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Die sinnvollen Koeffizienten der Superial-Zahlen
Welche endlichen Zahlen im Produkt mit unserer superialen Basis ergeben aktual unendliche ganze Zahlen
Was können uns Ableitungen und Integrale mit Superial-Zahlen darüber verraten, welche Koeffizienten für das superiale Stellenwertsystem sinnvoll sind?
Zur Frage, welche Koeffizienten innerhalb der Superial-Zahlen sinnvoll sind, gibt es mindestens zwei Ausgangspunkte und Perspektiven, die scheinbar auf das selbe Ergebnis hinauslaufen:
Perspektive der Zahlentheorie der Analysis
Zum einen können wir uns auf den Standpunkt stellen, dass für eine Zahlentheorie der Analysis sowohl die Ableitung als auch das Integral sinnvoll funktionieren sollten und damit beide plausibel definierbar sein müssen.
Bei näherer Betrachtung stellen wir deshalb fest, dass die nun mit Hilfe aktual unendlicher Summen definierten Integrale aktual unendlich kleine ganze Zahlen benötigen, die wir aus einer entsprechenden Verkleinerung der Erweiterung ganzer Zahlen ins aktual unendlich Große gewinnen können.
Betrachten wir diese ganzen Superial-Zahlen, dann haben diese in den Summanden mit negativen Potenzen von $ \s $ nur Nullen als Koeffizienten. Im endlichen, also der Koeffizient von $ \s^{0} = 1 $, haben wir nur endliche ganze Zahlen. Und in den aktual unendlichen Summanden der ganzen Superial-Zahlen, also die positiven Potenzen von $ \s $, ergibt sich das Fragezeichen, dass nicht gleich ganz eindeutig beantwortbar ist.
Das kommt daher, weil die aktual unendlich Großen Summanden dieser ganzen Superial-Zahlen alle ganze Zahlen sein müssen. Und zwar deshalb, weil der endliche Summand und die unendlich kleinen Summand in jedem Fall immer ganze Zahlen sind. Kommt nun der Summand dazu, der Eins als Potenz hat, also $ \s^{1} = \s $, muss dieser im Produkt mit seinem Koeffizienten auch eine ganze Zahl sein, weil wir sonst insgesamt keine ganze Zahl erhalten. Denn auf eine ganze Zahl müssen wir immer eine ganze Zahl addieren, damit wieder eine ganze Zahl herauskommt.
Dazu stellen wir fest, das schon einmal jede rationale Zahl im Produkt mit $ \s $ aufgrund seiner Primzahlstruktur immer eine ganze Zahl ergibt. Auch im Produkt mit allen durch Radikale, also Wurzeln, darstellbaren reell algebraischen Zahlen, wie wir nachfolgend gleich zeigen werden, ergeben sich immer ganze Superial-Zahlen. Ob dies, wie von mir vermutet, wirklich für alle reell algebraischen Zahlen gilt, bleibt hingegen erst einmal noch offen.
Perspektive des Stellenwertsystems der Superial-Zahlen
Zum anderen können wir erwarten, dass die sinnvollen Koeffizienten der Superial-Zahlen, wie in jedem anderen Stellenwertsystem, grundsätzlich keine Überträge in niedrigere oder höhere Stellen erzeugen. Wobei sie gleichzeitig aber so fein granuliert und von einer Größe sind, dass sie die ihnen zugedachte Stelle maximal ausfüllen.
Demnach sind im Grunde folgende Bedingungen zu erfüllen, damit eine Zahl $ a $ ein sinnvoller Koeffizient der Superial-Zahlen sein kann:
Das Produkt der sinnvollen Koeffizienten $ a $ mit der superialen Basis $ \s $, also $ a \cdot \s $, darf nicht dazu führen, dass sich die aktual unendliche Größenordnung verändert, also die Potenz von $ \s $ im Wert des Produkts, weil die Koeffizienten sonst nicht wie sinnvolle Ziffern in einem Stellenwertsystem fungieren können. Das bedeutet, dass $ a $ eine endliche Zahl sein muss. Es muss also immer eine endliche ganze Zahl $ z_{k} $ existieren, die kleiner als $ a $ ist, und es muss auch immer eine endliche ganze Zahl $ z_{g} $ existieren, die größer als $ a $ ist.
Die größte mir bekannte Zahlenmenge, die diese Bedingung erfüllt ist die Menge der reellen Zahlen $ \mathbb{R} $:
Es darf sich eben bei $ a \cdot \s $ keine endliche oder aktual unendliche Größenordnung des Stellenwertsystems verändern, außer die Stelle mit der Potenz Eins von $ \s $. Das heißt, dass $ a $ keine aktual unendlich kleinen Summanden enthalten darf. Das Produkt $ a \cdot \s $ muss eben wirklich eine ganze rein aktual unendlich große Zahl sein. Das bedeutet, sie muss ohne ihre Nachkommastellen, welcher Art auch immer, die gleiche Zahl bleiben, wie in Formel BO.Ein.NE.75 definiert. Denn nur dann lässt sich das Zählen bis ins aktual unendliche und darüber hinaus definieren.
In unserem Fall ist die ganze Zahl $ a \cdot \s $ dann natürlich von der aktual unendlichen Größenordnung von $ \s $, ohne endlichen Summanden.
Für die Definition der Menge der sinnvollen Koeffizienten darf die Ausgangsmenge keine unendlich großen und unendlich kleinen, also keine infinitesimalen Elemente beinhalten. Zum einen sollte die Menge der reellen Zahlen, nach Standarddefinition, solche Elemente nicht enthalten:
» Infinitesimals do not exist in the standard real number system, but they do exist in other number systems, such as the surreal number system and the hyperreal number system, which can be thought of as the real numbers augmented with both infinitesimal and infinite quantities; the augmentations are the reciprocals of one another. «
» Infinitesimale existieren nicht im Standard-Reellzahlsystem, aber sie existieren in anderen Zahlensystemen, wie dem Surrealen Zahlensystem und dem Hyperreellen Zahlensystem, die man sich als die reellen Zahlen vorstellen kann, die sowohl um infinitesimale als auch um unendliche Größen erweitert sind; die Erweiterungen sind die Kehrwerte voneinander. « Übersetzt ins Deutsche mit DeepL Übersetzer
Da diese Information allerdings nicht überall zu finden ist, gehen wir auf Nummer sicher.
Wie können wir denn dafür sorgen, dass die von uns gewählten Elemente aus $ \mathbb{R} $ nicht nur im Rahmen endlicher Größe sind, was sie schon erfüllen, wie oben gezeigt, sondern auch keine unendlich kleinen Summanden enthalten? Dazu können wir die neue Unendlichkeits-Gaußklammer benutzen, die alle aktual unendlich kleinen Summanden aus einer Zahl entfernt.
Es existiere also die Menge
der sinnvollen Koeffizienten der Superial-Zahlen, in der die Koeffizienten der Superial-Zahlen auf eine Exponentenschicht begrenzt sind:
Sie verhalten sich Exponentenschicht neutral und ergeben im aktual unendlich Großen ganze Zahlen.
Diese Definition erfüllt die genannten Bedingungen an die sinnvollen Koeffizienten der Superial-Zahlen.
Stellt sich also die Frage: Welche uns bekannte Menge entspricht $ \mathbb{A}_{\S} $ dann? Wie wir sehen werden, ist diese Frage nicht so schnell ganz genau zu beantworten.
Entsprechen die sinnvollen Koeffizienten allen reellen Zahlen?
