
Beweis
Aus Formel SN.STV.12 folgt: Jeder Summand $ c_{i} \cdot T^{i} \cdot \s^{d - i} $ hat wegen $ p | \s $ und $ p | T $ mindestens $ p $-Bewertung $ i + (d − i) = d $. Also hat die Summe ebenfalls $ v_{p} \ge d $. $ \blacksquare $
Konsequenz
Um $ v_{p}(\Phi_{P_{k}}(\alpha)) \ge k $ simultan für alle $ p $ zu erzwingen, genügt schlicht:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \operatorname{deg} P_{k}\;\;\;\ge\;\;\;k } \] | (SN.STV.14) |
(Keine „Feinabstimmung“ über $ p $-adische Kongruenzen nötig.)
Lemma 2 — Archimedisch kleine Werte mit Kongruenzvorgabe (Dirichlet–Siegel)
Wir brauchen nun: zu vorgegebenen Restklassen der Koeffizienten ein ganzzahliges Polynom, das bei $ \alpha $ sehr klein wird.
Lemma (Dirichlet–Siegel mit Restklassen)
Seien $ \alpha \in \mathbb{R}_{\text{fin}} $, $ d \ge 1 $, $ M \ge 2 $, eine Restklasse $ \overline{C} = (\overline{c}_{0}, \cdots , \overline{c}_{d}) \in (\mathbb{Z} / M \mathbb{Z})^{d + 1} $ und $ \epsilon > 0 $ gegeben. Dann existiert ein nichttriviales
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { P(x)\;\;\;=\;\;\;\sum_{i = 0}^{d} c_{i} \cdot x^{i}\;\;\;\in\;\;\;\mathbb{Z}[x] } \] | (SN.STV.15) |
mit
für alle $ i $.
Zusatz: Man kann Monizität erzwingen, indem man zusätzlich $ c_{d} \equiv 1 \; (\operatorname{mod} M) $ fordert und $ P $ monisch wählt.
Lemma 3 — Kohärenz $ \Rightarrow $ stationäre Koeffizienten (profiniter Diagonalschritt)
Lemma (Kohärente Folge $ \Rightarrow $ stationäre Koeffizienten)
Sei $ M_{1} | M_{2} | M_{3} | \cdots $ mit $ M_{k + 1} \ge 2 \! M_{k} $.
Sei $ P_{k}(x) = \sum_{i = 0}^{d_{k}} c_{i}^{(k)} x^{i} \in \mathbb{Z}[x] $ eine Folge mit
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { P_{k + 1} \;\;\;\equiv\;\;\; P_{k} \; (\mathrm{mod} \, M_{k}) } \] | (SN.STV.18) |
und „kleinsten Repräsentanten“
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left| \, c_{i}^{(k)} \right| \;\;\;\le\;\;\; \frac{ M_{k} }{ 2 } \;\; . } \] | (SN.STV.19) |
Dann wird für jedes feste $ i $ die Folge $ c_{i}^{(k)} $ stationär, das heißt es existiert $ c_{i} \in \mathbb{Z} $ mit $ c_{i}^{(k)} = c_{i} $ für alle großen $ k $. Insbesondere konvergiert $ P_{k} $ koeffizientenweise zu einem $ P \in \mathbb{Z}[x] $.
Beweis
Fixiere $ i $. Aus $ c_{i}^{(k + 1)} \equiv c_{i}^{(k)} \; (\operatorname{mod} M_{k}) $ folgt $ c_{i}^{(k + 1)} − c_{i}^{(k)} = t_{k} \cdot M_{k} $ mit $ t_{k} \in \mathbb{Z} $. Wegen $ \left| \, c_{i}^{(k + 1)} − c_{i}^{(k)} \right| \le \left| \, c_{i}^{(k + 1)} \right| + \left| \, c_{i}^{(k)} \right| \le M_{k} $ ist $ t_{k} \in \{ −1, 0, 1 \} $. Mit $ \left| \, c_{i}^{(k + 1)} \right| \le M_{k + 1} / 2 $ und $ M_{k + 1} \ge 2 M_{k} $ folgt schließlich $ t_{k} = 0 $ für alle großen $ k $. $ \blacksquare $
Hauptbeweis: $ \mathbb{A}_{\S} \subseteq \mathbb{A}_{\R} $
Sei $ \alpha \in \mathbb{A}_{\S} $. Wir konstruieren eine Folge $ P_{k} \in \mathbb{Z}[x] $ mit:
(A) $ \operatorname{deg} P_{k} = d_{k} \ge k $.
