Vermutung superiale Koeffizienten sind reell algebraische Zahlen
Wir vermuten, dass alle sinnvollen superialen Koeffizienten exakt den reell algebraischen Zahlen entsprechen
Die Trennlinie zwischen den reell algebraischen Zahlen und den transzendenten Zahlen entspricht im Grunde der Trennlinie zwischen den Fraktalebenen der Superial-Zahlen
Wurzeln aus Polynomen Elliptische Integrale und ähnliche algebraische Werte (In Arbeit …)
Nach allem, was ich über algebraische Zahlen herausfinden kann, sind die realwertigen Lösungen
der Nullstellen von Polynomen entweder Radikale(Verweis), also durch bereits
oben betrachtete Wurzelausdrücke darstellbar, oder es sind elliptische Integrale(Verweis),
für die Nullstellen von Polynomen 5. oder höheren Grades.(Verweis)
Elliptische Integrale sind Integrale über Wurzeln aus Polynomen, also unendliche Summen
über Wurzeln aus Polynomen.
Da die Ausdrücke der Polynome jedes Summanden damit algebraische Radikale oder gegebenenfalls wieder endliche oder unendliche Summen
algebraischer Radikale sind, die gegen einen endlichen Wert konvergieren, bleiben es doch Summen algebraischer Radikale.
Summen algebraischer Radikale, ob endliche oder unendliche, die zu endlichen Werten konvergieren,
verhalten sich wie im vorstehenden Abschnitt Summen und Differenzen von Wurzeln
beschrieben und sind damit im Produkt mit der superialen Basis $ \s $ natürliche Superial-Zahlen
die summiert wieder ebensolche ergeben.
Wie allgemein dies gilt, können wir an einem Beispiel beobachten.
Als Beispiel betrachten wir als erstes das allgemeine elliptische Integral der I. Art in der Jacobi-Form:
wobei diese Summe sich insofern plausibel in die Fundierung der Superial-Zahlen einfügt, als dass ihre
zählende Variable ihre Werte per Definition „nur“ aus den möglichen und sinnvollen Superial-Zahlen schöpft.
Das bedeutet, dass die Koeffizienten der Superial-Zahlen der zählenden Variable auch Realanteile der algebraischen Zahlen
sind und dadurch die summierten Ausdrücke wieder Realanteile algebraischer Zahlen ergeben.
Dies ist in sich selbst plausibel.
Nun ist es so, dass die Definition der Ableitung und des Integrals per Superial-Zahlen mit der superialen
Basis $ \s $ die Besonderheit, dass die aktual unendlichen Anteile bei der Ableitung
von rein endlichen Funktionen nicht verschwinden.
Dagegen müssen bei der Integration aktual unendliche Anteile hinzugefügt werden, um rein endliche Funktionen zu erhalten.
Dies bedeutet, wir müssen die Formel modifizieren:
Da alle obigen Summanden ganze Superial-Zahlen sind
(Wie gehen wir hier damit um, dass $ x $ in der Integralsumme auch superial kleine Anteile enthalten kann? Werden die hier eh zu endlichen ganzen Zahlen? Bei $ x^{2} $ wohl eher nicht. Oder können wir das Integral oben so definieren, dass es passt? Oder heben sich die superial kleinen Anteile erst beim Summieren auf?)
unter den obigen Bedingungen, immer eine natürliche Superial-Zahl ist, was wir zeigen wollten.
(In Arbeit …) So sind dann auch algebraische Zahlen aus Summen zweier oder mehrerer Wurzeln, oder ihrer jeweiligen Kehrwerte,
als Faktoren der superialen Basis $ \s $ natürliche Superial-Zahlen möglich.
(In Arbeit …) Damit haben wir für alle irrationalen algebraischen Koeffizienten durch Beweis überprüft,
dass ihre Produkte mit der superialen Basis $ \s $ zu den natürlichen Superial-Zahlen gehören.