Ob $ \mathbb{A}_{\S} \overset{?}{=} \mathbb{R} $ gilt, ist eine Frage der Transzendenz und der Ganzzahligkeit im Produkt mit der superialen Basis $ \s $
Bezüglich der Transzendenz
Das hängt davon ab, wie wir im Lichte der Superial-Zahlen beantworten, welche Zahlen wir zu den reellen Zahlen zählen. Wenn wir die Ableitung und das Integral über die Superial-Zahlen definieren und nicht wie heute meistens üblich, über den Limes, und berechnen, welche Funktion abgeleitet sie selber ergibt, dann erhalten wir eine etwas detailliertere $ \e $-Funktion als klassisch üblich und damit eine eulersche Zahl $ \e_{\s} $, die mehr Details ihrer Struktur offenbart, als die Zahl $ \e $, die wir über den Limes erhalten.
Die uns bekannte Zahl $ \e $, definiert durch ihre Taylorreihe, ist von der Zahl $ \e_{\s} $ nämlich nur der Summand endlicher Größe. $ \e_{\s} $ enthält aber noch aktual unendlich viele, aktual unendlich kleine Summanden herunter bis zur Potenz $ \s^{-\s} $. Damit wäre die Zahl $ \e $ zwar theoretisch eine reelle Zahl und so möglicherweise als Koeffizient der Superial-Zahlen geeignet. Aber im Rahmen der Superial-Zahlen macht die $ \e $-Funktion nur mit der Basis $ \e_{\s} $ Sinn. $ \e_{\s} $ ist allerdings nicht einmal eine Superial-Zahl der hier definierten 1. Ordnung, weil sie aktual unendlich kleine Potenzen von $ \s $ enthält und die Superial-Zahlen nur endliche Potenzen von $ \s $ erlauben.
Damit ist $ \e_{\s} $ nicht zur Menge $ \mathbb{R} $ der reellen Zahlen zu zählen. Im Rahmen der reellen Zahlen ist $ \e $ als die eulersche Zahl anzusehen. Im Rahmen der Superial-Zahlen ist die eulersche Zahl $ \e_{\s} $ und $ \e $ nur ihr reell algebraischer Anteil.
Bezüglich der Ganzzahligkeit im Produkt mit der superialen Basis $ \s $
Alle reellen Zahlen, die nicht transzendent sind, sind reell algebraische Zahlen. Dann stellt sich die Frage, ob wirklich alle reell algebraischen Zahlen im Produkt mit der superialen Basis $ \s $ ganze Zahlen sind.
Bezüglich der rationalen Zahlen, die ja ein Teil der reell algebraischen Zahlen sind, ist es offensichtlich, dass sie im Produkt mit $ \s $ ganze Zahlen sind. Wie diese ganzen Superial-Zahlen $ \mathbb{S}_{\N} $ aussehen, zeigen wir in der formalen Entwicklung. Ein Produkt unserer superialen Basis $ \s $ mit jeder endlichen positiven rationalen Zahl $ q^{+} $ ist also eine aktual unendliche natürliche Zahl aus $ \mathbb{N}_{\infty} $; und dann auch eine natürliche Superial-Zahl aus $ \mathbb{S}_{\N} $, wie oben bereits gesagt:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( \forall q^{+} \in \mathbb{Q}^{+} \right) \left[\; q^{+} \cdot \s\;\;\;\in\;\;\;\mathbb{N}_{\infty} \;\right] } \] | (SN.SinK.4) |
Da rationale Zahlen nicht unendlich groß sind und auch keine unendlich kleinen Summanden enthalten, entspricht dies der Aussage, dass sie sich neutral bezüglich der Exponentenschicht der Superial-Zahlen verhalten:
Die Schreibweise $ \mathbb{S}_{\{ 1 \}} $ begrenzt die Exponentenschichten mit Koeffizienten, die nicht Null sein können, siehe ›Eingrenzung der Schichten der Superial-Zahlen‹.
Bleibt die Frage …
Sind alle reell algebraischen Zahlen unter den sinnvollen Koeffizienten?
$ \mathbb{A}_{\R} \overset{?}{\subseteq} \mathbb{A}_{\S} $ ist eine Frage der Nullstellen von Polynomen beliebigen Grades.
Die algebraischen Zahlen $ \mathbb{A} $ (auch $ \overline{\mathbb{Q}} $ für algebraischer Abschluss von $ \mathbb{Q} $ genannt) sind ja dadurch definiert, dass sie die Menge aller Lösungen der Nullstellen von Polynomen darstellen. Wir betrachten hier aber keine komplexen Lösungen mit Imaginäranteilen, sondern nur die reelwertigen Koeffizienten der Komponenten ihrer komplexen Lösungen, die reell algebraische Zahlen $ \mathbb{A}_{\R} $ genannt werden.
Ich vermute, diese reell algebraischen Zahlen sind alle als Koeffizienten der superialen Basis $ \s $ aktual unendlich große natürliche Zahlen:
Da reell algebraische Zahlen nicht unendlich groß sind und ich nach unserem Beweis der Überrationalitätsvermutung sowie der nachfolgend gezeigten Radikal-Abgeschlossenheit davon ausgehe, dass sie auch keine unendlich kleinen Summanden enthalten, entspricht dies der Aussage, dass sie sich neutral bezüglich der Exponentenschicht der Superial-Zahlen verhalten:
Das wird in meiner Vermutung, dass die sinnvollen superiale Koeffizienten alle reell algebraische Zahlen untersucht und bewiesen.
Wie gesagt, algebraische Zahlen sind alle möglichen Nullstellen von Polynomen beliebigen Grades. Nullstellen von Polynomen ersten bis vierten Grades sind alle komplexe Zahlen deren Koeffizienten rationale – also gebrochene – Potenzen von natürlichen Zahlen sein können, viele davon irrationale $ x $-te Wurzeln aus $ n $, deren Kehrwerte, oder deren arithmetischen Kombinationen, also inklusive deren ganzen Potenzen; auch Radikalformen genannt.
Polynome fünften Grades können neben Radikalformen auch Nullstellen haben, die durch Integrale von Radikalformen ausgedrückt werden. Leider konnte ich zu den Nullstellen von Polynomen sechsten und höheren Grades bisher nichts konkretes finden.
Sollte meine Vermutung stimmen, dann wäre diese schon etwas sehr besonderes.
Interessanterweise sind die algebraischen Zahlen, genau wie die rationalen Zahlen, abzählbar. Dies gibt uns im Lichte der hier auch entwickelten Ableitungen und Integrale mit Superial-Zahlen den Hinweis, dass es tatsächlich passen könnte, dass die reell algebraischen Zahlen die Koeffizienten der Superial-Zahlen sind.
Alle Radikalformen sind sinnvolle Koeffizienten der Superial-Zahlen
Die Wurzelausdrücke und die Radikal-Abgeschlossenheit
Wir werden nachfolgen zeigen, dass tatsächlich alle Radikalformen, also Kombinationen von reell algebraischen Wurzeln mit den Grundrechenarten und ganzer Potenzen, im Produkt mit der superialen Basis $ \s $ aktual unendlich große ganze Zahlen und damit sinnvolle Koeffizienten der Superial-Zahlen sind.