(B) $ \left| P_{k}(\alpha) \right| \le 2^{−k} $.
(C) $ P_{k + 1} \equiv P_{k} \; (\operatorname{mod} M_{k}) $ für eine Modulkette $ M_{k + 1} \ge 2 M_{k} $.
(D) Koeffizienten sind stets als kleinste Repräsentanten gewählt: $ \left| \, c_{i}^{(k)} \right| \le M_{k} / 2 $.
(E) $ P_{k} $ ist monisch.
Schritt 1 — Start
Setze $ M_{1} ≔ 2 $.
Wende Lemma 2 (Dirichlet–Siegel mit Restklassen und Monizität) mit $ d_{1} = 1 $, $ \epsilon = \frac{ 1 }{ 2 } $ und der Restklasse $ \overline{c}_{1} \equiv 1 \; (\operatorname{mod} 2) $ an.
Erhalte ein monisches $ P_{1} $ mit $ \left| P_{1}(\alpha) \right| \le \frac{ 1 }{ 2 } $ und wähle die Koeffizienten als kleinste Repräsentanten modulo $ 2 $.
Schritt 2 — Induktionsschritt
Angenommen, $ P_{k} $ und $ M_{k} $ sind konstruiert.
Wähle $ M_{k + 1} $ so, dass $ M_{k} | M_{k + 1} $ und $ M_{k+1} \ge 2 M_{k} $.
Wähle $ d_{k + 1} \ge k + 1 $. Fixiere eine Restklasse $ \overline{C} $ modulo $ M_{k + 1} $, die zugleich
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die Kohärenz $ P_{k + 1} \equiv P_{k} \; (\operatorname{mod} M_{k}) $ sicherstellt, und |
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Monizität $ c_{d_{k + 1}} \equiv 1 \; (\operatorname{mod} M_{k + 1}) $ erzwingt. |
Wende Lemma 2 mit $ \epsilon = 2^{−(k+1)} $ an und erhalte $ P_{k + 1} $ mit (B), (C), (E). Wähle wieder die kleinsten Repräsentanten (D).
Schritt 3 — $ p $-adische Seite „gratis“
Aus (A) und Lemma 1 folgt für jede endliche Primzahl $ p $:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { v_{p}(\Phi_{P_{k}}(\alpha))\;\;\;\ge\;\;\;d_{k}\;\;\;\ge\;\;\;k } \] | (SN.STV.20) |
Also erfüllt jedes $ P_{k} $ simultan die gewünschte $ p $-adische Hoch-Teilbarkeit.
Schritt 4 — Koeffizienten stabilisieren
Aus (C), (D) und $ M_{k + 1} \ge 2 M_{k} $ folgt mit Lemma 3:
$ P_{k} $ konvergiert koeffizientenweise zu einem Polynom $ P \in \mathbb{Z}[x] $.
Wegen (E) ist $ P $ zudem monisch und nichttrivial.
Schritt 5 — Grenzübergang: $ P(\alpha) = 0 $
Aus (B) folgt $ P_{k}(\alpha) \rightarrow 0 $ im reellen Sinn.