Die ganzzahligen Wurzeln
Der Beweis der Überrationalitätsvermutung liefert uns den Ansatz im Abschnitt ›‹ zu zeigen, dass alle Wurzeln beziehungsweise alle Radikale der reell algebraischen Zahlen sinnvolle Koeffizienten der Superial-Zahlen sind:
Eine folgenreiche Erkenntnis, die uns im weiteren ermöglicht, dies auch für fast alle anderen Radikalformen zu zeigen. Nur für die verschachtelten Wurzelausdrücke werden wir größeren Aufwand betreiben müssen.
Die Kehrwerte der Wurzeln
Als nächstes können wir im Abschnitt ›‹ zeigen, dass auch die Kehrwerte aller Wurzeln sinnvolle Koeffizienten der Superial-Zahlen sind:
Das vervollständigt unser Bild, worauf wir weiter aufbauen können.
Ganzzahlige Potenzen der Wurzeln und ihrer Kehrwerte
Im Abschnitt ›‹ zeigen wir, dass die Potenzen aller Wurzeln und ihrer Kehrwerte wegen
ebenfalls allesamt sinnvolle Koeffizienten der Superial-Zahlen sind.
Die Produkte der Wurzeln und ihrer Kehrwerte
Auch die Produkte der Wurzeln beziehungsweise ihrer Kehrwerte sind alle sinnvolle Koeffizienten der Superial-Zahlen
wie wir im Abschnitt ›‹ mit etwas größerem Aufwand zeigen können.
Die Summen der Wurzeln und ihrer Kehrwerte
Das die Summen von Wurzeln oder deren Kehrwerte im Produkt mit der superialen Basis $ \s $ aktual unendliche ganze Zahlen und damit sinnvolle Koeffizienten der Superial-Zahlen sind, können am Zusammenhang
sehen, da wir das Produkt dieser Summe immer in die Summe zweier Produkte aufteilen können, die beide solche ganzen Zahlen sind, wie wir im Abschnitt ›‹ zeigen.
So ist dann auch der ein sinnvoller Koeffizient.
Geschachtelte Wurzeln und ihre Kehrwerte mit Summen
Sinnvolle Koeffizienten ergeben sich auch aus geschachtelten Wurzeln, die Summen enthalten
weil die aktual unendlichen Potenzen der Primzahlen in $ \s $ die Wurzeln aller endlich tief verschachtelten Schichten knacken und so öffnen, dass die Koeffizienten in der ersten Schicht der Superial-Zahlen verbleiben. Damit ergeben sich ausschließlich ganze Superial-Zahlen.
Radikal-Abgeschlossenheit
Damit haben wir nun die Radikal-Abgeschlossenheit der sinnvollen Koeffizienten der Superial-Zahlen erreicht, was ein entscheidender Schritt ist zu erkennen, dass wirklich alle reell algebraischen Zahlen sinnvolle Koeffizienten sind.
Ganz-Abgeschlossenheit von $ \mathbb{A}_{\S} $
Um die Ganz-Abgeschlossenheit von $ \mathbb{A}_{\S} $ zu zeigen, müssen wir uns um zwei Teile kümmern: Zum einen zeigen, dass $ \mathbb{A}_{\R} \overset{?}{\subseteq} \mathbb{A}_{\S} $ gilt und zum anderen zeigen, dass keine transzendenten Zahlen in $ \mathbb{A}_{\S} $ sind.
Fangen wir damit an, zu zeigen, dass alle reellen Nullstellen von Polynomen in $ \mathbb{A}_{\S} $ liegen, also alle Zahlen aus $ \mathbb{A}_{\R} $.
Nullstellen von Polynomen ersten bis vierten Grades sind sinnvolle Koeffizienten der Superial-Zahlen
Zu algebraischen Zahlen, die Nullstellen von Polynomen ersten bis vierten Grades entsprechen, finden wir in Wikipedia:
» Im Rahmen der Galoistheorie werden diese Zwischenkörper untersucht, um so tiefe Einblicke über die Lösbarkeit oder Nichtlösbarkeit von Gleichungen zu erhalten. Ein Resultat der Galoistheorie ist, dass zwar jede komplexe Zahl, die man aus rationalen Zahlen durch Verwendung der Grundrechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) sowie durch Ziehen n-ter Wurzeln (n eine natürliche Zahl) erhalten kann (man nennt solche Zahlen „durch Radikale darstellbar“), algebraisch ist, umgekehrt aber algebraische Zahlen existieren, die man nicht in dieser Weise darstellen kann; alle diese Zahlen sind Nullstellen von Polynomen mindestens 5. Grades. «
Damit sind alle Koeffizienten von Superial-Zahlen, die den Realanteilen von Nullstellen der Polynome ersten bis vierten Grades entsprechen, vollständig abgedeckt. Wir wissen nun also, dass die Realanteile dieser Nullstellen alle sinnvolle Koeffizienten der Superial-Zahlen sind.
Nullstellen von Polynomen fünften und höheren Grades
Für die Lösung der Nullstellen von Polynomen fünften Grades können wir folgendes in Wikipedia finden:
» Eine allgemeine Lösungsformel, die nur mit den vier Grundrechenarten und dem Wurzelziehen auskommt,
gibt es für Gleichungen höheren als vierten Grades nicht (ein Resultat der Galoistheorie).
[…]
Gleichungen fünften Grades lassen sich mit Hilfe elliptischer Funktionen allgemein lösen.
Als Erster hat das Charles Hermite 1858 mit jacobischen Thetafunktionen gezeigt. «
Umgekehrt gibt es algebraische Zahlen, die keine Lösungen der Nullstellen von Polynomen ersten bis vierten Grades sind und doch mit Radikalen darstellbar, denn: »Manche Gleichungen fünften Grades können mit Wurzeln gelöst werden, […]«
Vermutung, dass die superialen Koeffizienten genau und nur die reell algebraische Zahlen sind
Für den Rest der reell algebraischen Zahlen scheint es nicht simpel zu sein zu zeigen, dass sie ebenfalls sinnvolle Koeffizienten der Superial-Zahlen sind.
Wegen der Ganz-Abgeschlossenheit der algebraischen Zahlen und der bereits gezeigten sowie der Erkenntnisse zur transzendenten Zahl $ \e_{\s} $, die offensichtlich superiale aktual unendlich kleine Summanden enthält, sowie meiner Vermutung, dass dies auch für alle anderen transzendenten Zahlen gilt, vermute ich, dass wirklich genau alle reell algebraischen Zahlen $ \mathbb{A}_{\R} $, nicht weniger, aber auch nicht mehr, sinnvolle Koeffizienten der Superial-Zahlen sind. Denn die Linie, die die algebraischen Zahlen von den transzendenten trennt, ist im Grunde die gleiche, die die einzelnen fraktalen Ebenen der Superial-Zahlen trennt.
Genau das ist unsere ›Algebraische-Koeffizienten-Vermutung‹, ergänzt durch unsere ›Superiale-Transzendenz-Vermutung‹, also, dass Formel und damit auch Formel stimmen. Das wäre schon ziemlich erfreulich und cool.
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Radikale sind sinnvolle Koeffizienten |
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Das Ergebnis des Beweises der Überrationalitätsvermutung
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Um die Sache weiter systematisch anzugehen hatte ich die Idee, mich als nächstes mit den irrationalen Radikalen der algebraischen Zahlen zu beschäftigen, den ganzzahligen Wurzeln aus ganzen Zahlen, die irrationale Zahlen ergeben.
Wenn die irrationalen algebraischen Zahlen, die durch Radikale darstellbar sind, im Produkt mit unserem $ \s $ aktual unendlich große ganze Zahlen ergeben sollen, um sinnvolle Koeffizienten der Superial-Zahlen zu sein, dann muss jedes dieser irrationalen Radikale einem Bruch aus aktual unendlich großem ganzen Nenner und Zähler entsprechen. Die Faktoren im Nenner und Zähler, die jeweils die Ganzzahligkeit erzeugen, müssen ebenso Faktoren im Primzahl-Flächenprodukt von $ \s $ sein, damit $ \s $ als Faktor auch diese Ganzzahligkeit erzeugen kann.
Genau das zeigen wir mit dem Beweis der Überrationalitätsvermutung und entdecken Zusammenhänge, die mir ganz neu erscheinen.
Die Wurzel aus Zwei und die natürlichen Superial-Zahlen
Wir erkennen im Speziellen, dass wir den Faktor $ 2^{ω} $ im Primzahl-Flächenprodukt von $ \s $ finden, der aus der zweiten Wurzel aus Zwei $ \left| \sqrt[2]{ 2 } \,\right| = 2^{\frac{1}{2}} $ eine aktual unendlich große ganze Zahl macht:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { 2^{\frac{ 1 }{ 2 }} \cdot 2^{ω}\;\;\;\in\;\;\;\mathbb{N}_{\infty} } \] | (SN.ÜV.32) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}2^{ω + \frac{ 1 }{ 2 }}\;\;\;\in\;\;\;\mathbb{N}_{\infty} \;\; , } \] | (SN.ÜV.33) |
wobei $ ω $ ein transfiniter Wert ist und nach unseren Axiomen gilt
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( \forall q \in \mathbb{Q} \setminus \left\{ 0 \right\} \right) \left[\; ω + q\;\;\;\raise{-.14ex}{᠄}\mspace{-4.5mu}\neq\;\;\;ω \;\right] \;\; . } \] | (SN.ÜV.30) |
Weil dieser Faktor auch in $ \s $ steckt, erkennen wir weiter, dass dann auch $ \s $ im Produkt mit der zweiten Wurzel aus Zwei eine aktual unendlich große ganze Zahl sein muss und dann die zweite Wurzel aus Zwei ein sinnvoller Koeffizient der Superial-Zahlen ist:
Die Lösung nach der oben aufgeworfenen Frage eines überrationalen Bruchs aus aktual unendlich großem Nenner und Zähler sieht in diesem Fall wie folgt aus:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left| \sqrt{ 2 } \,\right|\;\;\;=\;\;\;2^{\frac{ 1 }{ 2 }}\;\;\;=\;\;\;\frac{ 2^{\frac{ 1 }{ 2 }} \cdot 2^{ω} }{ 2^{ω} } } \] | (SN.ÜV.28) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}2^{\frac{ 1 }{ 2 }}\;\;\;=\;\;\;\frac{ 2^{ω + \frac{ 1 }{ 2 }} }{ 2^{ω} } } \] | (SN.ÜV.29) |
Das vollständige Kürzen von $ 2^{ω} $ macht hier in sofern keinen Sinn, weil dann der Zähler keine ganze Zahl mehr wäre, was aber gesucht war. Unsere neue Erkenntnis zeigt uns jedoch, dass wir den Faktor Zwei im Zähler und Nenner so oft kürzen oder hinzufügen können, solange es aktual unendlich viele Zweien in der Potenz bleiben, ohne den Wahrheitsgehalt der Aussage zu verändern, was im Folgenden sehr wichtig wird.
Die $ x $-te Wurzel aus $ n $ und die natürlichen Superial-Zahlen
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• Die scheinbar viel elegantere Lösung dieser Herleitung aus dem Abschnitt Dies gilt sogar für alle Wurzeln aus natürlichen Zahlen und deren Potenzen vielleicht hier einführen?
Im ganz allgemeinen Fall der $ x $-ten Wurzel aus $ n $ wie $ \left| \sqrt[x]{ n } \,\right| = n^{\frac{1}{x}} $ stellt sich die Sache wie folgt dar
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { n^{\frac{ 1 }{ x }} \cdot n^{ω}\;\;\;\in\;\;\;\mathbb{N}_{\infty} } \] | (SN.ÜV.125) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { n^{ω}\;\;\;\in\;\;\;\mathbb{N}_{\infty} } \] | (SN.ÜV.124) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( \forall n, x \in \mathbb{N}^{+} \right) \left( n, x \ge 2 \right) \left[\; n^{\frac{ 1 }{ x }}\;\;\;=\;\;\;\frac{ n^{\frac{ 1 }{ x }} \cdot n^{ω} }{ n^{ω} } \;\right] } \] | (SN.ÜV.127) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}n^{\frac{ 1 }{ x }}\;\;\;=\;\;\;\frac{ n^{ω + \frac{ 1 }{ x }} }{ n^{ω} } } \] | (SN.ÜV.128) |
und im unterschied zum vorhergehenden Beispiel ist es so, dass die natürliche Zahl $ n $ wegen des Fundamentalsatzes der Arithmetik eine Primfaktorzerlegung haben kann, in der einzelne Primzahlen in höheren Potenzen als Eins vorkommen können:
Dies hat zur Folge, dass $ n $ in der Potenz der vollständigen Induktion $ n^{ω} $ kein Teiler der superialen Basis $ \s $ ist
und aus diesem Grund können wir aus unseren bisherigen Erkenntnissen nicht folgern, dass $ n^{\frac{ 1 }{ x }} \cdot \s $ immer eine natürliche Superial-Zahl ist und damit alle $ n^{\frac{ 1 }{ x }} $ sinnvolle Koeffizienten der Superial-Zahlen sind.
Wir müssen also klären, ob auch die aktual unendlichen Teiler von $ \s $, in Form der Produkte von Primzahlen mit Potenzen der vollständigen Induktion $ p_{i}^{ω} $, ausreichen, um im Produkt mit diesen Wurzeln immer natürliche Superial-Zahlen zu erzeugen. Und dazu drücken wir die Wurzel als Bruch von Potenzen der Primzahlen von $ n $ aus:
Separieren wir die Produkte nach den Faktoren der einzelnen Primzahlpotenzen $ p_{i}^{k_{i}} $ in $ n $, dann sieht das Bild folgendermaßen aus
und es stellt sich die Frage, ob für jede separate Primzahlpotenz nicht als Faktor auch die einfache vollständige Induktion in der Potenz $ p_{i}^{ω} $ ausreicht, um die Wurzel $ \left( p_{i}^{k_{i}} \right)^{\frac{ 1 }{ x }} $ zu einer ganzen Zahl zu machen
denn nur dann, wenn das gegeben ist, ist auch jede dieser Wurzeln im Produkt mit unserer superialen Basis $ \s $ eine aktual unendlich große natürliche Superial-Zahl, weil $ \s $ eben „nur“ jede Primzahl in einfacher vollständiger Induktionen $ p_{i}^{ω} $ enthält:
Dabei stellt $ \rad(n) $ ein Produkt aller Primzahlen in $ n $ in einfacher Potenz dar und $ \rad(n)^{ω} $ teilt daher des Primzahl-Flächenprodukt von $ \s $ exakt.