Da die Koeffizienten von $ P_{k} $ für jedes feste $ i $ ab einem Index stabil sind, ergibt sich (wie auf deiner Seite formuliert):
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { P(\alpha)\;\;\;=\;\;\;\lim\limits_{ k \rightarrow \infty } P_{k}(\alpha)\;\;\;=\;\;\;0 } \] | (SN.STV.21) |
Damit existiert ein monisches $ P \in \mathbb{Z}[x] \setminus \left\{ 0 \right\} $ mit $ P(\alpha) = 0 $. Also ist $ \alpha $ reell algebraisch, das heißt
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \alpha\;\;\;\in\;\;\;\mathbb{A}_{\R} \;\; . } \] | (SN.STV.22) |
Damit ist gezeigt:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \boxed{\;\; \mathbb{A}_{\R}\;\;\;\subseteq\;\;\;\mathbb{A}_{\S} \;\;} \;\; . \;\; \blacksquare } \] | (SN.STV.23) |
Schluss (STV + AKV $ \Rightarrow $ Vollständigkeit)
Da bereits in AKV $ \mathbb{A}_{\R} \subseteq \mathbb{A}_{\S} $ gezeigt ist, folgt insgesamt:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \boxed{\;\; \mathbb{A}_{\R}\;\;\;=\;\;\;\mathbb{A}_{\S} \;\;} \;\; . } \] | (SN.STV.24) |
Fazit
So erreichen wir den Nachweis, dass der Übergang von der endlichen, reinen Null-Schicht des Stellenwertsystems der Superial-Zahlen zu zusätzlichen superial-infinitesimalen Nachkommastellen, die nicht alle Null sind – also durch das Hinzufügen von aktual unendlich kleinen Summanden zu endlichen reell algebraischen Zahlen –, tatsächlich auch dem Übergang von den reell algebraischen Zahlen zu den transzendenten Zahlen entspricht.
Daraus folgt dann auch
wie bekannt.
Die Superial-Zahlen stellen die reellen Zahlen in ein neues Licht
Die Veränderung unserer Perspektive von genereller Anwendung des Limes hin zu aktualer Unendlichkeit, wo dies möglich ist, eröffnet auch eine neue Perspektive auf die reellen Zahlen $ \mathbb{R}_{\text{fin}} $, wie wir jetzt erkennen können.
Denn eine Frage, die sich daraus ergibt, ist, welche endlichen Zahlen sind noch in den reellen Zahlen $ \mathbb{R}_{\text{fin}} $, die nicht in den reell algebraischen Zahlen $ \mathbb{A}_{\S} $ sind
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \mathbb{T}_{\text{fin}}\;\;\;≔\;\;\;\mathbb{R}_{\text{fin}} \setminus \mathbb{A}_{\S} \;\; , } \] | (SN.STV.27) |
die wir über die superiale Basis $ \s $ und ihre endlichen Primzahlen so separiert haben. Dies sind rein endliche transzendente Zahlen $ \mathbb{T}_{\text{fin}} $, ohne infinite Summanden. Diese sollten ja den gerade hergeleiteten transzendenten Zahlen mit superial-infinitesimalen Summanden entsprechen. Darüber diskutieren wir gleich.
Diese Sicht offenbart die tiefe Verbindung des Zählens und der endlichen Primzahlen mit dem Aktual-Unendlichen.
Das Langlands-Programm
Eben diese Verbindung des Zählens und der endlichen Primzahlen mit dem Aktual-Unendlichen erhellt nicht nur die Grenzen zwischen den algebraischen Zahlen und den transzendenten Zahlen, sondern lässt gleichzeitig auch eine tiefe Verbindung zwischen Geometrie, Algebra und Analysis erkennbar werden.
Wenn sich dies so bestätigt, sind die Superial-Zahlen ein wichtiger Baustein des Langlands-Programms3.
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Diskussion des Beweises |
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Die transzendenten Zahlen sind so extrem, dass an ihnen die facettenreichen Eigenschaften des Unendlichen sichtbar werden.
Zwei Perspektiven auf die transzendenten Zahlen
Auf der einen Seite haben wir die transzendenten Zahlen als Teil der reellen Zahlen, wenn wir durch die Brille des Limes und der Dedekindschen Schnitte gucken. Hier stellen sie sich als rein endliche Zahlen dar, die keine infinitesimalen Summanden enthalten. Auf der anderen Seite sehen wir, dass transzendente Zahlen die sind, die immer infinitesimale Summanden enthalten, wenn wir durch die Brille der Superial-Zahlen mit ihrer fraktalen Aktual-Unendlichkeit gucken.