Wie oben gesagt stellen wir im Beweis der Überrationalitätsvermutung fest, dass wir in der Wahl der aktual unendlich großen ganzen Potenz von $ n $ frei sind, um die überrationalen Brüche der $ x $-ten Wurzeln aus $ n $ darzustellen, solange die Potenz größer bleibt, als jede endliche natürliche Zahl – also solange sie nicht endlich wird. Das haben wir schon in Formel SN.ÜV.121 für die aktual unendliche Potenz $ g $ gefunden:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( \forall i \in \mathbb{N} \right) \left( \forall g \in \mathbb{N}_{\infty} \right) \left( i < g \right) \left[\; n^{\frac{ 1 }{ x }} \cdot n^{g}\;\;\;\in\;\;\;\mathbb{N}_{\infty} \;\right] } \] | (SN.ÜV.121) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}\left( p_{i}^{k_{i}} \right)^{\frac{ 1 }{ x }} \cdot \left( p_{i}^{k_{i}} \right)^{g}\;\;\;\in\;\;\;\mathbb{N}_{\infty} } \] | (SN.SinK.R.20) |
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\left( p_{i}^{k_{i}} \right)^{\frac{ 1 }{ x }} \cdot p_{i}^{k_{i} \cdot g}\;\;\;\in\;\;\;\mathbb{N}_{\infty} } \] | (SN.SinK.R.21) |
So können wir für $ k_{i} \cdot g $ auch die vollständige Induktion $ ω $ einsetzen und damit den Exponenten des Primzahl-Flächenprodukts unserer superialen Basis $ \s $ verwenden
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( p_{i}^{k_{i}} \right)^{\frac{ 1 }{ x }} \cdot p_{i}^{ω}\;\;\;\in\;\;\;\mathbb{N}_{\infty} \;\; , } \] | (SN.SinK.R.22) |
was wunderbarerweise genau die Eigenschaft ist, die wir an dieser Stelle für sinnvolle Koeffizienten der Superial-Zahlen benötigen.
So ergeben sich dann folgende Aussagen für die $ x $-te Wurzel aus $ n $:
Damit sind alle durch Radikale darstellbaren algebraischen Zahlen sinnvolle Koeffizienten der Superial-Zahlen:
Dies ist sehr bemerkenswert und stößt eine neue Tür für das Verständnis von irrationalen Zahlen und für die Nützlichkeit der Superial-Zahlen auf.
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Kehrwerte der Radikale sind sinnvolle Koeffizienten |
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Als nächstes betrachten wir die Kehrwerte der Wurzeln oder anders ausgedrückt, die negativen Wurzeln. Dazu gucken wir uns diese jetzt näher an.
Sei es erlaubt, dass in der $ x $-te Wurzel aus $ n $ die Wurzel $ x $ eine negative Zahl,
aber nicht Null ist
dann bleibt der Bruch trotzdem ein überrationaler Bruch aus zwei aktual unendlichen ganzen Zahlen, wie wir sehen.
Die $ x $-te Wurzel aus $ n $ rutscht einfach in den Nenner des Bruchs zum anderen identischen aktual unendlich großen Primzahlturm, wo das Produkt dann ebenso eine aktual unendlich große ganze Zahl ergibt, wie zuvor im Zähler. Das ist plausibel.
Jedoch stellt sich wieder die Frage: Ist das Produkt des Kehrwerts einer Wurzel mit der superialen Basis $ \s $ auch immer eine natürliche Superial-Zahl? Dies ist nicht ganz so offensichtlich, weil es bedeutet, dass $ \s $ durch eine $ x $-te Wurzel aus $ n $ geteilt auch immer eine ganze positive Superial-Zahl sein muss:
Ob die Division von $ \s $ durch eine möglicherweise irrationale positive Wurzel auch immer eine aktual unendlich große ganze Zahl bleibt, erscheint in der Tat fragwürdig.
Ich möchte damit ansetzen, dies an der Quadratwurzel aus $ n $ zu zeigen und von hier aus zu verallgemeinern. Denn im Fall der Quadratwurzel können wir durch eine erlaubte Division ganz leicht zeigen, dass unsere fragliche Aussage wahr ist:
Sei die uns bekannte wahre Aussage, dass die
Quadratwurzel aus $ n $ im Produkt mit der superialen Basis $ \s $ eine ganze Zahl ist
unser Ansatz, so gelangen wir durch die erlaubte Division von $ \s $ durch $ n $, die den Wahrheitsgehalt der Aussage nicht verändert, und deren Umformung
zu der Aussage, dass auch der Kehrwert der Quadratwurzel aus $ n $ im Produkt mit der superialen Basis $ \s $ eine ganze Zahl sein muss, was wir zeigen wollten.
Nun verallgemeinern wir auf die generelle Aussage, mit dem Kehrwert der $ x $-ten Wurzel aus einer endlichen natürlichen Zahl $ n $ größer gleich Zwei.
Sei die uns bekannte wahre Aussage, dass die
$ x $-te Wurzel aus $ n $ im Produkt mit der superialen Basis $ \s $ eine ganze Zahl ist
unser Ansatz, so gelangen wir durch die erlaubte Division von $ \s $ durch $ n $ und durch einen Faktor, der eine erlaubte Potenz der $ x $-ten Wurzel aus $ n $ ist, wie wir im hergeleitet haben, die beide den Wahrheitsgehalt der Aussage nicht verändern, und durch deren Umformung
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}n^{\frac{ 1 }{ x }} \cdot \left( n^{\frac{ 1 }{ x }} \right)^{x - 2} \cdot \frac{ \s }{ n }\;\;\;\in\;\;\;\mathbb{S}_{\N,\{ 1 \}}^{+} } \] | (SN.SinK.KR.10) | ||
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| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}n^{\frac{ 1 }{ x }} \cdot n^{\frac{ x - 2 }{ x }} \cdot \frac{ \s }{ n^{\frac{ x }{ x }} }\;\;\;\in\;\;\;\mathbb{S}_{\N,\{ 1 \}}^{+} } \] | (SN.SinK.KR.11) | ||
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| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}n^{\frac{ 1 }{ x }} \cdot n^{\frac{ x - 2 }{ x }} \cdot n^{- \frac{ x }{ x }} \cdot \s\;\;\;\in\;\;\;\mathbb{S}_{\N,\{ 1 \}}^{+} } \] | (SN.SinK.KR.12) | ||
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| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}n^{\frac{ 1 }{ x }} \cdot n^{\frac{ x - 2 - x }{ x }} \cdot \s\;\;\;\in\;\;\;\mathbb{S}_{\N,\{ 1 \}}^{+} } \] | (SN.SinK.KR.13) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}n^{\frac{ 1 }{ x }} \cdot n^{- \frac{ 2 }{ x }} \cdot \s\;\;\;\in\;\;\;\mathbb{S}_{\N,\{ 1 \}}^{+} } \] | (SN.SinK.KR.14) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}n^{\frac{ 1 - 2 }{ x }} \cdot \s\;\;\;\in\;\;\;\mathbb{S}_{\N,\{ 1 \}}^{+} } \] | (SN.SinK.KR.15) | ||
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}n^{- \frac{ 1 }{ x }} \cdot \s\;\;\;\in\;\;\;\mathbb{S}_{\N,\{ 1 \}}^{+} } \] | (SN.SinK.KR.16) | ||
zu der Aussage, dass auch der Kehrwert der $ x $-ten Wurzel aus $ n $ im Produkt mit der superialen Basis $ \s $ eine ganze Zahl sein muss, die nur in der ersten Exponentenschicht liegt. So kommen wir dann auch hier zu der Aussage, dass
gilt, was wir zeigen wollten.
Über erlaubte Operationen, die die Ganzzahligkeit unseres Ansatzes erhalten, erreichen wir also die gesuchte Aussage, dass auch die Kehrwerte der $ x $-ten Wurzeln aus $ n $ natürliche Superial-Zahlen sind.
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Ganzzahlige Potenzen der Radikale und ihrer Kehrwerte |
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Können wir auch für die ganzzahligen Potenzen der Wurzeln und ihrer Kehrwerte bestätigen, dass ihre Produkte mit der superialen Basis $ \s $ natürliche Superial-Zahlen sind.
Sei die ganzzahlige Potenz einer Wurzel oder ihres Kehrwerts im Produkt mit der superialen Basis
eine natürliche Superial-Zahl, dann können wir dies umformen zu
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}n^{\frac{ k }{ y }} \cdot \s\;\;\;\overset{?}{\in}\;\;\;\mathbb{S}_{\N,\{ 1 \}}^{+} } \] | (SN.SinK.GP.2) | ||
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\left( n^{k} \right)^{\frac{ 1 }{ y }} \cdot \s\;\;\;\overset{?}{\in}\;\;\;\mathbb{S}_{\N,\{ 1 \}}^{+} \;\;, } \] | (SN.SinK.GP.3) | ||
wobei wir sehen, dass wegen
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { n^{k} \in \mathbb{N}^{+} \setminus \left\{ 1 \right\} } \] | (SN.SinK.GP.4) |
die neue Basis einfach nur ein anderer natürlicher Radikand $ n^{k} $ der Wurzel ist, so dass unsere anfängliche Aussage
wahr ist. Und so können wir dann auch sagen, dass
ebenso wahr ist.
Wir brauchen uns also um die ganzzahligen Potenzen der Wurzeln oder ihrer Kehrwerte nicht zu sorgen und weiter zu kümmern. Sie sind völlig neutral.
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Produkte der Radikale und ihrer Kehrwerte |
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Nun interessiert uns, ob auch die Produkte der Wurzeln und ihrer Kehrwerte sinnvolle Koeffizienten der Superial-Zahlen sind. Um einen Einstieg zu finden, schauen wir uns erst Wurzeln und deren Kehrwerte mit gleicher Basis an.
Die Produkte der Wurzeln mit gleicher Basis
Wie sieht es nun mit den Produkten von Wurzeln, oder von deren Kehrwerten, aus?
Sei das Produkt zweier Wurzeln beziehungsweise ihres Kehrwerts mit gleicher Basis im Produkt mit der superialen Basis
eine natürliche Superial-Zahl, dann können wir dies umformen zu
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}n^{\frac{ z }{ y \cdot z }} \cdot n^{\frac{ y }{ y \cdot z }} \cdot \s\;\;\;\overset{?}{\in}\;\;\;\mathbb{S}_{\N,\{ 1 \}}^{+} } \] | (SN.SinK.PR.2) | ||
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}n^{\frac{ y + z }{ y \cdot z }} \cdot \s\;\;\;\overset{?}{\in}\;\;\;\mathbb{S}_{\N,\{ 1 \}}^{+} \;\;, } \] | (SN.SinK.PR.3) | ||
wobei wir sehen, dass wegen
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { n^{\frac{ 1 }{ y \cdot z }} \cdot \s\;\;\;\in\;\;\;\mathbb{S}_{\N,\{ 1 \}}^{+} } \] | (SN.SinK.PR.4) |
und weil wir im geklärt haben, dass ganzzahlige Potenzen der Wurzeln und ihrer Kehrwerte im Produkt mit der superialen Basis natürliche Superial-Zahlen sind
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( n^{\frac{ 1 }{ y \cdot z }} \right)^{y + z} \cdot \s\;\;\;\in\;\;\;\mathbb{S}_{\N,\{ 1 \}}^{+} \;\;, } \] | (SN.SinK.PR.5) |
so ist auch
wahr.
Wir brauchen uns also um die Produkte der Wurzeln oder ihrer Kehrwerte auch nicht zu sorgen. Sie sind auch im Produkt mit der superialen Basis $ \s $ natürliche Superial-Zahlen.
Die Produkte der Wurzeln mit unterschiedlicher Basis
Wie stellt es sich aber bei den Produkten von Wurzeln, oder von deren Kehrwerten, mit ungleicher Basis dar?
Sei das Produkt zweier Wurzel beziehungsweise ihres Kehrwerts mit unterschiedlicher Basis im Produkt mit der superialen Basis
eine natürliche Superial-Zahl, dann helfen uns die Einsichten aus dem Abschnitt . Denn wir können die Basis jedes Faktoren vor $ \s $ wegen des Fundamentalsatzes der Arithmetik in ihre Primzahlpotenzen zerlegen und gegebenenfalls neu zusammenfassen
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( \exists k_{n,i} \in \mathbb{N} \right) \left( \forall p_{i} \in \mathbb{P} \right) \left[\; n\;\;\;=\;\;\;p_{1}^{k_{n,1}} \cdot p_{2}^{k_{n,2}} \cdot p_{3}^{k_{n,3}} \cdot p_{4}^{k_{n,4}} \cdot \cdots \;\right] } \] | (SN.SinK.PR.8) | ||
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}n^{\frac{ 1 }{ y }}\;\;\;=\;\;\;\left( p_{1}^{k_{n,1}} \cdot p_{2}^{k_{n,2}} \cdot p_{3}^{k_{n,3}} \cdot p_{4}^{k_{n,4}} \cdot \cdots \right)^{\frac{ 1 }{ y }} } \] | (SN.SinK.PR.9) | ||
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}n^{\frac{ 1 }{ y }}\;\;\;=\;\;\;p_{1}^{\frac{ k_{n,1} }{ y }} \cdot p_{2}^{\frac{ k_{n,2} }{ y }} \cdot p_{3}^{\frac{ k_{n,3} }{ y }} \cdot p_{4}^{\frac{ k_{n,4} }{ y }} \cdot \cdots } \] | (SN.SinK.PR.10) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( \exists k_{m,i} \in \mathbb{N} \right) \left( \forall p_{i} \in \mathbb{P} \right) \left[\; m\;\;\;=\;\;\;p_{1}^{k_{m,1}} \cdot p_{2}^{k_{m,2}} \cdot p_{3}^{k_{m,3}} \cdot p_{4}^{k_{m,4}} \cdot \cdots \;\right] } \] | (SN.SinK.PR.11) | ||
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}m^{\frac{ 1 }{ z }}\;\;\;=\;\;\;\left( p_{1}^{k_{m,1}} \cdot p_{2}^{k_{m,2}} \cdot p_{3}^{k_{m,3}} \cdot p_{4}^{k_{m,4}} \cdot \cdots \right)^{\frac{ 1 }{ z }} } \] | (SN.SinK.PR.12) | ||
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}m^{\frac{ 1 }{ z }}\;\;\;=\;\;\;p_{1}^{\frac{ k_{m,1} }{ z }} \cdot p_{2}^{\frac{ k_{m,2} }{ z }} \cdot p_{3}^{\frac{ k_{m,3} }{ z }} \cdot p_{4}^{\frac{ k_{m,4} }{ z }} \cdot \cdots \;\; , } \] | (SN.SinK.PR.13) | ||
also ergibt sich für unser Produkt