Ist dies ein Widerspruch? Oder ist eine Erklärung denkbar, die beide Seiten zusammenbringen kann?
Das Potential-Unendliche verhält sich wie das Aktual-unendliche
Der scheinbare Widerspruch löst sich auf, wenn wir verstehen, dass sich der Übergang ins Aktual-Unendliche, also das Potential-Unendliche, äquivalent zum Aktual-Unendlichen verhält.
Insofern sind beide unterschiedlichen Perspektiven gleichzeitig real. Jenachdem wie wir den Fokus setzen, auf das Potenzial-Unendliche oder das Aktual-Unendliche, sehen wir die transzendenten Zahlen als rein endliche Zahlen im Potenzial-Unendlichen oder als Zahlen mit infinitesimalen Summanden nach dem Übergang ins Aktual-Unendliche, wie in den Superial-Zahlen.
Jede der beiden Perspektiven hat ihre eigenen Vor- und Nachteile
Schauen wir durch die Augen des Potenzial-Unendlichen, so haben wir den Vorteil, dass wir uns nicht wirklich mit aktual unendlichen Größen beziehungsweise Werten auseinandersetzen müssen, denn dies bringt eine Komplexität mit sich, die dann immer zu berücksichtigen ist. Der Preis, den wir uns dafür einhandeln, ist eine gewisse Unschärfe im Bereich des Überganges hin zum Unendlichen. Denn bleiben wir im Potenzial-Unendlichen, so sehen wir, wegen der zuvor angesprochenen Äquivalenz, eine Überlagerung der komplexen Ebenen des Unendlichen noch im Endlichen. Wir müssen dann einen erheblichen Aufwand betreiben, diese Überlagerungen zu differenzieren. Das wesentliche Problem ist jedoch, dass wir im Potenzial-Unendlichen offenbar keine Normierung des Finiten und des Infinitesimalen finden.
Wenn wir durch die Augen des Aktual-Unendlichen schauen, hier im Besonderen durch die der Superial-Zahlen, dann erhalten wir ein Skalenspektrum des Aktual-Unendlichen. Das Skalenspektrum bedeutet, dass sich bestimmte Aspekte des Unendlichen in die Stellen des superialen Stellenwertsystems spalten und sich dadurch ihre Summanden auftrennen. Diese Auftrennung erzeugt eine gewisse Übersichtlichkeit, die einer sonst verborgenen Komplexität im Unendlichen folgt. Im Rahmen der Superial-Zahlen erhalten wir dazu eine fraktale Normierung des Finiten und des Infiniten, die eine neue Arithmetik des Aktual-Unendlichen beinhaltet, die viele Vorteile mit sich bringt und Dinge ermöglicht, die zuvor nicht möglich erschienen. In dieser Perspektive zahlen wir den Preis für die Vorteile damit, immer diese höhere Komplexität mitzuschleppen, wenn wir ganz genau bleiben wollen. Allerdings mit der Möglichkeit, die Komplexität an infinitesimalen Summanden jederzeit fallen lassen zu können, wenn wir es für angebracht halten, indem wir sie einfach wegkürzen.
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Fußnoten |
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| 1. | ↑ |
(Primärliteratur einfügen!) Sekundärliteratur: Vgl. Bischoff, Wie wurde die eulersche Zahl entdeckt?. Internet: Vgl. Wikipedia, Eulersche Zahl. |
| 2. | ↑ |
(Primärliteratur einfügen!) Sekundärliteratur: Vgl. Bischoff, Wie wurde die eulersche Zahl entdeckt?. Internet: Vgl. Wikipedia, Eulersche Zahl. |
| 3. | ↑ |
(Primärliteratur einfügen!) Sekundärliteratur: Vgl. Bischoff, »Tausend Seiten Beweis«. Internet: Vgl. Wikipedia, Langlands-Programm. |
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Stand 23. April 2026, 21:00 CET.
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