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}n^{\frac{ 1 }{ y }} \cdot m^{\frac{ 1 }{ z }}\;\;\;=\;\;\;p_{1}^{\frac{ k_{n,1} }{ y } + \frac{ k_{m,1} }{ z }} \cdot p_{2}^{\frac{ k_{n,2} }{ y } + \frac{ k_{m,2} }{ z }} \\ \qquad\qquad\qquad\quad\;\;\; \cdot p_{3}^{\frac{ k_{n,3} }{ y } + \frac{ k_{m,3} }{ z }} \cdot p_{4}^{\frac{ k_{n,4} }{ y } + \frac{ k_{m,4} }{ z }} \cdot \cdots } \] | (SN.SinK.PR.14) | ||
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}n^{\frac{ 1 }{ y }} \cdot m^{\frac{ 1 }{ z }}\;\;\;=\;\;\;p_{1}^{\frac{ k_{n,1} \cdot z }{ y \cdot z } + \frac{ k_{m,1} \cdot y }{ z \cdot y }} \cdot p_{2}^{\frac{ k_{n,2} \cdot z }{ y \cdot z } + \frac{ k_{m,2} \cdot y }{ z \cdot y }} \\ \qquad\qquad\qquad\quad\;\;\; \cdot p_{3}^{\frac{ k_{n,3} \cdot z }{ y \cdot z } + \frac{ k_{m,3} \cdot y }{ z \cdot y }} \cdot p_{4}^{\frac{ k_{n,4} \cdot z }{ y \cdot z } + \frac{ k_{m,4} \cdot y }{ z \cdot y }} \cdot \cdots } \] | (SN.SinK.PR.15) | ||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}n^{\frac{ 1 }{ y }} \cdot m^{\frac{ 1 }{ z }}\;\;\;=\;\;\;p_{1}^{\frac{ k_{n,1} \cdot z + k_{m,1} \cdot y }{ y \cdot z }} \cdot p_{2}^{\frac{ k_{n,2} \cdot z + k_{m,2} \cdot y }{ y \cdot z }} \\ \qquad\qquad\qquad\quad\;\;\; \cdot p_{3}^{\frac{ k_{n,3} \cdot z + k_{m,3} \cdot y }{ y \cdot z }} \cdot p_{4}^{\frac{ k_{n,4} \cdot z + k_{m,4} \cdot y }{ y \cdot z }} \cdot \cdots } \] | (SN.SinK.PR.16) | ||
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}n^{\frac{ 1 }{ y }} \cdot m^{\frac{ 1 }{ z }}\;\;\;=\;\;\;\left( p_{1}^{\frac{ 1 }{ y \cdot z }} \right)^{k_{n,1} \cdot z + k_{m,1} \cdot y} \cdot \left( p_{2}^{\frac{ 1 }{ y \cdot z }} \right)^{k_{n,2} \cdot z + k_{m,2} \cdot y} \\ \qquad\qquad\qquad\quad\;\;\; \cdot \left( p_{3}^{\frac{ 1 }{ y \cdot z }} \right)^{k_{n,3} \cdot z + k_{m,3} \cdot y} \cdot \left( p_{4}^{\frac{ 1 }{ y \cdot z }} \right)^{k_{n,4} \cdot z + k_{m,4} \cdot y} \cdot \cdots } \] | (SN.SinK.PR.17) | ||
und wir sehen, dass alle Potenzen rationale Zahlen sind, in Nenner und Zähler also ganze Zahlen haben, was ganzzahligen Potenzen ganzzahliger Wurzeln, oder deren Kehrwerten, entspricht. Wir , dass solche Faktoren von $ \s $ in endlicher Anzahl natürliche Superial-Zahlen sind
und damit erkennen wir, unsere Ausgangsannahme
sowie dann auch
müssen wahr sein.
Wir brauchen uns also um die Produkte der Wurzeln mit unterschidlicher Basis, oder ihrer Kehrwerten, nicht zu sorgen. Sie sind auch im Produkt mit der superialen Basis $ \s $ natürliche Superial-Zahlen.
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Summen der Radikale und ihrer Kehrwerte |
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Sind auch die Summen der Wurzeln und ihrer Kehrwerte sinnvolle Koeffizienten der Superial-Zahlen?
Die Summe einer Wurzel, oder ihres Kehrwerts, mit einer endlichen ganzen Zahlen
Wir müssen nun noch untersuchen, ob auch Summen von irrationalen Wurzeln, oder ihren Kehrwerten, mit endlichen ganzen Zahlen, die auch zu den irrationalen algebraischen Koeffizienten gehören, als Produkt mit unserer superialen Basis $ \s $ ganze beziehungsweise natürliche Superial-Zahlen sind.
Nehmen wir an, dass die irrationale Wurzel, oder ihr Kehrwerten, in einer Summe mit der endlichen ganzen Zahl $ z $
zusammen im Produkt mit $ \s $
zu den natürlichen Superial-Zahlen gehört, dann erhalten wir durch Ausmultiplizieren:
Da beide Summanden aktual unendlich große natürliche oder ganze Superial-Zahlen sind
und die Summe zweier ganzer Superial-Zahlen immer zu dieser Menge gehört, folgt daraus, dass die untersuchte Summe
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}\pm n^{\frac{ 1 }{ y }} \cdot \s \;+\; z \cdot \s\;\;\;\in\;\;\;\mathbb{S}_{\Z,\{ 1 \}} \;\;, } \] | (SN.SinK.SR.5) |
unter den obigen Bedingungen, immer eine natürliche Superial-Zahl ist, was wir zeigen wollten.
Die Summen von irrationalen Wurzeln, oder ihren Kehrwerten sind also ebenfalls sinnvolle Koeffizienten der Superial-Zahlen.
Auch der Goldene Schnitt $ φ $ ist eine Superial-Zahl
So sind dann auch algebraische Zahlen wie der Goldene Schnitt $ φ $ als Faktoren der superialen Basis $ \s $ natürliche Superial-Zahlen.
Nehmen wir an, dass der irrationale Goldene Schnitt $ φ $ im Produkt mit $ \s $
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { φ \cdot \s\;\;\;\overset{?}{\in}\;\;\;\mathbb{S}_{\N,\{ 1 \}} } \] | (SN.SinK.SR.6) |
mit dem Wert seiner Definition
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { φ\;\;\;=\;\;\;\frac{ \left| \sqrt{ 5 } \,\right| + 1 }{ 2 } } \] | (SN.SinK.SR.7) |
zu den natürlichen Superial-Zahlen gehört, dann erhalten wir durch Einsetzen, Umstellen und Ausmultiplizieren:
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Rightarrow\hspace{10mm}\frac{ \left| \sqrt{ 5 } \,\right| + 1 }{ 2 } \cdot \s\;\;\;\overset{?}{\in}\;\;\;\mathbb{S}_{\N,\{ 1 \}} } \] | (SN.SinK.SR.8) | ||
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}\left( 5^{\frac{ 1 }{ 2 }} + 1 \right) \cdot \frac{ \s }{ 2 }\;\;\;\overset{?}{\in}\;\;\;\mathbb{S}_{\N,\{ 1 \}} } \] | (SN.SinK.SR.9) | ||
| |||
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \Leftrightarrow\hspace{10mm}5^{\frac{ 1 }{ 2 }} \cdot \frac{ \s }{ 2 } + \frac{ \s }{ 2 }\;\;\;\overset{?}{\in}\;\;\;\mathbb{S}_{\N,\{ 1 \}} } \] | (SN.SinK.SR.10) | ||
Da beide Summanden aktual unendlich große natürliche Superial-Zahlen sind
und die Summe zweier natürlicher Superial-Zahlen immer zu dieser Menge gehört, folgt daraus, dass die untersuchte Summe
auch immer eine aktual unendlich große natürliche Superial-Zahl ist, was wir zeigen wollten.
Wir fahren fort, weitere Varianten der reell algebraischen Zahlen auf die Ganzzahligkeit unter Faktorisierung mit $ \s $ zu überprüfen.
Summen und Differenzen von Wurzeln
Ganz ähnlich verhält es sich mit Summen von zwei oder mehr Wurzeln.
Nehmen wir an, dass eine Summe aus zwei irrationalen Wurzeln, oder ihrer jeweiligen Kehrwerte, im Produkt mit $ \s $
zu den natürlichen Superial-Zahlen gehört, dann erhalten wir durch Ausmultiplizieren:
Da beide Summanden ganze Superial-Zahlen sind
und die Summe zweier ganzer Superial-Zahlen immer zu dieser Menge gehört, folgt daraus, dass die untersuchte Summe
unter den obigen Bedingungen, immer eine natürliche Superial-Zahl ist, was wir zeigen wollten.
So sind dann alle algebraischen Zahlen, die durch Kombinationen arithmetischer Operationen von Radikalen – Wurzelausdrücken –, oder deren Kehrwerte, inklusive ganzzahliger Potenzen, dargestellt werden können, natürliche Superial-Zahlen.
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Geschachtelte Radikale oder ihre Kehrwerte mit Summen |
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Bisher haben wir noch keine vollständige Radikal-Abgeschlossenheit gezeigt, da die geschachtelten Radikale und ihre Kehrwerte mit Summen noch fehlen.
In unserer aktuellen Koeffizientenmenge $ \mathbb{A}_{\S} $ sind also bisher alle natürlichen Zahlen $ \mathbb{N} $, alle ganzen Zahlen $ \mathbb{Z} $, alle rationalen Zahlen $ \mathbb{Q} $ und alle Radikalformen, ohne geschachtelte Radikale und ihre Kehrwerte mit Summen, enthalten, jeweils als positiver und negativer Wert sowie auch die Null.
Das beliebig tiefe Aufbrechen verschachtelter Wurzelausdrücke
Sinnvolle Koeffizienten ergeben sich auch aus geschachtelten Wurzeln, die Summen enthalten, wie wir jetzt zeigen.
Betrachten wir eine geschachtelte Wurzel im Produkt mit unserer superialen Basis $ \s $, die eine Summe enthält,
und fragen, ob das Ergebnis rein in der ersten Exponentenschicht $ \mathbb{S}_{\N,\{ 1 \}}^{+} $ liegt, wobei wir die Wurzeln durch gebrochene Exponenten ausdrücken wollen, um deren Behandlung zu vereinfachen:
Diese Schreibweise ist im Abschnitt ›Eingrenzung der Schichten der Superial-Zahlen‹ in Formel SN.Fo.F.ES.1 definiert. Dann müsste ihr Koeffizient ein sinnvoller Koeffizient sein und damit in $ \mathbb{A}_{\S} $ liegen.
Nun können wir $ \s $ durch Potenzierung unter die Wurzel schreiben:
Die Wurzel auf der rechten Seite lässt sich beseitigen, indem wir beide Seiten mit $ y $ potenzieren, weil wir schon wissen, dass dies die Aussage nicht verändert. Wir müssen nur berücksichtigen, dass dies die Koeffizientenschicht auf $ y $ erhöht:
Das ist wegen dem schon aus den oberen Zusammenhängen bekannten $ n^{\frac{ 1 }{ z }} + a_{s} \in \mathbb{A}_{\S}^{+} $ eine wahre Aussage, die auch wieder auf die erste Schicht verschoben werden kann
ohne sie in ihrem Wahrheitsgehalt zu verändern. Das beantwortet dann auch die Eingangsfrage, ob
| \[ \definecolor{formcolor}{RGB}{0,0,0} \color{formcolor} { \left( n^{\frac{ 1 }{ z }} + a_{s} \right)^{\frac{ 1 }{ y }} \cdot \s\;\;\;\in\;\;\;\mathbb{S}_{\N,\{ 1 \}}^{+} } \] | (SN.SinK.GRS.8) |
als wahr, was wir im Grunde zeigen wollten. Aber dies gilt dann im Grunde auch für die negativen Werte dieser Wurzelsummen
was wir eigentlich zeigen wollten.
Solange die Potenz von $ \s $ größer gleich Eins ist – also die Potenz der Primzahlen in ihr aktual unendlich groß ist –, solange ist ihre genaue aktual unendliche Größe nicht dafür entscheidend, aus einer endlichen Zahl $ \pm \left( n^{\frac{ 1 }{ z }} + a_{s} \right)^{\frac{ 1 }{ y }} $ eine ganze Zahl zu machen. Jedes $ \s^{d} $, mit $ d \ge 1 $, ergibt im Produkt damit eine aktual unendlich große ganze Zahl. Das zeigen wir im Beweis der Überrationalitätsvermutung und daran anschließend im Abschnitt ›‹ im Detail.
Dieses Argument kann bei verschachtelten Wurzelausdrücken wiederholt angewandt werden. Wir sehen folglich: Die aktual unendlich großen Potenzen der Primzahlen in $ \s $ knacken alle endlich oft verschachtelten Wurzelausdrücke.
Verschachtelte Wurzelausdrücke sind also nichts anderes, als die Wiederholte Anwendung des Arguments, mit dem die Wurzeln zu aktual unendlich großen ganzen Zahlen werden.
Radikal-Abgeschlossenheit
Damit erreichen wir nun tatsächlich die Radikal-Abgeschlossenheit der sinnvollen Koeffizienten $ \mathbb{A}_{\S} $ der Superial-Zahlen. Ein wichtiger Schritt in Richtung des Beweises der Vermutung, dass alle reell algebraischen Zahlen sinnvolle Koeffizienten der Superial-Zahlen sind.
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Fußnoten |
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| 1. |
(Primärliteratur einfügen!) Internet: Vgl. Wikipedia, Algebraische Zahl. | |
| 2. |
Internet: Wikipedia, Infinitesimal. | |
| 3. |
Internet: Wikipedia, Infinitesimal. | |
| 4. |
(Primärliteratur einfügen!) Internet: Vgl. Wikipedia, Taylorreihe. | |
| 5. |
(Primärliteratur einfügen!) Internet: Vgl. Wikipedia, Rationale Zahl. | |
| 6. |
(Primärliteratur einfügen!) Internet: Vgl. Wikipedia, Komplexe Zahl. | |
| 7. |
(Primärliteratur einfügen!) Internet: Vgl. Wikipedia, Algebraische Zahl, Eigenschaften. | |
| 8. |
(Primärliteratur einfügen!) Internet: Vgl. Wikipedia, Algebraische Zahl, Eigenschaften. | |
| 9. | Vgl. Wikipedia, Algebraische Zahl, Eigenschaften. | |
| 10. | Vgl. Wikipedia, Lösen von Gleichungen, Gleichungen höheren Grades. | |
| 11. | Vgl. Wikipedia, Gleichung fünften Grades, Lösbare Gleichungen fünften Grades, Voraussetzungen für die Lösbarkeit. | |
| 12. |
(Primärliteratur einfügen!) Internet: Vgl. Wikipedia, Algebraische Zahl, Eigenschaften. | |
| 13. |
(Primärliteratur einfügen!) Internet: Vgl. Wikipedia, Primfaktorzerlegung, Fundamentalsatz der Arithmetik. | |
| 14. |
(Primärliteratur einfügen!) Internet: Vgl. Wikipedia, Primfaktorzerlegung, Fundamentalsatz der Arithmetik. |
| |
Stand 20. November 2025, 23:00 CET.
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